Личный кабинет

Применение логики в задачах и примерах.

Валерий Чернухин ( Пользователь )
Чтобы не загружать соседнюю тему, открыл отдельную тему, связанную с конкретным применением логических правил.

"По существу, старая традиционная логика образует только фрагмент новой, да к тому же такой фрагмент, который с точки зрения потребностей других наук, и особенно математики, совершенно лишен значительности"
А. Тарский "Введение в логику и методологию дедуктивных наук"

И уместно начать в данном случае с довольно часто встречающимся фактом ошибочного смешивания терминологии так называемой "традиционной логики" и тем, что применяется в современной логике.
Эта путаница носит довольно распространенный характер. Она проникла даже в учебники (парадокс Рассела). Встречается она и в тестах на логику, которые быть может кто-то с умным видом и будет применять для анализа логического мышления, но которые грамотный человек в итоге правильно решить не сможет.
Перейдём к конкретному примеру. На сайте http://psyfactor.org есть тест на логику. Признаюсь, я питаю слабость к таким тестам, поэтому с удовольствием их прохожу.
Но есть там вопросы, на которые грамотный человек столкнётся с проблемами, отвечая на них. Что же это за проблемы?
Рассмотрим конкретный вопрос в тесте (это - далеко не единственный ошибочный там вопрос). Даётся следующее утверждение.
Цветы - это зеленые звери.
Цветы пьют водку.


а) все зеленые звери пьют водку
б) все зеленые звери являются цветами
в) некоторые зеленые звери пьют водку
г) Зеленые звери не пьют водку
д) зеленые звери не являются цветами
е)ни одно из вышеперечисленных

Грамотный человек решит эту задачу не так, как "надо" в тесте. Что меня поразило - правильным ответом считается ответ в), который на самом деле неверен. А верен ответ е).
Почему?
Дело в том, что в традиционной логике, начаная с Аристотеля, действует так называемое правило конверсии: "Если всякое А есть В, то некоторое А есть В". Это правило очень режет ухо любому человек, который учил математику чуть больше, чем только в школе.
Сразу же акцентируюсь на одном важном практическом приеме.
Традиционную логику лучше всего воспринимать в терминах теории множеств.
В этом случае задачи, связанные с использованием традиционной логики, решаются очень быстро без только усложняющих восприятие таких новых понятий, как "фигура силлогизма", "бОльшая и мЕньшая посылки", "средний и крайний термины" и т.д.
В средние века эти правила заучивались с помощью мнемонических приемов, им отводилось огромное внимание, и это фетиш сохранился до наших времен.(Уместно вспомнить, что высшим пилотажем в средние века считалось умение просто перемножать числа - тоже был фетиш).
Тем не менее эти правила запоминать нет смысла, достаточно овладеть начальными навыками оперирования с множествами (классами).
Из правила конвесии можно, таким образом, сделать совершенно ошибочный вывод - "Из того факта, что А является подмножеством множества В" следует, что "Пересечение А и В содержит элементы".
Возвращаясь к нашей задаче из теста, мы решим её быстро:
Цветы - это зеленые звери означает, что класс цветов является подклассом класса зеленых зверей
Цветы пьют водку означает, что класс цветов является подклассом класса пьющих водку


Однако математик заметит, что к примеру класс цветов может быть и пустой, и данные утверждения не противоречат этой возможности.
Поэтому тот ответ, который выдаётся за правильный - некоторые зеленые звери пьют водку - фактически означает, что "существуют зеленые звери, которые пьют водку" - является неверным, они не обязательно могут существовать.
Есть СОВЕРШЕННО ВЕРНОЕ, логическое правило: (Ах)W->(Ex)W, где A - квантор всеобщности, Е - квантор существования, W - какое-то высказывание, быть может с параметром х.
Фишка, однако в том, что из этого ВЕРНОГО правила НЕ СЛЕДУЕТ, тот факт, что если какое-то свойство справедливо для всех элементов какого-то множества, то это не значит, что эти элементы существуют.
Именно на игре с правилом конверсии построено большинство так называемых логических парадоксов (типа парадокса Рассела и его родственников). Берется множество, для которого показывается, что справедливо свойство P и одновременно справедливо свойство ~P.

Парадокс Рассела знает любой, кто хоть как-то изучал математику после школы: рассматривается множество всех множеств x, для которых справедливо, что "x не принадлежит х". На основе "построения" такого множества делается вывод, что это множество одновременно принадлежит и не принадлежит самому себе. После этого делаются интеллигентные вздохи - какой глубокий парадокс.

На этому тему есть даже шутка.

Парадокс Пиглета. Пусть n - такое целое число, которое одновременно больше и меньше нуля. Тогда n в том и только в том случае положительно, когда оно и отрицательно.
Гениально! Не правда ли?
Но ведь такого числа не существует! Верно. И это утверждение здесь никого не смущает.
Разница с парадоксом Рассела не столько логическая, сколько психологическая. В парадоксе Пиглета противоречивость условия слишком очевидна. В случае же парадокса Рассела условие построения множества не кажется противоречивым.
Дмитрий Шишкалов ( Пользователь )
Цитата (Валерий Чернухин, 05.09.2012, 15:44) <{POST_SNAPBACK}>
Чтобы не загружать соседнюю тему, открыл отдельную тему, связанную с конкретным применением логических правил.

"По существу, старая традиционная логика образует только фрагмент новой, да к тому же такой фрагмент, который с точки зрения потребностей других наук, и особенно математики, совершенно лишен значительности"
А. Тарский "Введение в логику и методологию дедуктивных наук"

И уместно начать в данном случае с довольно часто встречающимся фактом ошибочного смешивания терминологии так называемой "традиционной логики" и тем, что применяется в современной логике.
Эта путаница носит довольно распространенный характер. Она проникла даже в учебники (парадокс Рассела). Встречается она и в тестах на логику, которые быть может кто-то с умным видом и будет применять для анализа логического мышления, но которые грамотный человек в итоге правильно решить не сможет.
Перейдём к конкретному примеру. На сайте http://psyfactor.org есть тест на логику. Признаюсь, я питаю слабость к таким тестам, поэтому с удовольствием их прохожу.
Но есть там вопросы, на которые грамотный человек столкнётся с проблемами, отвечая на них. Что же это за проблемы?
Рассмотрим конкретный вопрос в тесте (это - далеко не единственный ошибочный там вопрос). Даётся следующее утверждение.
Цветы - это зеленые звери.
Цветы пьют водку.


а) все зеленые звери пьют водку
б) все зеленые звери являются цветами
в) некоторые зеленые звери пьют водку
г) Зеленые звери не пьют водку
д) зеленые звери не являются цветами
е)ни одно из вышеперечисленных

Грамотный человек решит эту задачу не так, как "надо" в тесте. Что меня поразило - правильным ответом считается ответ в), который на самом деле неверен. А верен ответ е).
Почему?
Дело в том, что в традиционной логике, начаная с Аристотеля, действует так называемое правило конверсии: "Если всякое А есть В, то некоторое А есть В". Это правило очень режет ухо любому человек, который учил математику чуть больше, чем только в школе.
Сразу же акцентируюсь на одном важном практическом приеме.
Традиционную логику лучше всего воспринимать в терминах теории множеств.
В этом случае задачи, связанные с использованием традиционной логики, решаются очень быстро без только усложняющих восприятие таких новых понятий, как "фигура силлогизма", "бОльшая и мЕньшая посылки", "средний и крайний термины" и т.д.
В средние века эти правила заучивались с помощью мнемонических приемов, им отводилось огромное внимание, и это фетиш сохранился до наших времен.(Уместно вспомнить, что высшим пилотажем в средние века считалось умение просто перемножать числа - тоже был фетиш).
Тем не менее эти правила запоминать нет смысла, достаточно овладеть начальными навыками оперирования с множествами (классами).
Из правила конвесии можно, таким образом, сделать совершенно ошибочный вывод - "Из того факта, что А является подмножеством множества В" следует, что "Пересечение А и В содержит элементы".
Возвращаясь к нашей задаче из теста, мы решим её быстро:
Цветы - это зеленые звери означает, что класс цветов является подклассом класса зеленых зверей
Цветы пьют водку означает, что класс цветов является подклассом класса пьющих водку


Однако математик заметит, что к примеру класс цветов может быть и пустой, и данные утверждения не противоречат этой возможности.
Поэтому тот ответ, который выдаётся за правильный - некоторые зеленые звери пьют водку - фактически означает, что "существуют зеленые звери, которые пьют водку" - является неверным, они не обязательно могут существовать.
Есть СОВЕРШЕННО ВЕРНОЕ, логическое правило: (Ах)W->(Ex)W, где A - квантор всеобщности, Е - квантор существования, W - какое-то высказывание, быть может с параметром х.
Фишка, однако в том, что из этого ВЕРНОГО правила НЕ СЛЕДУЕТ, тот факт, что если какое-то свойство справедливо для всех элементов какого-то множества, то это не значит, что эти элементы существуют.
Именно на игре с правилом конверсии построено большинство так называемых логических парадоксов (типа парадокса Рассела и его родственников). Берется множество, для которого показывается, что справедливо свойство P и одновременно справедливо свойство ~P.

Возможно, этот тест был признан выявить математиков и не взять их на данную работу ;)
Вообще-то, человек, согласившийся отвечать на этот тест в рамках приёма на работу, обычно получает разъяснение: "Если в тесте указано что цветы это зелёные звери, то следует подразумевать, что существуют цветы и существуют зелёные звери в рамках данного теста".
Валерий Чернухин ( Пользователь )
Цитата (Дмитрий Валерьевич Шишкалов, 05.09.2012, 16:41) <{POST_SNAPBACK}>
Возможно, этот тест был признан выявить математиков и не взять их на данную работу ;)
Вообще-то, человек, согласившийся отвечать на этот тест в рамках приёма на работу, обычно получает разъяснение: "Если в тесте указано что цветы это зелёные звери, то следует подразумевать, что существуют цветы и существуют зелёные звери в рамках данного теста".

Конкретно этот тест никак не связан с приемом на работу, а помещен на сайте, посвященном психологии. Никаких разъяснений здесь не дается. Таким образом, читатели теста должны сами догадаться, что в нем используется НЕ ОБЩЕПРИНЯТАЯ терминология.
Думаю, что реально сами авторы теста проявили большую невнимательность и непрофессионализм, его составляя. Формально такие вещи проходят даже в школе - другое дело, что реальное школьное образование в значительной степени дутое. Ну а теорию множеств традиционно вспоминают, к примеру, перед изучением анализа.

Есть еще неопределенность, связанная с ответом

Перенес ответ в эту ветку, дабы не ветвить тему о методе Шаталова

Цитата (Дмитрий Валерьевич Шишкалов, 05.09.2012, 16:11) <{POST_SNAPBACK}>
Я рискнул.
Разошёлся в мнении о вопросе №9 (ответил "е" у них "а")
Отлично. Давайте посмотрим конкретно.
Вот это утверждение.
Некоторые люди - европейцы. Европейцы имеют три ноги.
Как я уже говорил, все силлогизмы удобно решать в теоретико-множественном представлении.
Другими словами, первое утверждение означает, что пересечение двух множеств - людей и европейцев - непустое ("существует хотя бы один европеец, являющийся человеком", или эквивалентно "существует хотя бы один человек, являющийся европейцем). Второе утверждение в терминах теории множеств означает, что множество европейцев является подмножеством множества объектов "с тремя ногами".
А вот - ответы.
а) люди с двумя ногами не являются европейцами
б) европейцы, которые являются людьми, иногда имеют три ноги
в) европейцы с двумя ногами
иногда являются людьми
г)Людей не европейцев, с тремя ногами не бывает
д)Люди имеют три ноги потому что они европейцы
е)ни одно из вышеперечисленных
Рассмотрим ответ а). Это - верный ответ. Почему?
Множество людей с двумя ногами является подмножеством людей, не имеющих три ноги. Следовательно, это множество не пересекается с множеством европейцев - последнее в свою очередь является подмножеством множества людей, имеющих три ноги.
Эта же задача решается в рамках логики высказываний с применением закона транзитивности материальной импликации и контрапозиции, но мне кажется, что быстрее всего использование теоретико-множественного языка для такого рода рассуждений, что я и подчеркнул в стартовом посте.
Тем не менее, спасибо. Очень ценю, когда люди не боятся ошибиться - это - сильное качество.
Есть также неопределенность, связанная с утверждением б) европейцы, которые являются людьми, иногда имеют три ноги.
Проблема заключается в том, что это утверждение естественного языка можно интерпретировать двояко:
Слово "иногда" можно понимать так, что просто "Существует хотя бы один европеец-человек, который имеет три ноги". Это утверждение при такой интерпретации верное. Однако возможна и другая интерпретация 2
"Существует хотя бы один европеец-человек, который имеет три ноги, но также существует европеец человек, который не имеет три ноги" - такая интерпретация мне кажется менее уместной, но именно ее авторы подразумевали. Неопределенность высказывания налицо. Однако здесь есть одна логическая тонкость: поскольку ПОДРАЗУМЕВАЕТСЯ, что ответ один, то отсюда следует, какая именно интерпретация этого неопределенного высказывания верна.
Подозреваю, однако, что сами составители теста до таких тонкостей не дошли.



Справка.
Выражение утверждений в аристотелевой логике на языке теории мноежств.
Аристотель рассматривает четыре типа суждений:
A(S, Р) — общеутвердительное: «все S суть Р» - Класс S является подклассом класса P.
E(S, Р) — общеотрицательное: «ни одно S не есть Р» - Пересечение классов S и P является пустым.
I(S, Р) — частноутвердительное: «некоторые S суть Р» - Пересечение классов S и P не является пустым.
O(S, Р) — частноотрицательное: «некоторые S не суть Р». - S не является подклассом класса P.
Таким образом, первое утверждение является отрицанием четвертого, и наоборот. Также второе утверждение является отрицанием третьего, и наоборот.
Дмитрий Шишкалов ( Пользователь )
Цитата (Валерий Чернухин, 05.09.2012, 19:09) <{POST_SNAPBACK}>
Отлично. Давайте посмотрим конкретно.
Вот это утверждение.
Некоторые люди - европейцы. Европейцы имеют три ноги.
Как я уже говорил, все силлогизмы удобно решать в теоретико-множественном представлении.
Другими словами, первое утверждение означает, что пересечение двух множеств - людей и европейцев - непустое ("существует хотя бы один европеец, являющийся человеком", или эквивалентно "существует хотя бы один человек, являющийся европейцем). Второе утверждение в терминах теории множеств означает, что множество европейцев является подмножеством множества объектов "с тремя ногами".
А вот - ответы.
[color="#FF0000"]а) люди с двумя ногами не являются европейцами
б) европейцы, которые являются людьми, иногда имеют три ноги
в) европейцы с двумя ногами
иногда являются людьми
г)Людей не европейцев, с тремя ногами не бывает
д)Люди имеют три ноги потому что они европейцы
е)ни одно из вышеперечисленных
[color="#000000"]Рассмотрим ответ а). Это - верный ответ. Почему?
Множество людей с двумя ногами является подмножеством людей, не имеющих три ноги. Следовательно, это множество не пересекается с множеством европейцев - последнее в свою очередь является подмножеством множества людей, имеющих три ноги.

Вы автоматом добавили квантор всеобщности во второе высказывание.
Там не было сказано "все европейцы имеют 3 ноги".
А потому вполне допустимо предположить наличие европейца, человека, двуногого.
Вторая возможность: Европейцы, которые имеют 3 ноги, не люди.
И ещё один момент.
Нигде не сказано, что множество европейцев - это множество людей.
В целом я согласен, что структура теста подразумевает автоматическое добавление квантора всеобщности к каждому логическому высказыванию.
Виталий Лебедев ( Пользователь )
Цитата (Валерий Чернухин, 05.09.2012, 15:44) <{POST_SNAPBACK}>
Но есть там вопросы, на которые грамотный человек столкнётся с проблемами, отвечая на них. Что же это за проблемы?

На мой взгляд, грамотный, как раз не столкнется, так как такой человек (пусть даже не знакомый с теорией нечетких множеств) чувствует ее интуитивно, поэтому имплицирует варианты ответа с точки зрения наиболее вероятного их значения, и уж никак не станет применять к проверке чего-либо лежащего в рамках одной научной модели, нормы (разг.) другой научной модели (с другими рамками (разг.)).

Цитата (Валерий Чернухин, 05.09.2012, 15:44) <{POST_SNAPBACK}>
Поэтому тот ответ, который выдаётся за правильный - некоторые зеленые звери пьют водку - фактически означает, что "существуют зеленые звери, которые пьют водку" - является неверным, они не обязательно могут существовать.

Это Ваша субъективная интерпретация…
Есть и другая: могут существовать, зеленые звери, которые пьют водку :-) (Местоимение «некоторые» имеет столько контекстных семантических значений! :-) Может поэтому оно и относится к неопределенным?! :-) А уж если проследить этимологическую разницу между «который» и «некоторый»… :-) )

А вообще, чтобы давать однозначные ответы, в логике высказываний должен быть четко определен базис (как минимум, высказывания должны интерпретироваться однозначно), однако, простите повторюсь, нормально образованные люди в быту в этом не нуждаются, так как их интуиция (как свойство интеллекта) возволяет им «видеть» ниболее вероятные события (ситуации, ответы…).
Валерий Чернухин ( Пользователь )
Цитата (Дмитрий Валерьевич Шишкалов, 05.09.2012, 23:19) <{POST_SNAPBACK}>
Вы автоматом добавили квантор всеобщности во второе высказывание.
Там не было сказано "все европейцы имеют 3 ноги".
А потому вполне допустимо предположить наличие европейца, человека, двуногого.
Вторая возможность: Европейцы, которые имеют 3 ноги, не люди.
И ещё один момент.
В целом я согласен, что структура теста подразумевает автоматическое добавление квантора всеобщности к каждому логическому высказыванию.
Да, именно так. Я автоматом добавил квантор всеобщности, поскольку это является общепринятой практикой. Фактически такого рода общепринятая практика "как бы вырабатывается" ещё в школе.
Примеры из школьной практики довольно многочисленны:
1. "В равнобедренном треугольнике углы при основании равны" означает "В ЛЮБОМ равнобедренном треугольнике углы при основании равны".
2. "Медиана в равнобедренном треугольнике является основанием и высотой" означает. "В ЛЮБОМ равнобедренном треугольнике медиана является основанием и является высотой".
3. "sin2x=2sinx cosx" означает, что "Для ЛЮБОГО х (sin2x=2sinx cosx)" и т.д.
Именно поэтому в любой серьезной литературе, посвященной, например, или знакомству с логикой, или просто преподаванию математики (например, в книгах Ф.Клайна "Элементарная математика с точки зрения высшей" и Фройденталя "Математика как педагогическая задача") внятно указывается о наличии ПОДРАЗУМЕВАЕМЫХ СКРЫТЫХ кванторов и важности навыка уметь их находить.
Наконец, в математической логике существует так называемое правило обобщения:
"Из утверждения А следует утверждение "Для любого х А".
Таким образом, если в каком-то высказывании мы не обнаруживаем какого-то квантора для переменной, то мы можем считать, что из истинности этого выражения следует истинность этого выражения для любого значения переменной.
Цитата (Дмитрий Валерьевич Шишкалов, 05.09.2012, 23:19) <{POST_SNAPBACK}>
Нигде не сказано, что множество европейцев - это множество людей.
Нигде не говорится о совпадении множеств людей и европейцев или о том, что одно множество включено в другое. Зато говорится о непустом ПЕРЕСЕЧЕНИИ этих множеств.

P.S. Чуть позднее я напишу основные правила перевода естественного языка на язык логики предикатов.

Цитата (Виталий Лебедев, 05.09.2012, 23:29) <{POST_SNAPBACK}>
На мой взгляд, грамотный, как раз не столкнется, так как такой человек (пусть даже не знакомый с теорией нечетких множеств)

Этот вопрос вряд ли вообще имеет отношение к теории нечетких множеств.

Цитата (Виталий Лебедев, 05.09.2012, 23:29) <{POST_SNAPBACK}>
На мой взгляд, грамотный, как раз не столкнется, так как такой человек (пусть даже не знакомый с теорией нечетких множеств) чувствует ее интуитивно, поэтому имплицирует варианты ответа с точки зрения наиболее вероятного их значения, и уж никак не станет применять к проверке чего-либо лежащего в рамках одной научной модели, нормы (разг.) другой научной модели (с другими рамками (разг.)).
Речь не идет об "одной научной модели". Дело в том, что Аристотель считал невозможным рассматривать пустое множество - эта психологическая неприязнь продлилась все средние века. Однако в настоящее время использование этого объекта является не просто некой "научной моделью", а необходимым условием для верного оперирования с логическими связками, в частности - материальной импликацией (Из лжи следует все, что угодно) и является одним из ключевых компонентов теоретико-множественного оперирования.
Конечно же человек в разговорной речи всегда учитывает её неточность.
Однако для задач такого рода вещи вряд ли приемлемы. Если бы это был, скажем, тест на способность улавливать ассоциации, то тогда другое дело. Однако это - именно тест на логику, и здесь свои правила.
Раз уж Вы затронули эту тему, я позволю себе копнуть её чуть глубже, так как Вы фактически выразили довольно распространенное заблуждение, касающееся этой области.
На самом деле большинство авторов многих таких тестов с такими ошибками ВЕРЯТ, что их вопросы можно воспринять однозначно, или же что в их утверждениях есть "понятная" интерпретация, даже если она КАРДИНАЛЬНО ОТЛИЧАЕТСЯ ОТ ОБЩЕПРИНЯТОЙ.
Коснусь для уместности так называемых тестов IQ. Приведу пример. Что должно означать {2; 3; 5; 7; 13,...}? Авторы большинства тестов IQ ОШИБОЧНО ВЕРЯТ (подобно Вам в ситуации выше), что подобные вопросы допускают ОДНОЗНАЧНЫЕ ответы. В действительности, это однозначно не так. То есть КАК РАЗ ГРАМОТНОСТЬ в этом вопросе не позволяет ответить на него правильно.
Как выразился Н. Вавилов по этому поводу "Ответы на подобные вопросы определяются контекстом и фоном, а вовсе не интеллектом".
Если спросить профессионального (это как раз в пику Вашего акцентирования на грамотности) алгебраиста, что будет следующим элементом множества {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; ...}, то он заметит, что эти числа представляют собой порядки конечных простых групп и ответит, что это - 60.
Специалист же по теории чисел решит, что это - простые числа, и следующим числом назовёт 61.
Я не слышал, однако, чтобы где-нибудь проводились исследования, в которых бы имелись статистически значимые результаты о различии умственных способностей алгебраиста и теоретиков-числовиков.
Математики-профессионалы хорошо знакомы с глупостью такой постановки вопроса.
Говоря же о составлении тестов IQ, невольно задаешься вопросом - а кто проверял умственные способности самих составителей?

Резюмируя ответы Дмитрия и Виталия, я хотел бы подчеркнуть психологически естественное желание оправдать ошибки в этих тестах. Примечательно, что эти оправдания ПРОТИВОРЕЧАТ друг другу:
1. Согласно Дмитрию - да, безусловно должны были разъяснить контекст, и наверняка где-то это сделали. - Согласен, что ДОЛЖНЫ были разъяснить, но не сделали этого.
2. Согласно Виталию - да, безусловно, не надо было разжевывать контекст, поскольку грамотный и так поймёт. Согласен, что у текста может быть иногда общепринятый контекстный смысл, но дело в том, что в некоторых тестах на логику этот общепринятый смысл как раз игнорируется.

В виду вышесказанного не могу согласиться, однако, с обоими этими взаимоисключающими утверждениями.

P.S. Поскольку затронут вопрос о неоднозначности в чтении задач, то хотел бы также отметить, что время от времени сталкиваюсь с высказываниями учителей на эту тему, и важность связанную с этим умения работать с неоднозначными текстами даже в школьных учебниках и задачниках по математике.
Виталий Лебедев ( Пользователь )
«— На этой поляне живут разные растения, на некоторых из них растут ягоды.
— Я обыскал всю поляну, но так и не нашел ни одной!
— А чего ты ожидал в декабре-месяце?»


Я же не зря упоминал этимологическую разницу между словами «который» (среди множества есть объект, удовлетворяющий условию) и «некоторый» (среди множества есть или нет объект, удовлетворяющий условию). ;-)

Цитата (Валерий Чернухин, 06.09.2012, 03:38) <{POST_SNAPBACK}>
Этот вопрос вряд ли вообще имеет отношение к теории нечетких множеств.

А Вы попробуйте учесть логику нечетких множеств (так же, как и этимологическую семантику слова «некоторый»)… вдруг окажется, что рассматриваемый пример совсем не такой однозначный, как Вы его представили в своем первом сообщении? :-)

Цитата (Валерий Чернухин, 06.09.2012, 03:38) <{POST_SNAPBACK}>
Однако для задач такого рода вещи вряд ли приемлемы. Если бы это был, скажем, тест на способность улавливать ассоциации, то тогда другое дело. Однако это - именно тест на логику, и здесь свои правила.

Это был тест на общий интеллект, сязаный с логикой, так как логика (высказываний), требует определения логического базиса (однозначного определения логических высказываний), в упомянутом тесте же, часто утверждения даются не логическими высказываниями, а логическими операциями. (К тому же, если два предложения являются логическим высказыванием, то они должны выполнятся одновременно; к примеру логическое высказывание «Некоторые люди - европейцы. Европейцы имеют три ноги.» эквивалентно логическому высказыванию «Некоторые люди — европейцы, которые имеют три ноги.» но не эквивалентно конъюнкции двух логических высказываний «Некоторые люди — европейцы.» и «Европейцы имеют три ноги.». Обращаю внимание, что это не логический, а лингвистический пример, то есть для его понимания (одновременности истинности вовсе недостаточно просто перемножить два предложения).)
Так что в том, что авторы допускают ошибку я с Вами согласен, но ошибку вижу в определении теста, а не в самих заданиях. (По аналогии, неверно было бы определить задачку «А и Б сидели на трубе…» как математическую…)

Цитата (Валерий Чернухин, 06.09.2012, 03:38) <{POST_SNAPBACK}>
2. Согласно Виталию - да, безусловно, не надо было разжевывать контекст, поскольку грамотный и так поймёт. Согласен, что у текста может быть иногда общепринятый контекстный смысл, но дело в том, что в некоторых тестах на логику этот общепринятый смысл как раз игнорируется.

Не совсем так! Чтобы тест стал логическим (в строгом смысле этого слова) «контекст» должен быть «разжеван» («в логике высказываний должен быть четко определен базис» — я об этом уже писал), но но большинство реальных задач («в быту») не задается логическими высказываниями, поэтому их решение лежит в плоскости логики нечетких множеств, а не логики высказываний («нормально образованные люди в быту в этом не нуждаются, так как их интуиция (как свойство интеллекта) позволяет им «видеть» наиболее вероятные события (ситуации, ответы…)», если хотите, видеть экстремумы функции правдоподобия). (Ну, простите, я инженер, а не ученый :-) )

Цитата (Валерий Чернухин, 06.09.2012, 03:38) <{POST_SNAPBACK}>
P.S. Поскольку затронут вопрос о неоднозначности в чтении задач, то хотел бы также отметить, что время от времени сталкиваюсь с высказываниями учителей на эту тему, и важность связанную с этим умения работать с неоднозначными текстами даже в школьных учебниках и задачниках по математике.

Спасибо. Интересная ссылка и актуальная тема. (В системе Международного Бакалавриата любая задача (не математическая), сформулированная как проблема или вопрос обязана быть рассмотрена с пяти разных точек зрения… На умениях читать задачки очень хорошо сказывается :-) )
Константин Лебедев ( Пользователь )
Цитата (Валерий Чернухин, 05.09.2012, 15:44) <{POST_SNAPBACK}>
На сайте http://psyfactor.org есть тест на логику. Признаюсь, я питаю слабость к таким тестам, поэтому с удовольствием их прохожу. Но есть там вопросы, на которые грамотный человек столкнётся с проблемами, отвечая на них. Что же это за проблемы?Рассмотрим конкретный вопрос в тесте (это - далеко не единственный ошибочный там вопрос). Даётся следующее утверждение.
Цветы - это зеленые звери.
Цветы пьют водку.


а) все зеленые звери пьют водку
б) все зеленые звери являются цветами
в) некоторые зеленые звери пьют водку
г) Зеленые звери не пьют водку
д) зеленые звери не являются цветами
е)ни одно из вышеперечисленных

Грамотный человек решит эту задачу не так, как "надо" в тесте. Что меня поразило - правильным ответом считается ответ в), который на самом деле неверен. А верен ответ е).
Почему?

Конечно неявно предполагается, что множества не пустые. Это же тест для школьников и все понимается в самом ходовом смысле. Тогда, пункт в) удовлетворяет всем условиям, стоит нарисовать два круга, внешний "звери", внутри "цветы" и сразу возникает понимание, что только пункт в) правильно.

Цитата
Дело в том, что в традиционной логике, начинания с Аристотеля, действует так называемое правило конверсии: "Если всякое А есть В, то некоторое А есть В". Это правило очень режет ухо любому человек, который учил математику чуть больше, чем только в школе.

Почему, Валера, режет, если первая часть истина, то и вторая истина. Если "всякое" , то "некоторые" .

Цитата
Сразу же акцентируюсь на одном важном практическом приеме.
Традиционную логику лучше всего воспринимать в терминах теории множеств.
В этом случае задачи, связанные с использованием традиционной логики, решаются очень быстро без только усложняющих восприятие таких новых понятий, как "фигура силлогизма", "бОльшая и мЕньшая посылки", "средний и крайний термины" и т.д.

Надо и так и так уметь.

Цитата
Из правила конвесии можно, таким образом, сделать совершенно ошибочный вывод - "Из того факта, что А является подмножеством множества В" следует, что "Пересечение А и В содержит элементы".

Предполагаем что непустые множества.

Цитата
Возвращаясь к нашей задаче из теста, мы решим её быстро:
Цветы - это зеленые звери означает, что класс цветов является подклассом класса зеленых зверей
Цветы пьют водку означает, что класс цветов является подклассом класса пьющих водку


Однако математик заметит, что к примеру класс цветов может быть и пустой, и данные утверждения не противоречат этой возможности.

Эта тонкость, которую надо оговаривать в начале формулировки тестов, что множества не пустые и все станет на место.
Ясно что всегда имеют в виду, что множества не пустые, иначе чуть ли не всегда будут такие коллизии возникать. Как например и тождественные преобразования в алгебре, подразумевается что знаменатель не ноль или оговаривают это или подразумевают.

Цитата
Поэтому тот ответ, который выдаётся за правильный - некоторые зеленые звери пьют водку - фактически означает, что "существуют зеленые звери, которые пьют водку" - является неверным, они не обязательно могут существовать.

Изначально предполагается непустые множества.
Валерий Чернухин ( Пользователь )
Цитата (Виталий Лебедев, 06.09.2012, 08:45) <{POST_SNAPBACK}>
«Некоторые люди - европейцы. Европейцы имеют три ноги.» эквивалентно логическому высказыванию «Некоторые люди — европейцы, которые имеют три ноги.» но не эквивалентно конъюнкции двух логических высказываний «Некоторые люди — европейцы.» и «Европейцы имеют три ноги.».
Это совершенно неверно.
Я не случайно обращал внимание на удобство использование операций с классами (множествами).
Итак, Вы неверно сказали, что «Некоторые люди - европейцы. Европейцы имеют три ноги.» эквивалентно логическому высказыванию «Некоторые люди — европейцы, которые имеют три ноги
"Некоторые люди - европейцы" означает, что пересечение множеств людей и европейцев - непустое.
"Европейцы имеют три ноги" означает, что множество европейцев является подмножеством объектов с тремя ногами (треножники туда тоже входят, например).
А высказывание "Некоторые люди — европейцы, которые имеют три ноги" означает, что пересечение множеств людей и евпропейцев стремя ногами - непустое. Надо сказать, что из высказывания «Некоторые люди - европейцы. Европейцы имеют три ноги.» и правда следует, что "Некоторые люди — европейцы, которые имеют три ноги" Но из второго первое не следует.
Это очень легко увидеть - из второго высказывания "Пересечение множеств людей и европейцев с тремя ногами" непустое, НЕ СЛЕДУЕТ что у ВСЕХ европейцев - три ноги.
Вы допустили логическую ошибку.

Далее, Вы сказали, что «Некоторые люди - европейцы. Европейцы имеют три ноги.» не эквивалентно конъюнкции "Некоторые люди - европейцы" И "Европейцы имеют три ноги". Фишка в том, что как раз эквивалентны. Это - почти тривиальное логическое правило - система высказываний эквивалентна коньюнкции высказываний.
Именно на этом основано правило: Если высказывания А, Б, В,... логически влекут за собой высказывание W, то конъюнкция этих высказываний А&Б&В&.... логически влечет за собой высказывание W. И наоборот.

Цитата (Виталий Лебедев, 06.09.2012, 08:45) <{POST_SNAPBACK}>
«— На этой поляне живут разные растения, на некоторых из них растут ягоды.
— Я обыскал всю поляну, но так и не нашел ни одной!
— А чего ты ожидал в декабре-месяце?»


Я же не зря упоминал этимологическую разницу между словами «который» (среди множества есть объект, удовлетворяющий условию) и «некоторый» (среди множества есть или нет объект, удовлетворяющий условию). ;-)
А где в этом примере слово "который"? Хотелось бы мысль понять. Для слова "который" она звучит туманно. А со значением слова "некоторый" согласен - оно и правда подразумевает существование.

Цитата (Виталий Лебедев, 06.09.2012, 08:45) <{POST_SNAPBACK}>
А Вы попробуйте учесть логику нечетких множеств (так же, как и этимологическую семантику слова «некоторый»)… вдруг окажется, что рассматриваемый пример совсем не такой однозначный, как Вы его представили в своем первом сообщении? :-)

Вы и правда знакомы с теорией нечетких множеств? Странно, что Вы во второй раз про него вспоминаете. Я мог бы кратко ее изложить, но не думаю, что для формулируемых задач это подходит.
"В действительности теория нечетких множеств представляет собой чисто словесную инновацию, предпринятую в коммерческих и рекламных целях. Она полностью моделируется в обычной теории множеств и не представляет собой ничего нового по сравнению с традиционной теорией веротности" (Н. Вавилов).
Неоднозначность формулировки задач Вы вряд ли встретите среди книг Смаллиана, Гарднера, Пойа и т.д. Это - скорее вопрос "культурной отсталости", как выразился Н. Вавилов.

Цитата (Виталий Лебедев, 06.09.2012, 08:45) <{POST_SNAPBACK}>
Это был тест на общий интеллект, сязаный с логикой, так как логика (высказываний), требует определения логического базиса (однозначного определения логических высказываний), в упомянутом тесте же, часто утверждения даются не логическими высказываниями, а логическими операциями.

А Вы точно понимаете смысл словосочетаний "логические операции"?
Что-то странно с терминологией. Я всегда наивно считал, что слова "утверждение" и "высказывание" означают одно и то же - они либо истинны, либо ложны. А про какие-то особые "логические высказывания" я ничего не знаю. Короче, я пытался Вас понять, но не смог.

Цитата (Виталий Лебедев, 06.09.2012, 08:45) <{POST_SNAPBACK}>
Так что в том, что авторы допускают ошибку я с Вами согласен, но ошибку вижу в определении теста, а не в самих заданиях. (По аналогии, неверно было бы определить задачку «А и Б сидели на трубе…» как математическую…)
Другими словами, Вы утверждаете, что это тест не на логику? В названии ошиблись. Перепутали малость. Думали, что на логику, а на самом деле - нет.
Ну что тут ответить? Как в том анекдоте.
"-Товарищ Сталин. Мы поймали человека, носит усы как у Вас. Что делать?
- Как что? Расстрелять конечно!
- А может заставить усы сбрить?
- Ну, или так
."
И я тоже с Вами соглашусь - Или так. Все верно.

Цитата (Виталий Лебедев, 06.09.2012, 08:45) <{POST_SNAPBACK}>
Не совсем так! Чтобы тест стал логическим (в строгом смысле этого слова) «контекст» должен быть «разжеван» («в логике высказываний должен быть четко определен базис» — я об этом уже писал), но но большинство реальных задач («в быту») не задается логическими высказываниями, поэтому их решение лежит в плоскости логики нечетких множеств, а не логики высказываний («нормально образованные люди в быту в этом не нуждаются, так как их интуиция (как свойство интеллекта) позволяет им «видеть» наиболее вероятные события (ситуации, ответы…)», если хотите, видеть экстремумы функции правдоподобия). (Ну, простите, я инженер, а не ученый :-) )
Это вопрос опытности. Есть вагон и маленькая тележка одновременно бытовых и чисто логических задач. И одно другому не мешает. Беда в том, что под соусом логики иногда придумываются некорректные задачи.
Покажу уже известным положительным примером, который ранее приводил.
Дочь приехала со сватьей
Выбрать мужа из трёх братьев:
Фрол - правдивый, Фёдор - лгун,
А Иван - так-сяк, болтун.

Жениху любому рада,
Только болтуна не надо.
Между тем три брата в ряд
Перед ней во фрунт стоят.

Девушка, набравшись силы,
Одного лишь раз спросила,
Чтоб он мог сказать в ответ
Что-нибудь из "Да" и "Нет",

А потом: "Глядите, люди,
Вот кто суженым мне будет!"
Что спросить она должна,
Чтоб не выбрать болтуна?

В данной задаче условие сформулировано однозначно и корректно. Откройте книги Смаллиана, Гарднера - тоже однозначно и корректно сформулированы самые что ни на есть бытовые задачи. Так что это вопрос опыта и культуры. Каков вопрос, такой ответ.
Кстати и я не математик, а простой биолог. Правда всегда наивно считал, что от этого не должно страдать владение логикой.


Цитата (Лебедев Константин Андреевич, 06.09.2012, 09:30) <{POST_SNAPBACK}>
Эта тонкость, которую надо оговаривать в начале формулировки тестов, что множества не пустые и все станет на место.

Точнее ОДНА из тонкостей - составителям таких тестов тоже желательно знать эти ньюансы.

Цитата (Лебедев Константин Андреевич, 06.09.2012, 09:30) <{POST_SNAPBACK}>
Цитата Дело в том, что в традиционной логике, начинания с Аристотеля, действует так называемое правило конверсии: "Если всякое А есть В, то некоторое А есть В". Это правило очень режет ухо любому человек, который учил математику чуть больше, чем только в школе.
Почему, Валера, режет, если первая часть истина, то и вторая истина. Если "всякое" , то "некоторые" .

Охотно объясню. Потому что слово "некоторый" означает, что объект существует хотя бы один. Слово же "все" допускает, что объектов может не быть.
Например, фраза "Все натуральные числа, которые больше 10 и одновременно меньше 10 являются простыми" является истинным высказыванием!

Еще раз подчеркиваю. И это не смотря на то, что из истинности (Аx)W следует (Ех)W.

Спасибо Виталию Викторовичу, Дмитрию Валерьевичу и Константину Андреевичу за конструктивные комментарии.
Виталий Лебедев ( Пользователь )
Цитата (Валерий Чернухин, 06.09.2012, 10:25) <{POST_SNAPBACK}>
Это совершенно неверно.

Правильно ли я понял, что Вы не видите разницы между:
С = Некоторые люди - европейцы. Европейцы имеют три ноги.
и
С = А * В = Некоторые люди - европейцы * Европейцы имеют три ноги?
Если это так, то боюсь, дальше объяснить что-либо будет достаточно тяжело.
Единственное предположение Вашего непонимания моего текста может проистекать из-за путаницы в терминах.
Итак, в качестве понятий я использую следующие:
Утверждение (логическое утверждение или утверждение в логике) — текстовая или символьная конструкция, образованная путем логических операций над высказываниями.
Логическое высказывание (или высказывание) — это некое предложение (мысль), которое может (переформулированное в виде вопроса) быть истинным или ложным (и никаким другим) и не может быть «разбито» (представленное) в виде логических операций на другими высказываниями или утверждениями. Иногда, такие высказывания называют элементарными логическими высказываниями, а утверждения — составными логическими высказываниями.
Базис (какой-либо конкретной логики, например, женской :-) — набор логических высказываний. В гуманитарной сфере к определению следует добавить «позволяющих (с помощью логических операций) составить непротиворечивую картину мира конкретного субъекта или группы субъектов». Базис неформальной логики — набор логических высказываний и логических операций (которые могут отличаться от операций формальной логики).

В тестах на логику (в строгом, а не бытовом смысле этого слова) базис (или задача) обязаны быть дана через высказывания, а не утверждения (или через высказывания и утверждения), так как из-за лингвистических особенностей утверждения (без высказываний) могут интерпретироваться по-разному.

Именно поэтому, когда я писал, что «высказывание «Некоторые люди - европейцы. Европейцы имеют три ноги.» эквивалентно логическому высказыванию «Некоторые люди — европейцы, которые имеют три ноги.» но не эквивалентно конъюнкции двух логических высказываний «Некоторые люди — европейцы.» и «Европейцы имеют три ноги.».», так как высказывание не может быть «делимым», не элементарным. Попробуйте представить утверждение «Некоторые люди - европейцы. Европейцы имеют три ноги.» в виде неделимого, элементарного высказывания и (может быть :-) ) все встанет на свои места.

Цитата (Валерий Чернухин, 06.09.2012, 10:25) <{POST_SNAPBACK}>
Именно на этом основано правило: Если высказывания А, Б, В,... логически влекут за собой высказывание W, то конъюнкция этих высказываний А&Б&В&.... логически влечет за собой высказывание W. И наоборот.

Я, если честно, не знаю, где Вы нашли это правило… Может быть Вы имели в виду, что А, Б, В и W являются выражениями, а не высказываниями (то, есть, формулами), а А, Б и В — есть совокупность, то есть, множество формул?
(Хотя, конечно, (даже если А, Б и В и высказывания) если A→W, Б→W и В→W, то A*B*Б→W :-), только к рассматриваемому случаю это отношения не имеет, так как из того, что «Некоторые люди — европейцы» вовсе не следует, что «Люди с двумя ногами не являются европейцами» :-) )
И про «наоборот»: я всю жизнь считал, то «влечет» и «следует» не синонимы :-)

Цитата (Валерий Чернухин, 06.09.2012, 10:25) <{POST_SNAPBACK}>
А где в этом примере слово "который"? Хотелось бы мысль понять. Для слова "который" она звучит туманно. А со значением слова "некоторый" согласен - оно и правда подразумевает существование.

Это Вы с кем-то другим согласны :-)

Цитата (Виталий Лебедев, 06.09.2012, 08:45) <{POST_SNAPBACK}>
Я же не зря упоминал этимологическую разницу между словами «который» (среди множества есть объект, удовлетворяющий условию) и «некоторый» (среди множества есть или нет объект, удовлетворяющий условию). ;-)

А слово «который» я упомянул, чтобы показать эту разницу между ним и словом «некоторый». …И привел пример, употребления местоимения «некоторый» в значении «какой-то или (∪) никакого».

Цитата (Валерий Чернухин, 06.09.2012, 10:25) <{POST_SNAPBACK}>
Вы и правда знакомы с теорией нечетких множеств?

Ну, настолько, насколько это требовалось для написания в институте работы «Функция правдоподобия высоты источника сигнала, расположенного над водной поверхностью в условиях приема антенной решеткой, как прямого, так и отраженного сигналов»…

Цитата (Валерий Чернухин, 06.09.2012, 10:25) <{POST_SNAPBACK}>
Я мог бы кратко ее изложить, но не думаю, что для формулируемых задач это подходит.

НУ, и самомение у Вас! :-)
Не надо излагать, покажите примеры Вашего использования этой теории в реальной практике, так как то, что Вы не видите ее связи с рассматриваемой ситуацией заставляет меня сильно сомневаться в том, что Вы действительно в ней хорошо разбираетесь.
Мир шире Яндекса! ©

Цитата (Валерий Чернухин, 06.09.2012, 10:25) <{POST_SNAPBACK}>
"В действительности теория нечетких множеств представляет собой чисто словесную инновацию, предпринятую в коммерческих и рекламных целях. Она полностью моделируется в обычной теории множеств и не представляет собой ничего нового по сравнению с традиционной теорией веротности" (Н. Вавилов).

А можно узнать, почему мнение Н. Вавилова должно быть авторитетным в этом вопросе? И кто такой этот Н. Вавилов, познакомьте, пожалуйста!
На всякий случай: я не поддаюсь на такой психологический прием, как ссылка на авторитеты, более того, считаю его некорректным, используемым в случае отсутствия реальной аргументации у оппонента.

Цитата (Валерий Чернухин, 06.09.2012, 10:25) <{POST_SNAPBACK}>
А Вы точно понимаете смысл словосочетаний "логические операции"?
Что-то странно с терминологией. Я всегда наивно считал, что слова "утверждение" и "высказывание" означают одно и то же - они либо истинны, либо ложны. А про какие-то особые "логические высказывания" я ничего не знаю. Короче, я пытался Вас понять, но не смог.

А Вы?
Свои определения я уже изложил. Согласен с тем, что есть школы, где «утверждение» и «высказывание» — синонимы, есть (и я пользуюсь их терминологией), где не синонимы. А про логические высказывания… ну, мне даже как-то неудобно Вам что-либо посоветовать, чтобы познакомиться с этим понятием… :-)

Цитата (Валерий Чернухин, 06.09.2012, 10:25) <{POST_SNAPBACK}>
Это вопрос опытности.

С этим согласен.
Цитата (Валерий Чернухин, 06.09.2012, 10:25) <{POST_SNAPBACK}>
Есть вагон и маленькая тележка одновременно бытовых и чисто логических задач. И одно другому не мешает.

А также, пара составов бытовых, но не чисто логических задач или таких задач, которые могут стать логическими только после кучи уточнений.

Цитата (Валерий Чернухин, 06.09.2012, 10:25) <{POST_SNAPBACK}>
Беда в том, что под соусом логики иногда придумываются некорректные задачи.

У понятия «логика» есть несколько значений (именно поэтому возможны такое понятия как «женская логика», «обывательская логика», «учительская логика»), то, о чем Вы постоянно говорите называется формальной логикой.
В современности все большую популярность получают вероятностные методы, поэтому в настоящем под логикой понимают не просто формальную логику, но и умение составлять непротиворечивые конструкции и делать непротиворечивые выводы из имеющихся данных в условиях некоторой неопределенности и составители тестов (сознательно или нет) этому следуют (иногда корректно, иногда, нет).

footer logo © Образ–Центр, 2018. 12+