Постоянный автор Педсовета, учитель казанского лицея № 131 Альберт Зеличенок продолжает критически разбирать курс вероятности и статистики, который появился в школах с 1 сентября 2023 года. 

В предыдущей статье я рассматривал, как предполагается изучать новый предмет — «Вероятность и статистику» — в 7-9 классах. При всех многочисленных недостатках курса, о которых я писал, для него хотя бы завезли учебники. Но пособия для 10-11 классов к началу учебного даже не издали. Лишь к концу первого полугодия учебник для 10 класса появился в продаже, но в школы его так и не завезли. Поэтому в продолжении своего критического разбора я буду учитывать исключительно опубликованную Минпросом РФ и составленную в соответствии с ФОП рабочую программу.

На комбинаторику выделено минимум времени

В 10 классе рабочая программа продолжает придерживаться заданного в 7-9 классах курса на то, чтобы ни в коем случае не создать у школьников четкого и стройного представления о комбинаторике. На последнюю отводят всего четыре часа из 34-х. Фактически три, потому что один час занимает контрольная работа сразу по четырем пройденным в 10 классе темам. 

Учитывая, что в 11 классе комбинаторики нет вовсе, к концу обучения из этой прекрасной и крайне полезной науки выпускники будут знать только:

• правило произведения (но без правила суммы);
• треугольник Паскаля (бесполезный, т. к. просто позволяет заменить вычисление факториалов и сокращение числовых дробей суммированием);
• бином Ньютона (относится скорее к алгебре, чем к комбинаторике);
• сочетания без повторений. 

Об оставшихся пяти комбинаторных единицах ученики 7-11 классов не узнают. А вместе с ними и о богатейшей россыпи интереснейших задач и приложений, которые вполне доступны их пониманию. Более того — они развивают у детей математическое мышление и мышление вообще. 

Природные и общественные процессы основаны на вероятностных законах, и человеку в современном мире необходимо мыслить комбинаторно и вероятностно. Это куда важнее, чем знать тригонометрические формулы или уметь считать производные. 

А если мы сразу отсекаем большое количество вероятностных задач, нам остается либо хаотично исследовать примитивные «практические» приложения, либо погрузиться в лишенные воздуха и заумные — с позиции хорошего школьника с нормальным, соответствующим возрасту интеллектуальным развитием — теоретические глубины.

Первое мы имеем в 7-9 классах, второе — в 10-11. Причём для 11 класса это особенно верно.

Курс выстроен непоследовательно

Рассмотрим программу в целом. В 10 классе учеников ждет более или менее краткое повторение уже изученного ранее:

• три часа теории графов и случайных событий вкупе с вычислением вероятности по классической схеме; 
• пять часов на операции над событиями, теоремы умножения и сложения вероятностей и условную вероятность с независимостью событий; 
• четыре часа на обрывки комбинаторики и контрольную работу на знание всего вышеперечисленного;
• пять часов на испытания Бернулли;
• четырнадцать часов на случайные величины и распределения вероятностей.

Последняя тема непроста, но небезынтересна и вполне доступна пониманию старшеклассников. Она вполне могла бы стать итогом освоения основ математической статистики в целом. Но 10 класс — лишь эпизодом и предыстория. Основная тяжесть изучения вероятности и статистики падает на 11 класс. 

Материал не соответствует уровню подготовки учеников

В 11 классе учеников ждет:

• пять часов на закон больших чисел.
  Пять часов — это слишком много для краткого знакомства и создания интуитивных представлений и ничтожно мало для чего-то большего.
• шесть часов на изучение тех элементов математической статистики, которые не были изучены ранее.
  Все это отнюдь не просто, но хотя бы допустимо к изучению.
• четыре часа на непрерывные случайные величины, показательное и нормальное распределения.
  Чтобы всерьез изучать непрерывные случайные величины, надо прилично разбираться в непрерывных функциях и интегралах. И в пределах функций. Однако именно в АПН и МП РФ предполагают довести изучение этих тем даже в профильных классах до полного минимума. А пределов в программе нет вовсе
• два часа на распределение Пуассона.
• шесть часов на исследование связей между случайными величинами (ковариация, корреляция, линейная регрессия — с сопутствующими вопросами). 

Глубины теории вероятностей, в которые предлагают погрузить одиннадцатиклассников, крайне избыточны и полностью игнорируют возрастные особенности школьников. Подавляющее большинство выпускников отключится от происходящего из элементарного чувства самосохранения. 

Зато завершается учебный год 11 часами обобщения и систематизации знаний. Читай — подготовкой к ЕГЭ, к которому все вышеперечисленные темы не имеют никакого отношения.

Учителя недостаточно подготовлены, чтобы вести курс

Средний школьный учитель математики не слишком разбирался в теме даже и на том уровне, который требовался ранее. Я знаю это на своем опыте, так как много лет обучал коллег основам комбинаторики и теории вероятности на курсах повышения квалификации.  

Неясно, где найти армию высококвалифицированных учителей математики, которые будут не просто бубнить методичку, а объяснять и отвечать на въедливые вопросы того единственного (но таки реально существующего почти в каждом коллективе) школьника, который будет слушать и попытается понять, вместо того чтобы спокойно дремать вместе с большей частью одноклассников. 

Что можно исправить

Отвергая существующую программу для 10-11 классов, считаю себя не вправе не предложить ничего взамен.  

В 10 классе рекомендую начать с более глубокого изучения основ теории графов: 

• понятие графа; 
• степень вершины;
• критерий существования графа;
• связность;
• эйлеровы графы и критерий эйлеровости;
• изоморфные графы; 
• плоские графы и формула Эйлера; 
• цепи и циклы; деревья и их свойства; 
• представление о цветных и об ориентированных графах. 

Далее следует изучить основы комбинаторики на том уровне, на котором они десятилетиями успешно изучались в математических школах: неупорядоченные наборы и кортежи; правила суммы и произведения; шесть комбинаторных единиц; бином Ньютона и его обобщение; метод шаров и перегородок. И сопроводить это решением большого количества задач. 

11 класс я предлагаю посвятить освоению важнейших начал теории вероятностей:

• алгебра событий; 
• классическая схема вероятностей; 
• теоремы сложения вероятностей;  
• условная вероятность и независимость событий; 
• теоремы умножения вероятностей; дерево вероятностей; 
• формула полной вероятности и формула Байеса; 
• представление о статистической схеме вероятностей и законе больших чисел; геометрическая схема вероятностей.

Кроме того, объяснить основы математической статистики:

• испытания Бернулли; 
• дискретные случайные величины, их суммы, произведения и числовые характеристики; 
• свойства и вычисление последних; 
• возможно, представление о непрерывной случайной величине.

А в конце года выделить часов восемь на повторение и подготовку к ЕГЭ. 

В качестве основы для учебника 10-11 классов можно использовать учебник Е. А. Бунимовича и В. А. Булычева «Вероятность и статистика. 10 класс». Но его потребуется существенно переработать и дополнить.

Я не слишком надеюсь быть услышанным чиновниками от образования, но дело организации нормального изучения основ комбинаторики, вероятности и математической статистики в школе слишком важно, чтобы я мог молчать. Необходима широкая дискуссия на эту тему в профессиональной среде. Будем считать, что я ее начал.