Личный кабинет

какое мышление нужно развивать на уроках математики

Федор Ткачев ( Пользователь )
Вот многие говорят про мышление: кто про "продуктивное", кто про "математическое", кто совсем даже про "теоретико-множественную интуицию".
Вот и хочется понять:

0. что такое, к примеру, "математическое мышление"?
1. какие мышления нужно развивать в рамках школьной математики?
2. как это можно делать?
3. какие мышления можно проверить на экзаменах/в тестах?

Например, некоторые наблюдения за людьми с серьезным математическим образованием приводят к выводу, что они часто ведут себя так:
1) стремятся побыстрее сформулировать некую формальную схемку, чтобы
2) сладострастно забуриться в игру с символами.

Или вот что такое "теоретико-множественная интуиция".

Интересно бы народ послушать.
Александр Горячев ( Пользователь )
Это кусочек, маленькая составная часть математического мышления:
"Едут по Австралии биолог, физик и математик и видят: на лугу пасется черная овца.
Биолог:
- Смотрите, в Австралии обитают черные овцы.
Физик:
- Нет, в Австралии обитает как минимум одна черная овца.
Математик:
- Нет, господа. В Австралии обитает как минимум одна овца, и как минимум с одной стороны черная."
------------------
По жизни - зануды жуткие. Как мой сын - пятиклассник. Это один из его любимых анекдотов. И грамоты по математике коллекционирует.
Владислав Воронин ( Пользователь )
Цитата (info21, 29.03.2010, 17:31) <{POST_SNAPBACK}>
0. что такое, к примеру, "математическое мышление"?

Ну, Вы, кажется, и сами кое-что в этом понимаете. Это что, вопросы с намёком? Подковырка?
Исчерпывающе теоретизировать не возьмусь. А навскидку:

(а). Математика есть работа с идеальными абстрактными "математическими объектами". То есть с такими, которые имеют ИСЧЕРПЫВАЮЩЕЕ формальное описание, после чего может работать точная голая логика.
(б). Внутриматематическая работа (на уровне "чистой" математики, если хотите) -- это работа именно с МОДЕЛЬЮ. Символьной, численной, геометрической... И навык свои эвристические подходы, фантазию-интуицию применить к поиску той ЛОГИЧЕСКОЙ цепочки, которая приводит к ТОЧНОМУ ответу на корректный вопрос (ну, или к обнаружению некорректности) -- это, конечно, неизбежно для математического мышления. Его центральная часть.
(в). А есть ещё "вход=выход" у этого чёрного ящика с математиччесикми объектами. Построение той модели, отражающей существенные стороны некоего внешнего явления (не умея, однако, работать ВНУТРИ модели, ты её и не построишь -- такую, с которой можно будет работать!). Ну, и -- обратно, интерпретация результатов, полученных на модели, на ту реальность, которую собрался моделировать-отражать.
Цитата
1. какие мышления нужно развивать в рамках школьной математики?

(г). Ну, вот эти перечисленные и нужно. Естественно, на некотором ЭМПИРИЧЕСКИ определённом уровне. До чего именно можно дойти за это время, до какой сложности задач-объектов.
(д). А поскольку модели, освоенные на школьном уровне, не слишком обширны, то моделируются ими весьма простенькие ситуации. Причём, для адекватности модели сейчас (а тем более ПОТОМ) придётся привлекать "нематематику" -- а сведения из физики, экономики или чего ещё. Но эти познания во многом придут лишь ПОЗЖЕ (например, прир изучении физики или инженерии в вузе) -- так что математика, получается, работает ВПРОК.
Отчего -- возникает нехорошая коллизия, что это "впрок" нынче навязывается всем. Кому оно может и не пригодиться никак.
Распиливать надо! Не всем громоздить это "впрок" под самую завязку -- с этим школа не справится никогда (если не сечь всех с утра до вечера физически или морально).
(е). А к тем, кому это будет нужно, есть (опять же, эмпирически сложившиеся) ЗАПРОСЫ. Умения делать техническую работу (выкладки) работать с элементарными функциями, уравнениями-неравенствами-системами, текстовыми задачами и т.д.

Цитата
2. как это можно делать?

(ж). Чтобы научиться плавать, надо плавать. Чтобы научиться решать вот такие задачи -- надо решать задачи, и иначе никак. Причём, естественно, под задачей надо понимать САМОСТОЯТЕЛЬНУЮ, личную слесарную работу со всем этим, самостоятельный поиск ответов на вопросы, да и постановку их. А не выполнение заранее заученных "дядиных" рецептов, что есть лишь муляж, а не математика. Каковой муляж уже и начали вовсю понимать в массовой школе под именем "математики". Это настольно же математика, насколько питательна груша из папье-маше.
(з). А уровень самостоятельности, уровень ПРОДУКТИВНОСТИ -- штука интуитивно-условно-эмпирическая. Для одного задача на делимость -- стандартная, его натренированный глаз сразу видит, в каком направлении и из чего начинать комбинировать. А другой -- столбенеет, для него это "нестандарт" абсолютный. И он решит её разве что уж чудом собственной смекалки. Чего -- почти никогда не будет. Так что -- "во сколько ходов" человек умеет решить задачу, насколько эта комбинация ходов для него состоит из "стандартных" или почти-стандартных ходов... штука плохо формализуемая.
Цитата
3. какие мышления можно проверить на экзаменах/в тестах?

(и). А это -- смотря ЧТО вкладывать. Растяжимо до бесконечности. Можно считать "тестом" для мировой математики доказательством теоремы Ферма -- а можно перемножение в уме 11 на 12. В реальности на экзаменах (приличных) проверяются РЕЗУЛЬТАТЫ. В работе над задачами из такой-то области в N ходов. А на олимпиадах (тоже экзамен своего рода) -- дают куда МЕНЕЕ предсказуемые задачи. Хотя и тут -- уровень предсказуемости сильнейше зависит от подготовки. Так что сказать "мыслить умеет или лишь хорошо ровно на такое натаскан?" по большому счёту нельзя. Своего рода "соотношение неопределённостей".
В итоге -- проверяется некая КОМБИНАЦИЯ знаний-обученности и продуктивного мышления.
Цитата
Например, некоторые наблюдения за людьми с серьезным математическим образованием приводят к выводу, что они часто ведут себя так:
1) стремятся побыстрее сформулировать некую формальную схемку, чтобы
2) сладострастно забуриться в игру с символами.

Ну что ж, есть и такое профессиональное заболевание. В каждом доме -- свои скелеты в шкафу. "Других писателей у меня для Вас нет!".
Хотя, если Вам кажется, что "часто", -- то ведь не всегда и не все же.

Федор Ткачев ( Пользователь )
Вот как раз со "входом-выходом" в самой математике очень плохо.

С этим пунктом лучше всего все-таки в физике.
Ольга Анисимова ( Пользователь )
Цитата (info21, 31.03.2010, 09:15) <{POST_SNAPBACK}>
Вот как раз со "входом-выходом" в самой математике очень плохо.

С этим пунктом лучше всего все-таки в физике.


C этого места поподробнее. В чем, чем и почему лучше. Что мешает перенести "физический" подход в математику?
Федор Ткачев ( Пользователь )
Цитата (anisol, 01.04.2010, 07:39) <{POST_SNAPBACK}>
C этого места поподробнее. В чем, чем и почему лучше. Что мешает перенести "физический" подход в математику?

Мешает, как обычно, ограниченность ресурсов -- времени в частности.
Трудно гнаться за двумя зайцами.
В курсах математики с необходимостью делается упор на собственно математической специфике -- прежде всего, техника (техника в широком смысле) доказательств -- математику же изучают.

С другой стороны, я не вполне понимаю в контексте моего предыдущего высказывания, что именно тут "физический" подход и зачем его переносить в математику.

Так что насчет "с этого места поподробнее" -- алаверды.
Ольга Анисимова ( Пользователь )
Цитата (info21, 01.04.2010, 08:04) <{POST_SNAPBACK}>
С другой стороны, я не вполне понимаю в контексте моего предыдущего высказывания, что именно тут "физический" подход и зачем его переносить в математику.

"со "входом-выходом" в самой математике очень плохо.С этим пунктом лучше всего все-таки в физике." - ваши слова? Вот и прошу рассказать чем именно подход в физике лучше и почему его нельзя (можно. нужно. должно - ваш выбор) переносить в математику.

Что же все-таки в черном ящике математики мешает отрегулировать вход-выход? это объективно от специфики предмета или зависит от методики тоже?
Владислав Воронин ( Пользователь )
Цитата (anisol, 01.04.2010, 13:32) <{POST_SNAPBACK}>
Что же все-таки в черном ящике математики мешает отрегулировать вход-выход? это объективно от специфики предмета или зависит от методики тоже?

Вход-выход требуют зачастую множества НЕМАТЕМАТИЧЕСКИХ знаний -- о том моделируемом явлении. (Знание в широком смысле -- т.е. ПОНИМАНИЕ). То есть, помимо математики надо знать ИЗРЯДНЫЙ кусок электродинамики, или геофизики, или теории полупроводников, или экономической теории. И дальше начинаются всякие комбинации: есть ли у человека желание, есть ли достаточно времени, и т.д.
Сколько "зреет" специалист, начав после вуза вплотную самостоятельно работать по какой-то тематике? Если это тематика серьёзная-глубокая, то не так уж быстро. Тот математик -- как быстро "дозреет", чтобы сравниться с тем, кто уже собаку в деле съел? Такой вот барьер. Преодолеваемый -- естественно, далеко не всегда. И с разной успешностью
Федор Ткачев ( Пользователь )
Цитата (anisol, 01.04.2010, 10:32) <{POST_SNAPBACK}>
... ваши слова? вот и

Все-таки антиресная штука психология форумов :)

Цитата (anisol, 01.04.2010, 10:32) <{POST_SNAPBACK}>
рассказать чем именно подход в физике лучше и почему его нельзя (можно. нужно. должно - ваш выбор) переносить в математику.

Что же все-таки в черном ящике математики мешает отрегулировать вход-выход? это объективно от специфики предмета или зависит от методики тоже?

А разве я не ответил:

Цитата (info21, 01.04.2010, 09:04) <{POST_SNAPBACK}>
Мешает, как обычно, ограниченность ресурсов -- времени в частности.
Трудно гнаться за двумя зайцами.
В курсах математики с необходимостью делается упор на собственно математической специфике -- прежде всего, техника (техника в широком смысле) доказательств -- математику же изучают.

А для физики вся суть не внутри черного ящика, а как раз на входе-выходе: построить корректную модель, потом корректно результаты проинтерпретировать.

Впрочем, у физиков с этим делом тоже не всё ладно, как доказывает пример "физтехов", пропагандирующих индекс цитирования для оценки научных работ и проч.

Но, пожалуй, острее всего эти дела (проблему входа-выхода) чувствуют в тех гуманитарных областях, где начинают применяться мат. методы. Экономика, или вот совсем новая "клиодиманика"

Ольга Анисимова ( Пользователь )
Цитата (info21, 01.04.2010, 14:02) <{POST_SNAPBACK}>
А разве я не ответил:


Нет. То, что вы написали об ограниченности времени решается просто увеличением количества отведенных на математику часов (хотя кто же нам ообранное в пользу гуманитаризации образования отдаст?). А может увеличение количества затрат и уменьшение темпа и хоть в каой-то мере решит проблему? Или хотя бы снимет ее остроту?

footer logo © Образ–Центр, 2018. 12+