4 способа развивать у учеников критическое мышление на уроках математики

Фотографии: Pixabay / Unsplash. Иллюстрация: Юлия Замжицкая

Постоянный автор Педсовета, учитель казанского лицея № 131 Альберт Зеличенок делится проверенными приемами, с помощью которых получится развить у учеников свободу и независимость мышления.

Со спорщиками и скептиками работать сложнее. Поэтому многие учителя не считают важным терпеливо взращивать в детях умение критически мыслить. И хотя с трибун декларируют иное, на практике в школе с детьми обращаются как с объектами, а не активными субъектами образования. Так гораздо спокойнее и комфортнее, с иезуитской гордостью мы называем это «ставкой на результат».

Между тем, если не воспитывать в подростках критическое мышление, молодые люди скоро станут представителями толпы и массы, потенциальными «клиентами» политических и иных авантюристов и шарлатанов. Ведь в отсутствие привычки воспринимать информацию аналитически мышление не может быть свободным и независимым.

На уроках математики — по самой глубинной сути этой науки — хорошо получается пестовать в учениках искомое качество. Ниже — несколько способов и приёмов, с помощью которых лично я стараюсь этого добиваться.

1. Допускать ошибки и пробелы в рассуждениях

Я называю такой приём провокацией. Его цель — развеять в сознании детей миф о том, что преподаватели (шире — взрослые вообще) непогрешимы. Жизнь всё равно его разрушит — и сделает это болезненным и деструктивным способом. Куда полезнее для детей, если мы её опередим.

Для младших школьников стоит допускать заметные «огрехи», для старших — всё более тонкие и «хитрые». Будьте уверены: провокация сработает, даже если ученики поймут, что вы делаете это нарочно. И, хотя ошибки (особенно те, что искусно замаскированы) обычно замечают и выявляют самые «продвинутые», пользу это приносит всем. Даже если учитель разоблачает сам себя, дети всё равно понимают: во всем стоит сомневаться.

Преподавателям, которые опасаются, что подобные действия подорвут их авторитет, хочу сказать: ничто так не укрепляет хорошее мнение о педагоге, как его готовность радоваться, когда ученики обнаруживают ошибки и помогают их исправить. 

Дети должны знать, что учителя — это не непогрешимые сэнсэи, а живые люди. А ошибки допускают все — абсолютно все! — и ничто не следует принимать на веру. (Кстати, если нам удастся внушить такое понимание подросткам, мы как раз и покажем себя истинными сэнсэями — хоть на самую малость).

2. Выявлять ошибки в школьных учебниках

Цель этого приема — объяснить ученикам, что к любым источникам информации следует относиться скептически. Даже тем, которые вызывают априорное доверие. Тем более, что школьные учебники математики предоставляют к тому массу поводов.

Недочёты в формулировках, неполные (а значит, некорректные) доказательства, неудачно сформулированные задачи, тексты которых нередко допускают двойное толкование… А уж «тёмные места», которые создатели учебников не пожелали или не смогли разъяснить читателю… И это я ещё не говорю о грубых ошибках — попадается и такое. 

_{Пример: в популярной «Геометрии» Атанасяна (и для 7-9-х классов, и для 10-11-х) принято — если прямые, отрезки, точки и т. д. упомянуты во множественном числе, то они предполагаются разными (т. е. никакие две не могут совпадать). Это вполне нормальное соглашение, пока речь идёт о формулировках. Но авторы по непонятным причинам ошибочно предполагают, что и в доказательствах множественное число означает, что стоящие в этом числе геометрические объекты не могут совпасть. Другими словами, формальную договорённость с читателем они воспринимают как пакт с математикой в целом, что совершенно абсурдно. Потому что во многих рассуждениях возникают частные случаи, когда рассматриваемые объекты как раз совпадают. Но их авторы неизменно упускают, из-за чего приведённые в учебнике доказательства содержат зияющие дыры.}

Эти лакуны в обоснованиях принципиально важны, т. к. упущенные ситуации автоматически делают доказательство некорректным. С учениками мы их  выявляем и попутно «закрываем». Но важнее сам факт того, что дети этот недостаток вообще обнаружили. Это укрепляет чисто математическое образование, так как математик выделяется среди прочих именно тем, что учитывает все тонкости и сложности. 

3. Использовать цепочки вопросов

Этот прием позволяет постепенно выявлять сложности в изучаемых понятиях и свойствах, обнаруживать глубину и многослойность там, где на первый взгляд всё достаточно просто.

К примеру, цикл вопросов для обсуждения открытых и замкнутых фигур и геометрических тел в пространстве:

_{— Существуют ли фигуры, у которых нет граничных точек?} 

_{— Могут ли все точки фигуры быть граничными?}

_{— Приведите пример фигуры, у которой все точки — внутренние.}

_{— Может ли у фигуры быть конечное (но не равное нулю) число внутренних точек? А граничных?}

_{— Являются ли точки отрезка, отличные от его концов, внутренними точками отрезка как фигуры на прямой? На плоскости? В пространстве?}

_{— Приведите пример несвязной фигуры.}

_{— Придумайте такое множество точек, отличное от шара и от соответствующего ему открытого шара, что наименьшее содержащее его тело — этот шар.} 

_{— Сделайте то же самое с дополнительным ограничением: все точки сферы должны содержаться в придуманном вами множеств}е.

Когда дети размышляют над подобными вопросами, они учатся критически относиться к собственным знаниям и представлениям. Как следствие, сомневаться в том, что кажется незыблемым, ясным и безоговорочно верным. Они переходят от позиции «слушателя» к активному освоению теории, преобразуют поверхностное восприятие в глубокое, объёмное понимание. Те, кто этого достигнет — не все и даже не большинство — вдобавок совершат качественный скачок к осознанию внутренних связей, которые пронизывают математику.

Для цепочки вопросов стоит подбирать те занимательные понятия и утверждения, которые обладают глубиной — неочевидной, но при этом достижимой для учеников. Например, неплохие вопросы можно придумать по темам «Симметрия», «Движение», «Множество», «Функция». Главное, чтобы учитель:

• сам осознавал сложность различных областей математики и возможности для обсуждения, которые они предоставляют; 
• был достаточно креативным.

Если качественно подобрать вопросы, из урока получится настоящий коллоквиум — тип занятия, который, к сожалению, редко встречается в школе, но при этом крайне важен для полноценного образования и самообразования.

3. Устраивать дискуссии

Этот прием я позаимствовал из формата математических боев, которые сочетают в себе командно-личную олимпиаду, дискуссионную площадку и спортивное соревнование. Когда на боях школьники оппонируют друг другу, они учатся вникать в чужую логику, искать недостатки в чужих решениях и выявлять их с помощью вопросов. Собственно, это и есть составляющие критического мышления в чистом виде.  

Периодически на своих уроках я предлагаю детям продемонстрировать элементы оппонирования. Один ученик решает задачу, другой — выслушивает решение и проверяет записанный на доске текст. Он имеет право задавать докладчику вопросы и исправлять ошибки в решении, помечая их галочками — чтобы не потерялись. Затем к разбору подключается учитель, который завершает анализ задачи и решения и оценивает работу обоих участников.

Докладчика преподаватель оценивает по традиционным критериям для устного ответа. Сложнее обстоит дело с оппонентом.  Я использую подход, который закален большим опытом судейства математических боёв: 

• изначальная, базовая отметка за оппонирование — 5; 
• за каждую пропущенную ошибку и за каждое исправление корректных выкладок докладчика на неверные эта отметка снижается на 1 балл (но не ниже, чем до «двойки»);

Вполне может случиться (и нередко случается), что оппонент, протестировав абсолютно правильное решение, констатирует, что всё верно, — и получает «пятёрку», формально не сделав ничего. Но «ничего» — это ошибочная точка зрения. В данном случае оппонент полностью реализовал свою функцию: всё проверил и взял на себя равную с докладчиком ответственность. За что и получает высший балл.

Вышеописанное получится применить лишь при разборе задач с достаточно развёрнутым, но не слишком длинным — чтобы не тормозить урок — решением. При этом существенная часть решения должна быть записана на доске, содержать всё важное и допускать наличие ошибок. Если все совпало, то оппонентам предоставится прекрасная возможность реализовать приобретенные ранее навыки.

Вот такие приёмы и методы я применяю  для формирования критического склада ума у своих учеников. Не сомневаюсь, что те из коллег, которые понимают ценность воспитания подобных качеств личности у подростков, смогут разработать собственные подходы и фокусы. 

Материалы по теме:

• Право на ошибку как образовательная технология
• Математический бой: подготовка, правила и… «дыры»
• Как развивать критическое мышление с помощью игр