Личный кабинет
Школьное естествознание и современная наука.

Заметки о математическом доказательстве.






Математика - наука важная, и в школе к ней относятся с соответствующим пиететом. Однако всё-таки довольно редко школьникам удается выйти за "ограничительные" рамки школьной программы и взглянуть на нее с высоты птичьего полета. Я очень благодарен своей школьной учительнице Любовь Дмитриевне за то, что она как-то сумела зажечь интерес к неевклидовой геометрии, как бы между делом, рассказывая о Лобачевском и побудив меня сделать в классе доклад об этом.
Но это - лирическое вступление о том, что интерес пробуждают отнюдь не рамки подготовки ЕГЭ.
Как-то здесь на форуме в ветке "Математика" много говорилось о математике как дедуктивной науке, однако моё замечание о принципиальной эмпиричности этой науки осталось почти незамеченным. Говоря об эмпиричности этой науки затрону только один вопрос - эмпиричность математического доказательства.
У Н. Бурбаки (это такой псевдоним группы математиков) в его "Теории множеств", изданной в 1965 есть утверждение, ставшее крылатой фразой: «Со времен греков говорить “математика” — значит говорить доказательство».

Поговорим о математических доказательствах. Я не буду воспроизводить книги по матлогике, просто скажу, что формальное доказательство - это текст. Причём такой, что из этого текста должно с помощью какого-то алгоритма однозначно ясно следовать, что этот текст является доказательством, и что он доказывает. А более продвинутые математики сказали бы - "существует алгоритм (машина Тьюринга или другая вычислительная эквивалентность), который позволяет выявить по структуре текста - то есть распознать - является ли текст доказательством или нет, и что этот текст доказывает.
Банально и очевидно? Хорошо.
Но что такое алгоритм - это, говорят, некая "механическая" процедура, дающая предписания, по которой можно делать только "самые элементарные действия" - например, записывать символы или их стирать.
Грубо конечно, но наверно понятно в первом приближении.

Развитие теории алгоритмов было связано во многом с работами Алана Тьюринга (которого на старости лет загнобили челеовеческой косностью, доведя до самоубийства).
Метод Тьюринга основывался на том, чтобы в терминах чисто физических действий сформулировать понятия "вычисление" и "логическое доказательство".Произошла "механизация" процедур, связанных с логическим выводом. И уже сам по себе этот факт - машина стала способна генерировать тексты, являющиеся доказательством, повлёк за собой необычные последствия.
Математическое доказательство стало механически воспроизводимым, а потому экспериментально проверяемым. Реальные физические машины оказались включены в процесс математического доказательства (конечно я утрирую - наша мыслительная деятельность - тоже реальный физический процесс). Теперь не только математика оказалась эффективной в остальной физике, но и сами воспроизводимые физические процессы оказались эффективными в математике.
Первый известный факт, получивший резонанс в среде математиков - это механическое доказательство теоремы о раскраске карты.
Текст доказательства, выдаваемый машиной, оказался настолько длинным, что живые люди столкнулись с проблемой его восприятия. Большинство высказавшихся математиков приняло поначалу такое доказательство в штыки, но прецедент состоялся. Фактом, убеждающим нас в истинности теоремы, оказался результат не умственных усилий человека, а работы "механического" устройства, дающего на выходе какой-то результат физического процесса.
Можно было сделать вид, что это курьёз, но на этом процесс не остановился.
Практическую значимость имеет теорема о максимальной плотности упаковки шаров. В 1611 году Иоганн Кеплер, да, тот самый, предположил, что самой плотной упаковкой является случай, когда самым плотным расположением является самое естественное: первый слой нужно положить так же, как бильярдные шары лежат на столе в начале партии, то есть когда каждые три ближайших шара лежат в вершинах правильного треугольника.
Простая гипотеза? Попробуйте доказать. Лишь в 1998 году американец Том Хейлз разобрался с гипотезой Кеплера и "доказал", что гранецентрированная кубическая упаковка является оптимальной. Доказательство, поданное Хейлзом для публикации в журнале «Анналы математики», включало 250 страниц записей и около 3 гигабайт компьютерного кода.
А как же человек?
Как он убедится в правильности доказательства?\
Для того чтобы осуществить проверку работы Хейлза, журнал созвал комиссию из 20 специалистов в этой области. Эта комиссия работала шесть лет, и было принято решение опубликовать в журнале теоретическую часть работы, а проверку компьютерной части отложить "до лучших времен", которые пока не наступили.
А что будет в будущем?
Однако эта история принимает ещё более радикальный оборот после того, как Дэвид Дойч не изобрёл, пока на кончике пера, квантовый компьютер. Этот компьютер в некоторых отношения оказывается не просто эффективнее, но и необычнеее. Он не может печатать протокол вычислений. Или, как сказал Шень (специалист в этой области) "Нельзя отсоединить квантовый принтер от квантового компьютера, пока идёт работа, иначе один или оба прибора испортятся..."
Если в классическом случае подразумевалось, что доказательство должно быть ПРОТОКОЛИРУЕМОЕ, то есть каждый шаг должен быть записан, то в квантовом случае протокол окажется "вне наблюдаемой части вселенной".
Предоставлю слово Дэвиду Дойчу: "Наряду с прочими приложениями, квантовые вычисления существенно повлияли на понятие математического доказательства.
Теперь мы вынуждены отказаться от такого определения. Отныне доказательство должно рассматривать как процесс - то есть вычисление самое по себе. Мы должны признать, что в будущем квантовые комьютеры будут доказывать теоремы методами, КОТОРЫЕ НЕЛЬЗЯ БУДЕТ ПРОВЕРЯТЬ ПОШАГОВО...
"
Как после этого утверждать, что вычисление и логический вывод - это не ФИЗИЧЕСКИЕ процессы, а сам ФИЗИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ - не поставщик математических истин?
Возвращаясь к высказыванию Бурбаки о том, что математика - это прежде всего доказательство, и в свете сказанного учитывая, что это доказательство является результатом физического эксперимента, предлагаю вывод делать самим.

Остается вспомнить калькулятор, которому мы доверяем вычисление и не просим протокола его выполнения.

Возвращаясь к размышлениям о школьной математике, задумываешься, насколько она - эта математика - способна дать не то, что навык, а даже элементарное представление о доказательствах и побудить искренний, а не показной гламурный интерес к этому вопросу.

Литература.
Д. Дойч, А. Экерт, Р. Лупачини Машины, логика и квантовая физика.


    avatar 12.10.2014 | 19:43
    Михаэль Арест Пользователь

    Валерий Алексеевич! Тут дело в другом. Вы двумя ногами стоите в системе (аксиоматика Евклида; логика Аристотеля) и это база Вашего мировоззрения. Я же двумя ногами стою в созданном мной диалектическом материализме. Чем мы различаемся? Способом пользования математикой. Вы продолжаете традиционный путь, но под другим ракурсом, а я показываю, что этот путь не отвечает природе мышления.То что принцип линеаризации был опрокинут Мандельбротом - это реальный факт, сделанный традиционным математиком. А то, что фрактал представляет самоподобную структуру вытекает уже из диалектики и знаменитого принципа снятия.Теория доказательства базирует на логическом законе исключенного третьего. Но этот закон не позволяет понять движение, построенное только на противоречии.Кривизну пространства поняли через 50 лет после ее открытия. Познавательные возможности математики ТАК БЫСТРО просто не поймут.Откуда у меня такой взгляд? Ведь я сын доцента кафедры высшей математики, а учился в начальной школе на двойки. Просто я органически не приемлю процесс обучения: только самопознание. Поэтому и в универе меня не видели, поскольку только экзамены приходил сдавать. Но все эти знания дальше рубашки не шли и потому сберег свое природное мышление - интуицию. Математическое доказательство для меня таже эквилибристика, поскольку ничего точного нет и быть не может и в этом суть диалектики.То, что мы компостируем детям головы уже привычными компостерами - это очевидно. То, что это не понимают сегодня - увы, не только это. Мы с Вами стоим на разных ступенях понимания, посколькуя пользуюсь инструментами теории категорий.С уважением! Михаил Арест


     

    avatar 16.04.2012 | 14:17
    Валерий Чернухин Пользователь

    Вы перепутали проблему ПРАКТИЧЕСКОЙ реализации с проблемой того, СУЩЕСТВУЕТ ли вообще. Это как если бы Вы стали отрицать термоядерную энергию только из того факта, что её пока (кроме бомб) мы не научились эффективно использовать.


     

    avatar 16.04.2012 | 14:10
    Валерий Чернухин Пользователь

    Цитата: ""Квантовые комптьютеры действительно не получаются", поскольку нет в природе таких явлений и абстракций, как недифференцируемые события и принципиально недискретизируемая логика."Эти умные понятия вряд ли имеют отношение к КК. Квантовые вычисления - это просто унитарное преобразовани е n-ки комплексных чисел. Есть ФИЗИЧЕСКИЕ устройства, которые реализуют эти преобразования, безотносительно к той философии, которая им может быть приписана.


     

    avatar 11.04.2012 | 18:24
    Валерий Чернухин Пользователь

    Владимиру. С практической точки зрения квантовые комптьютеры действительно не получаются, не смотря на утки. Шэнь вообще считает, что это вопрос десятилетий. Но принципиально простейшие квантовые устройства реализуемы на практике уже сейчас, в том числе и то, с полупрозрачным зеркалом, которое описывается в приведённой ссылке. Спасибо.


     

Дата регистрации: 19.07.2011
Комментарии:
4
Просмотров 4
Сказали спасибо 0
Сказать спасибо
footer logo © Образ–Центр, 2019. 12+