Теория невероятности: критический анализ учебника и программы курса вероятности и статистики в 7–9 классах

Постоянный автор Педсовета, учитель казанского лицея № 131 Альберт Зеличенок объясняет, что не так с курсом вероятности и статистики, который появился в школах с 1 сентября 2023 года. 

С нынешнего учебного года в российских школах изучают новый предмет — «Вероятность и статистика». Введён он, что называется, весомо и всерьёз — сразу с 7 по 11 классы. Нельзя сказать, что это было сделано на совершенно пустом месте: 

• в девятом и 11 классах в рамках курса математики (а до того — алгебры) уже давно изучают основы теории вероятностей, а в седьмом — некоторые фрагменты математической статистики;
• в некоторых школах с математическим углублением много лет теорию вероятностей преподают в качестве отдельного предмета. Для этого даже издавали отдельные учебники.

Тем не менее, нынешние нововведения значительная часть педагогического сообщества воспринимает как гром с ясного неба. И для этого есть все основания.

Учителя не готовы к новому курсу

Я много лет преподавал основы комбинаторики и теории вероятностей на курсах повышения квалификации работников образования.  Поэтому могу ответственно утверждать: школы к преподаванию обсуждаемого предмета совершенно не готовы. Дело в том, что учителя математики в большинстве своём попросту не знают теории вероятностей и не понимают ее сути и тонкостей. 

Перед тем, как внедрять предмет в стиле насаждения Петром I картошки на Руси, следовало хотя бы подготовить необходимое число агрономов… то есть квалифицированных преподавателей.

В программе для курса недостаточно времени

Достаточно сложный и разнообразный материал выделили в отдельный предмет. Но отвели на него всего один урок в неделю. Нет, я не претендую на большее — учебная неделя не резиновая. Но кто мешал включить соответствующие разделы в состав предмета «Алгебра»?! Ведь в трёх из четырёх четвертей на предмет приходится всего-то по семь-восемь уроков, и за это время надо выставить каждому из примерно 30 школьников класса минимум по три оценки (то есть всего около 90 оценок). На собственно изучение и осмысление остаётся всего ничего. 

Учебник по курсу вероятности не соответствует ФГОС

Соответствующая ФГОС программа и рекомендованный Минпросом РФ свежевыпущенный учебник под руководством И. В. Ященко не вполне соответствуют друг другу. Особенно это заметно в седьмом классе: в книге нашлось место даже для возрастно-половых диаграмм, но не оказалось квартилей и среднего гармонического. Впрочем, что касается последнего термина, я скорее на стороне учебника: довольно трудно внятно объяснить семиклассникам смысл данной числовой характеристики. 

Неясно, почему при наличии учебника учителя должны заниматься поиском теории и задач в Сети. Кроме того, в программе предлагается в конце раздела «Введение в теорию графов» создать у учащихся седьмого класса представление об ориентированных графах. Авторы учебника данный факт полностью проигнорировали.

Учебник выстроен не логично

Ничем, кроме врожденной тяги к разрушению смысловых связей, нельзя объяснить то, что логические отрицание и импликация находятся в седьмом классе, а логические «и» и «или» (которые проще понять) — в восьмом. 

Еще труднее объяснить, что ни в программе, ни в учебнике не нашлось времени на изучение кванторов и утверждений существования и всеобщности. Тем более — на построение отрицаний к ним. А ведь это позволило бы школьникам куда лучше осознать суть таких понятий, как «контрпример» и «доказательство от противного». Не менее жаль, что в курс восьмого или даже седьмого классов не включена работа с обратными и противоположными теоремами — это тоже могло бы помочь школьникам понять, что такое процесс доказывания.

Всего четыре часа — и почему-то в восьмом классе, хотя нужны соответствующие понятия уже в седьмом — отведены на изучение основ теории множеств. И сделано это скороговоркой. Из всех операций над множествами упомянуты лишь пересечение и объединение; о свойствах операций не говорится ничего; что такое характеристическое свойство множества также толком не сказано. Раз уж множества проходят в восьмом классе, полезнее было посвятить толику времени бесконечным множествам с их интересными (и крайне неожиданными для непосвященного) свойствами — увы…

Ещё печальнее обстоят дела с заглавной темой — статистикой. 

Стоит упомянуть, что в рамках математического образования следовало бы изучать простейшие основы не статистики, а именно математической статистики. Назвав предметную область иначе, авторы программы решили обучать школьников буквально всему, что называется статистикой. 

Как и следовало ожидать, попытки скрестить осла с козлом закончились форменным конфузом. Эта так называемая «статистика» насильно растянута, как на дыбе, на три темы в седьмом классе:

• «Представление данных»
• «Описательная статистика»
• «Случайная изменчивость»

Одну тему в восьмом классе: 

• «Описательная статистика. Рассеивание данных»

Четыре темы в 9 классе: 

• «Испытания Бернулли»
• «Случайная величина»
• «Числовые характеристики случайных величин»
• «Закон больших чисел»

Кроме того, она занимает две темы в 10 классе и практически весь 11 класс. И всё равно представленный материал выглядит фрагментарно, хаотично, без каких-либо признаков связующей мысли.

Как ни странно, освоение именно теории вероятностей занимает достаточно мало места: одна тема в седьмом классе, две в восьмом и одна в девятом. Итого — 17 часов из 102 возможных на изучение заглавной (и довольно сложной) темы всего курса. Шестая часть. Но как раз исследование простейших основ теории вероятностей организовано относительно неплохо.  

Печальнее всего — ситуация с изучением комбинаторики. Теория вероятностей опирается на этот раздел математики, а значительная часть вероятностных задач имеет существенную комбинаторную составляющую. Поэтому без знания комбинаторики в теории вероятностей попросту нечего делать. 

Несмотря на это, на изучение комбинаторики выделили всего шесть часов в девятом классе и четыре в 10-м. В этих условиях школьники:

• не узнают толком о разнице в работе с неупорядоченными наборами и с кортежами
• из двух комбинаторных правил рассмотрят почему-то лишь одно — правило произведения
• из шести комбинаторных единиц кое-как пройдут лишь две простейших — перестановки без повторений и сочетания без повторений

Решать сколько-либо интересные комбинаторные задачи они при этом, конечно, не научатся.

Между тем, изобретать велосипед вовсе не требовалось. Существует апробированный многими десятилетиями успешный опыт математических школ, в которых изучали друг за другом основы теории множеств; основы комбинаторики, теории вероятностей; классическую схему вероятностей и далее по списку.  Причем изучали в исторической последовательности — которая чудесным образом совпадает с логической. 

Всё это можно было несколько расширить и углубить. Добавить, например, свойства числовых характеристик дискретных случайных величин и операции над ними. Или основы математической логики, которых остро не хватало в школьном курсе математики. И лучше бы все не выделять в отдельный предмет, а изучать в рамках курса математики или алгебры, добавив в последний ещё один час. 

Увы, всё сделано иначе — и гораздо хуже. А ведь «осовременить» школьное образование в том числе значит сформировать у выпускников умение мыслить комбинаторно и понимать того, что мир в целом и общественные процессы в частности функционируют на основе вероятностных законов.

Но в нашей системе образования не принято отменять неудачные решения — они со временем просто изживают себя. Но молчать и игнорировать происходящее тоже нельзя.

Материалы по теме:

• «Учителям страшно развеять миф о собственной непогрешимости»: почему школа не учит детей мыслить критически
• 4 способа развивать у учеников критическое мышление на уроках математики