Личный кабинет

Про бином Ньютона


Пояснительная вводная часть и практические примеры использования для дробных и отрицательных степеней

Вводная часть

Легко раскрыть скобки в выражении (a+b)n. Эти коэффициенты, например, можно записать в виде треугольника Паскаля

                1   1

              1   2   1

            1   3   3   1

          1   4   6   4   1

Каждое число в каждой следующей строчке получается как сумма двух чисел расположенных непосредственно сверху от него. Все эти коэффициенты можно получить последовательно умножая скобки (a+b) друг на друга, ничего сложного, выходящего за рамки школьной программы здесь нет. Для затравки

(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2

Здесь мы сначала раскрыли первую скобку по общему правилу, когда (a+b)*X=a*X+b*X, потом раскрыли вторую скобку, и потом собрали подобные слагаемые.

Однако можно пойти дальше и записать эти коэффициэнты как функцию от номера строки и номера самого числа в строке. Уже из треугольника Паскаля видно, что второй коэффициент в каждой строке равен номеру строки. Я сразу напишу конечный результат в общем виде, получать его не сложно, но громоздко и лучше самому ученику подумать, как это сделать

Итак, если мы возводим сумму в степень n, первый коэффициент всегда равен 1, второй n, далее n(n-1)/(1*2), далее n(n-1)(n-2)/(1*2*3) и т.д.

Набор этих формул позволяет получить любую строчку треугольника Паскаля, если в качестве n взять номер этой строчки. Если номер строчки k, то в конце концов находится скобка (n-k) в которой n=k и после этого все члены ряда становятся равными нулю. Например, если степень равна 2 мы получим такую последовательность:

1, 2 (n=2), 1 (2*(2-1)/(1*2)), 0, ...

Возникает вопрос, а что будет если действовать подобным же образом, но использовать не целую степень, или не положительную или любую другую? Самое удивительное, что во многих случаях это срабатывает и даёт правильный результат.

Только ещё одно, поскольку мы хотим записать бесконечный ряд, то в общем виде (a+b)n это сделать не получится, потому что ряд будет не симметричный и с какой степени начинать для числа a мы не знаем. Выход из этого затруднения простой, для произвольных степеней будем использовать формулу (1+b)^n. Единица в любой степени остаётся единицей. Итак, в общем виде мы записываем наш ряд следующим образом:

(1+b)n= 1 + n b + n(n-1)/(1*2)*b2 + n(n-1)(n-2)/(1*2*3)*b3 + ...

Примеры

Рассмотрим случай с n=0.5, b=1

√2=(1+1)0.5=1+0.5*1-0.125*1+...

Здесь n=0.5, ряд получается знакопеременный

Если складывать последовательно первые слагаемые, у нас будут получаться частичные суммы ряда. Они будут равны

1, 1.5, 1.375, 1.4375 ...

Если просуммировать достаточно много членов, получим правильный ответ.

 

Другой пример. Рассмотрим случай с n=-1, b=x

1/(1+x)=(1+x)-1=1-x+x2-x3+...

Ряд тоже получается знакопеременный. Формулу можно получить так же формально разделив один многочлен на другой.

 

Третий пример. Рассмотрим случай с n=x*m, b=1/m

(1+1/m)xm=1+x+(1/2 * x2- x/2m)+...

Если мы будем увеличивать m, то x/2m будет всё меньше и меньше. Аналогичным образом исчезают члены со знаменателем, содержащим m в следующих слагаемых. Поэтому если m устремляется к бесконечности, то мы получим какое-то число в степени x, а справа ряд.

(какое-то-число)x=1+x+x2/2+x3/(1*2*3) + ... + xn/n! + ...

И вот это (какое-то-число) Эйлер назвал буквой е

Почему книги Эйлера интересно читать? Он примерно в таком стиле и пишет, всё подробно и понятно, откуда что берётся. Он не пишет "первый замечательный предел", у него всё выводится и понятно откуда.

    19.07.2017 | 20:25
    Даниил Трофимов Пользователь

    В данной работе рассматривается нисколько бином Ньютона, сколько разложение в ряд Тейлора-Маклорена функции вида (1+x)^n. Как известно, при целых положительных степенях этот ряд принимает вид бинома Ньютона после раскрытия скобок. Т.о. целесообразно говорить о том, что описанные автором свойства принадлежат не биному, а ряду Тейлора, причем на правах прямого следствия. Так же автором допущена фактическая ошибка: Он скорее всего имел ввиду не первый з.п., а второй, который в свою очередь и является определением Неперова числа, известного в школьной пед.практике, как основание натуральных логарифмов и обозначаемое буквой e.
    В целом статья написана не на языке математиков, уж слишком много вольностей и грубостей, а так же отсутствует логика изложения. Особенного меня смущает фраза: Если просуммировать достаточно много членов, получим правильный ответ. Что значит правильный ответ? (для правильного ответа придется суммировать бесконечное число раз) Как известно, корень квадратный из 2, есть число иррациональное, а значит оно не может быть выражено десятичной дробью конечной длины, можно только говорит об оценке данного числа с некоторой точностью (количество знаков после запитой). А так я согласен, что работы математиков того времени написаны на более доступном для восприятия уровне, но опираться на них сейчас не самая светлая мысль.
    P.S.: Второй замечательный предел сам по себе несложен, единственная неясность откуда само это выражение взялось.


     
      avatar 20.07.2017 | 17:16
      Сергей Метелев Пользователь

      Уважаемый Даниил Игоревич, спасибо большое за отзыв!

      Я хотел бы тоже высказаться в ответ.

      Коэффициэнты ряда Тейлора получают вычисляя производные разных порядков.

      Если пользоваться формулой бинома, никаких производных считать не надо. Коэффициенты можно получить из комбинаторных соображений. Точнее, для целых степеней из комбинаторики, а для всех остальных такая запись просто работает.

      Это два разных способа получить один и тот же ответ, и нельзя сказать что какой-то из них основной.

      Про то, какой там предел первый, какой второй, во ФГОСе этого нет и это правильно. Надеюсь, что в ЕГЭ этого тоже не спрашивают.

      К строгости я не стремился, это правда. Мне хотелось показать, что с помощью вполне доступной школьникам математики можно получать совершенно неожиданные красивые результаты.

      На самом деле я об этом думал ещё когда факультатив преподавал. Что продолжалось совсем не долго, два года, насколько я помню, в одной из Гатчинских школ. У меня сохранился текст, набитый в latex, который я тогда написал в процессе обдумывания темы, но его сейчас наверное уже не добавить к заметке. Ну и там примерно то же самое, что здесь изложено, только воды больше. В частности я там излагал, как комбинаторика работает.


       


Добавлено: 03.07.2017
Рейтинг: 7.8416666666667
Комментарии:
2
Сказали спасибо 0
Сказать спасибо
footer logo © Образ–Центр, 2018. 12+