Личный кабинет

Измерение объёма и площади тел произвольной формы с помощью закона Архимеда

Исследовательская работа по физике 7 класс ФГОС


Все тела, которые нас окружают, имеют площадь и объём. В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с телами разных форм и объемов. А как измерить или вычислить объём и площадь тела произвольной формы. С помощью закона Архимеда можно вычислить площадь и объём любой фигуры, а так же узнать, из какого вещества состоит тело

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ г. ИРКУТСКА

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №28

 

Исследовательская работа

 

«Измерение объёма и площади

тел произвольной формы

с помощью закона Архимеда»

 

 Выполнил:

 ученик 7б класса   Агафонов Александр

 

2018 г.

Содержание

 

Введение

Глава 1. Теоретическая часть

  1. История вычисления объёма и площади
  2. Легенда о короне Гиерона
  3. Закон Архимеда

Глава 2. Практическая часть

  1. Вычисление объема произвольного тела
  2. Вычисление площади произвольного тела
  3. Определение вещества тела

Заключение

Список информационных источников

  

Введение

Актуальность

Все тела, которые нас окружают, имеют площадь и объём. В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с телами разных форм и объемов. А как измерить или вычислить объём и площадь тела произвольной формы?

Всегда ли можно измерить объем и площадь любого тела?

Зачем человеку нужно уметь измерять и вычислять площадь и объемы тел на практике?

Гипотеза:

С помощью закона Архимеда можно вычислить площадь и объём любой фигуры, а так же узнать, из какого вещества состоит тело

Предмет исследования:

Применение закона Архимеда при решении практических задач

Объект исследования:

Вычисление площади и объёма произвольных фигур

Цель:

найти метод измерения и вычисления площади и объемов нестандартных тел в повседневной жизни.

Задачи:

  • Подобрать и изучить литературу по теме
  • Узнать об истории открытия закона Архимеда
  • Решить задачи на нахождение площади и объёма произвольных тел
  • Определить, из какого вещества состоит тело

Методы исследования:

  • теоретический: анализ научных источников, анализ результатов, выводы
  • экспериментальный: лабораторный опыт

 

Глава 1.

История вычисления объёмов

Практическое применение геометрии начинается с древних времён. Египтяне использовали эту науку в различных хозяйственных работах, при сооружении оросительных каналов, грандиозных храмов и пирамид, при высечении из гранита знаменитых сфинксов и т.п.

Содержащиеся в дошедших до нас папирусах геометрические сведения и задачи почти все относятся к вычислению площадей и объемов. В них нет никаких указаний на способы вывода тех правил, которыми пользовались египтяне для вычисления длин, площадей и объёмов; часто употреблялись правила приближённых подсчётов. Высшим достижением египетской геометрии следует считать точное вычисление объёма усечённой пирамиды с квадратным основанием, содержащееся в «Московском папирусе».

 

Поиск формул, позволяющих вычислять объемы различных тел, был долгим. В древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для нахождения объема усеченной пирамиды. Определять объемы призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки еще задолго до Архимеда. Но только он знал общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления. Сам ученый определил с помощью своего метода площади объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике. На могильной плите Архимеда, как завещал ученый, был изображен цилиндр с вписанным шаром, а эпитафия говорила о величайшем открытии Архимеда - о том, что объемы этих тел относятся как 3: 2. В памятниках вавилонской и древнеегипетской архитектуры встречаются такие геометрические фигуры, как куб, параллелепипед, призма. Важнейшей задачей египетской и вавилонской геометрии было определение объема различных пространственных фигур. Эта задача отвечала необходимости строить дома, дворцы, храмы и другие сооружения. Объемы зерновых амбаров и других сооружений в виде кубов, призм и цилиндров египтяне и вавилоняне, китайцы индийцы вычисляли путем умножения площади основания на высоту. Однако древнему Востоку были известны только отдельные правила, найденные опытным путем. В более позднее время был найден общий подход к вычислению объемов многогранников.

 

Легенда о короне Гиерона

     Властитель города Сиракузы царь Гиерон, в память об одержанной победы заказал ювелиру новую корону, для её изготовления он дал ему необходимое количество золота. Корона получилась великолепная, но наслаждаться её красотой Гиерону мешала мысль: «А вдруг ювелир добавил серебро, а не золото, а часть золота присвоил себе?»

 

Устав от мучивших его сомнений Гиерон вызвал к себе Архимеда прославившегося на всю Грецию соей учёной мудростью и велел узнать сколько золота в его короне.

 

Долго думал Архимед над его словами, ведь наука в то время была не так развита. Но как-то раз погружаясь в ванну с водой он заметил, что воды стало больше, а часть выплеснулась через край. Это подсказало учёному решение задачи, ведь объём вытесненной воды равен объёму его тела. Тоже самое случиться и с любым телом погружённым в жидкость от радости, что в его голову пришла идея решения этой задачи, он выскочил из ванной и помчался по улице с радостным криком «Эврика»- что означает «нашёл».  

  Он побежал во дворец, чтобы погрузить корону в воду, чтобы точно дать ответ Гиерону. Архимед попросил у царя 2 слитка: 1 слиток из золота, а 2 из серебра. Каждый такого же веса что и корона. Сначала он погрузил слиток серебра в сосуд до краёв заполненный водой и измерил количество вытесненной воды. Потом он тоже самое проделал со слитком золота того же веса. Золото вытеснило уже меньше воды. Это объясняется тем что удельный вес золота больше удельного веса золота серебра. Потом Архимед опять наполнил водой сосуд и погрузил корону в воду. Невозможно вычислить объём фигуры такой сложной формы. Но объём вытесненной воды можно вычислить точно. Корона вытеснила меньше воды чем слиток серебра, но больше чем слиток золота. Часть золота ювелир всё-таки утаил, заменив его на серебро.

 

Закон Архимеда.

Согласно легенде решение задаче о короне Гиерона, привела Архимеда к открытию закона.

«На тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной жидкости»

( в частности, объем вытесненной воды равен объёму погруженного в нее тела, потому что удельный вес воды = 1)

Вычисления объёмов тел произвольной формы с помощью закона Архимеда.

    Мы умеем вычислять объёмы некоторых геометрических тел с помощью известных нам формул например: объёмы параллелепипеда , куба, конуса, цилиндра, пирамиды и шара.

 

    Пусть требуется найти объём тела произвольной  формы т.е. его нельзя разбить на части объём которых можно вычислить по известным формулам.

 Воспользуемся законом Архимеда. Погрузим тело в сосуд до краёв наполненный водой и измерим количество вытесненной воды.

 Объём данного тела невозможно точно вычислить, а объём вытесненной воды можно вычислить точно. Таким образом мы можем найти объёмы любых сложных тел.

  

Глава 2

Использование закона Архимеда для вычисления фигур.

   Пусть требуется найти площадь плоской фигуры сложной формы (её нельзя разбить на мелкие фигуры площадь которых умеем вычислять: многоугольник, круг и т.д.) Поступим следующим образом, вырежем из какой-нибудь пластины цилиндрическое тело в основание которого лежит искомая фигура, погрузим это тело в воду и вычислим количество вытесненной жидкости таким образом мы найдём объём цилиндрического тела. Известно что объём любого цилиндрического тела равен произведению площади основания на высоту. Объём мы нашли пользуясь законом Архимеда, а высоту цилиндрического тела равную толщине пластины можем измерить. Таким образом площадь основания цилиндрического тела т.е. площадь фигуры найдётся как частная от деления объёма на высоту.

 

Задача  №1.

Найти V тела.

Мы погрузили в чашку с водой до верху наполненной водой тело (камень) V которого надо было найти, часть воды вылилась во вторую чашку, вытесненную воду перелили в мерный стакан и нашли V=90мл=90 см³ 

Задача №2

Определить S лесного массива, изображенного на карте с масштабом 1:10000

1 Перевели на бумагу границы массива и получили фигуру S которой надо определить

2  Вырезали из толстой фанеры тело ограниченное с верху и с низу нашей фигурой

Полученное тело называется цилиндрическим телом V=S·h

h-высота тела (толщина)

3 h=1,2 см= 12мм

4 Найдём V, путём погружения в воду как в задание №1 и получили V~50мл=50см³

5 S=C=V:h=50см³:1,2см=41 2:3 см² (это S лесного массива на карте)

6 Из масштаба 1:10000 следует 1см-10000см=10км, тогда 1см²-100км²

7 Фактическая S лесного массива =41 2:3 · 100= 4100+66,6… ~ 4167 (км²)

 

Задача №3

Определить вещество тела

1 Как и в задаче №1 погрузим тело в сосуд доверху заполненный водой, нашли V=200мл=200см³

2 Взвесим тело на весах, нашли m=

3 Определим плотность вещества, плотность=m:v=      :200см³=         г:см³

 

Заключение

Велика роль геометрии в нашем современном мире. В своей практической деятельности человек часто встречается с необходимостью вычисления объёмов и площади различных тел и фигур. Зная теорему Архимеда путём измерений и несложных экспериментов, можно найти решение интересующих нас задач. Наша гипотеза подтвердилась

 

Список информационных источников

Энциклопедия для детей. Т.11. Математика/Глав. ред.М.Д. Аксёнова. – М.: Авантаж, 1998. - 688 с.

https://multiurok.ru/blog/issliedovatiel-skaia-rabota-vychislieniie-obiomov.html

http://www.etudes.ru/

https://урок.рф/library/issledovatelskaya_rabota_matematika_vokrug_nas_220500.html

http://uchitelya.com/matematika/3744-issledovatelskaya-rabota-po-matematike-sposoby-nahozhdeniya-ploschadey-figur-ili-zadachi-na-kletochnoy-bumage-5-klass.html

 

 

Добавлено: 10.05.2018
Рейтинг: 7
Комментарии:
0
footer logo © Образ–Центр, 2019. 12+