Личный кабинет

Решение задач с параметрами. Подготовка к ЕГЭ

В данной работе рассмотрены методы решения задач с параметрами.


Решить задачу с параметрами – это значит установить, при каких значениях параметров задача имеет решения, и найти эти решения в зависимости от параметров. Решение подобного типа задач должно сопровождаться своего рода исследованием. Именно необходимость проводить исследование значительно осложняет решение задач с параметрами.

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение "Лицей №14 имени Заслуженного учителя Российской Федерации А.М. Кузьмина"

 

 

«Решение задач с параметрами. Подготовка к ЕГЭ»

 

 

 

 

Автор работы:
Бурмистрова А.В.,
учитель математики

 

 

 


ТАМБОВ 2019 
ВВЕДЕНИЕ
Решить задачу с параметрами – это значит установить, при каких значениях параметров задача имеет решения, и найти эти решения в зависимости от параметров. Решение подобного типа задач должно сопровождаться своего рода исследованием. Именно необходимость проводить исследование значительно осложняет решение задач с параметрами. Необходимой частью решения задач с параметрами является исследование процесса и его конечного результата в зависимости от значений параметров. Часто решение зависит не от каждого параметра в отдельности, а от некоторого их характерного комплекса. Такие задачи требуют глубокого понимания сути процесса, свободного владения различными математическими методами.

Понятие параметра
Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается фиксированным или произвольным действительным числом.
При решении задач с параметрами следует усвоить главное: параметр, являясь фиксированным, но неизвестным числом, имеет двойственную природу:
1) предполагаемая известность позволяет «работать» с параметром как с числом;
2) работа с параметром ограничена его неизвестностью. Например, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из выражений с параметром требуют предварительных исследований, причем результаты этих исследований влияют и на решение и на ответ задачи.

Основные типы задач с параметром

Рассмотрим основные виды задач с параметрами.
1. Задачи с параметрами, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих к определённому множеству.
2. Задачи с параметрами, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.
3. Задачи с параметрами, для которых требуется найти такие значения параметра, при которых указанные задачи имеют заданное число решений.
4. Задачи с параметрами, в которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям.

Метод сечений

Предположим, что уравнение (или неравенство), содержащее параметр удалось привести к виду f(x)=g(x,a), или f(x)>g(x,a), или
f(x)<g(x,a), притом f(x) и g(x,a)- достаточно изученные функции, графики которых легко построить. Тогда функция f(x) определяет на координатной плоскости XOY некоторую кривую, а функция g(x,a) - целое семейство кривых, в котором каждому допустимому значению параметра а соответствует одна кривая. При этом в зависимости от величины параметра а кривые семейства у = g(х, а) могут занимать принципиально различные положения относительно кривой y=f(x). Изучая сечение кривой f(x) семейством кривых у = g(х, а) при соответствующих им значениях параметра а, мы получаем возможность исследовать вопрос о количестве решений уравнения f(x)=g(x,a) в зависимости от параметра, правильно выбирать эти решения и использовать их для нахождения решений неравенств вида f(x)>g(x,a) или f(x)<g(x,a).
Типичными критическими значениями параметров оказываются те, которые соответствуют точкам касания графиков.
Рассмотрим применение этого метода к решению конкретных задач.

Задача 1. Для каждого действительного значения параметра а решить уравнение x|x+1|+a=0

Решение. Рассмотрим функции f(x)=x|x+1| и g(x,a)=-a.
В записи f(x) раскроем модуль по определению и упростим выражения.
f(x)=x|x+1|={█(x^2-x,x≥-1;@-x^2-x,x<-1.)┤
Выделим полный квадрат в обоих уравнениях:
f(x)={█(〖(x+1/2)〗^2-1/4,x≥-1;@〖-(x+1/2)〗^2+1/4,x<-1.)┤

График f(x) будет состоять из части параболы 〖y=(x+1/2)〗^2-1/4 при x≥-1 и части параболы 〖y=-(x+1/2)〗^2+1/4 при x<-1.

Функция g(x,a)=-a задает семейство прямых, параллельных оси OX.
1. При –a < -1/4 (т.е. a>1/4) исходное уравнение будет иметь вид:
–x^2-x+a=0
и будет иметь единственное решение вида x=(-1-√(1+4a))/2.
2. При –a = -1/4 (т.е. a=1/4) будет два решения: х_1=(-1-√2)/2 и х_2=(-1)/2.
3. При -1/4<-a<0 (т.е. 0< a <1/4) получаем три решения: х_1=(-1-√(1+4a))/2 , х_2,3=(-1±√(1-4a))/2.
4. При –a=0 получаем два решения: x_1=0 и x_2=-1.
5. При –a>0 (т.е. a<0) получаем одно решение: x_1=(-1+√(1-4a))/2 .
Ответ: при a<0, x_1=(-1+√(1-4a))/2 ; при a=0, x_1=0 , x_2=-1; при 0< a <1/4 : х_1=(-1-√(1+4a))/2 , х_2,3=(-1±√(1-4a))/2; при a=1/4, х_1=(-1-√2)/2 х_2=(-1)/2; при a>1/4, x==(-1-√(1+4a))/2.

Задача 2. Решить уравнение |x^2-4x+3|=a для всех значений параметра a.
Решение. f(x) = |x^2-4x+3|
Построим график функции f(x) и рассмотрим его сечения прямыми y = a.

Задача 3. При каком значении параметра a система уравнений
{█(x^2+y^2=2(a+1) @〖(x+y)〗^2=14&)┤
имеет только 2 решения?
Решение.
Перепишем второе уравнение в системе в виде: (x+y)^ = √14 или
(x+y)^ =- √14. Тогда получим, что y=√14-x или y=-√14-x.
Графиком этих уравнений являются прямые, а график первого уравнения в системе - окружность с центром в начале координат, и радиусом
r= √(2(a+1) ).

Система имеет ровно 2 решения только в случае, когда окружность касается прямых АВ и CD, т.к в противном случае корней или нет, или их 4. Но эти варианты нам не подходят по условию.
Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник АОВ. По теореме Пифагора АВ= √(14+14)=√28=2√7. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, ОН  АВ. По свойству равнобедренного треугольника ОН медиана и биссектриса. ОН - медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе. Значит, ОН = 0.5АВ = √7. Тогда √(2(a+1))= √7, 2(a+1)=7  a+1 = 3.5, a=2.5.
Ответ: при a=2.5

Задача 4. При каких a уравнение |x^2-2x-3|-2a=|x-a|-1
имеет ровно три корня?
Решение. Запишем уравнение в виде |x^2-2x-3|=|x-a|+2a-1 .
Построим графики левой и правой частей уравнения:
F(x)=|x^2-2x-3| и g(x)=|x-a|+2a-1. Первая из них - парабола с отраженной отрицательной частью, а вторая - график модуля с вершиной в точке (a,2a-1). Вершина второго графика перемещается в зависимости от a по прямой y=2x-1.


Из рисунка видно, что подходящих значений a ровно два - при одном из них график правой части проходит через точку (-1, 0), при другом - касается отраженного участка параболы. Первое достигается при a=0, а второе - когда уравнение 3+2x-x^2=3a-1-x имеет единственный корень.
x^2-3x+3a-4=0,
D=3^2-4(3a-4)=25-12a=0, a=25/12.
Ответ: a = 0, a=25/12 .

Задача 5. Найти значения параметра a, при которых уравнение
x^2 (4x+6)-2 |x| √(4x+6)-3=3a имеет ровно два решения.
Решение. x^2 (4x+6)-2 |x| √(4x+6)-3=3a.
Заметим, что |x|=√(x^2 ). Тогда x^2 (4x+6)-2 √(x^2 (4x+6) )-(3+3a)=0.
Заменим √(x^2 (4x+6) )=b, b≥0. Получим, что b^2-2b-(3+3a)=0.
Решим квадратное уравнение:
D^'=1+3+3a=4+3a≥0,a≥-4/3, b=1±√(4+3a).
Возвращаясь к исходной переменной, получим:
√(x^2 (4x+6) )=1±√(4+3a).
Для удобства заменим √(4+3a)=с, с≥0. Тогда √(x^2 (4x+6) )=1±с,
[█(√(x^2 (4x+6) )=1+с,@√(x^2 (4x+6) )=1-с.)┤
Построим график функции f(x)=√(x^2 (4x+6) ). Область определения функции: D(x):x≥-1.5. Для определения характера монотонности функции f(x) найдем производную:
f^'(x) =1/(2√(x^2 (4x-6) )) (2x(4x-6)+2x^2 )=
=(〖6x〗^2+6x)/√(x^2 (4x-6) )=6x(x+1)/√(x^2 (4x-6) )

 


Таким образом, на участках [-1.5; -1] и [0; +] функция возрастает, а на участке [-1; 0] – убывает.

 

 

 

График функции g(x)=1±с – это прямые, параллельные оси Ox.
Рассмотрим следующие случаи:
Если с=0, то существует 3 решения.
Если с∈(0;√2-1), то 6 решений.
Если с=√2-1, то 5 решений.
Если с∈(√2-1;1), то 4 решения.
Если с=1, то 3 решения.
Если с>1, то 1 решение.
Значит, таких значений а, при которых исходное уравнение имеет ровно два решения, не существует.
Ответ: .

Метод областей
Многие задачи после ряда предварительных преобразований могут быть приведены к системам уравнений и неравенств, содержащих па-раметры. В тех случаях, когда геометрическая интерпретация решений этих уравнений и неравенств в системе координат хОа (о - параметр) достаточно проста, изображая решения этих уравнений и неравенств множествами точек на плоскости хОа, можно установить, в пре¬делах какого множества точек неравенства и уравнения системы выпол¬няются одновременно. Придавая затем параметру а различные значения (применяя метод сечений семейством прямых а — const), мы получаем возможность найти решение для каждого значения параметра
Рассмотрим этот метод для решения задач.
Задача 1. Найти все значения параметра а, при которых неравенство x^2+2ax+a^2-1>0 выполняется при всех x их отрезка 1≤x≤3.
Решение. Рассмотрим функцию F(x)=x^2+2ax+a^2-1. Сначала найдем ее нули.
x^2+2ax+a^2-1=0, 〖(x+a)〗^2=1, x+a=1 или x+a=-1,
a=1-x или a=1-x .
Построим графики этих функций в координатной системе Oxa. Графиком функции a=1-x является синяя прямая, а графиком a=1-x – красная.

Построенные прямые разделили всю плоскость на три области. Теперь в каждой из областей определим знак функции F. Для этого возьмем любую точку, лежащую в этой области, и подставим ее координаты в уравнение функции F. Возьмем точку (0;3) из области I: F= 9-1=8. Значит, во всех первой области, функция F положительна. Аналогично получим, что во второй – отрицательна, в третьей – снова положительна. Значит, нам подходят точки из областей I и III. По условию, 1≤x≤3 , т.е нужно, чтобы весь отрезок, ограниченный на графике зелеными прямыми попадал в области I и III. По графику видно, что это происходит, когда a<-4 или
a>0.
Ответ: a<-4 или a>0.

Задача 2. При каком значении параметра a множество решений неравенства
(a-x)(a+2x-8)<0 не содержит чисел, удовлетворяющих условию x^2<4?
Решение. Так как x^2<4, то x∈(-2;2). Исходное уравнение равносильно совокупности
[█(a=x,@a=8-2x.)┤
Построим график этих уравнений в координатах Oxa. На рисунке график первого уравнения соответствует L1, а второго уравнения – L2.
Построим прямые x=-2 и x=2. Точка N – точка пересечения прямой x=-2 и прямой L1, точка M - точка пересечения прямой x=-2 и прямой L2.

Найдем координаты этих точек, подставив x=-2 в уравнение прямых L1 и L2. Получим координаты точек М(-2;12) и N(-2;-2). Решения исходного неравенства находятся в заштрихованных областях. В этом можно убедиться, подставив любую точку из этих областей в неравенство
(a-x)(a+2x-8)<0. При a∈(-2;12) решения исходного неравенства противоречат условию задачи, то есть попадают в область x∈(-2;2). Значит, решением задачи является a∈(-∞;-2]∪[12;+∞).
Ответ: a∈(-∞;-2]∪[12;+∞).

Задача 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых на интервале (1;2) существует хотя бы одно число, не удовлетворяющее неравенству a+√(a^2-2ax+x^2 )≤3x-x^2.
Решение. Преобразуем неравенство:
a+√(a^2-2ax+x^2 )≤3x-x^2 ⟺|x-a|≤3x-x^2-a,
{█(x-a≤3x-x^2-a,@x-a≥-3x+x^2+a,)┤ {█(x(x-2)≤0,@a≤-0.5x^2+2x.)┤
Неравенство x(x-2)≤0 определяет на плоскости Oxa полосу, заключенную между прямыми x=0 и x=2. Неравенство
a≤-0.5x^2+2x задаёт часть плоскости, ограниченную сверху параболой a=-0.5x^2+2x.

Прямая x=1 пересекает параболу при a=-0.5+2=1.5. Это означает, что на интервале (1;2) есть x, не удовлетворяющие неравенству, только если a>1.5.
Ответ: a∈(1.5;+∞).

Задача 4. Найдите все значения параметра a , при которых множество
решений неравенства (9-(a+6)x)/x^2 <3a/x^2 (3/x-2)-1 содержит число 4, а также
содержит два непересекающихся отрезка длиной 4 каждый.
Решение.
Заметим, что x ≠0 . Умножим обе части неравенства на x^4 (x^4>0). Получим равносильное неравенство, в котором сгруппируем все члены в левой части и преобразуем её в произведение:
(9-ax-6x) x^2<3ax^2 (3/x-2)-x^4,
9x^2-ax^3-6x^3-9ax+6ax^2+x^4<0,
x^3 (x-a)+9x(x-a)-6x^2 (x-a)<0,
x(x-a) (x-3)^2<0.
Из последнего неравенства следует:

{█(x>0@x-a<0@x≠3)┤ ⇔ {█(x>0@a>x@x≠3)┤ или {█(x<0@x-a>0@x≠3)┤ ⇔ {█(x<0@a<x@x≠3)┤.

 

При a<0 и 0≤a≤3 получаем интервал, не содержащий числа 4.
Непересекающиеся отрезки, содержащие число 4, могут располагаться только в интервале (3; +∞).
То, что интервал содержит два непересекающихся отрезка длиной 4 возможно только в том случае, если длина интервала больше 8, то есть если a >11.
Ответ: (11; +∞).


Список используемых ресурсов

1 .Натяганов В.Л. , Лужина Л.М. Методы решения задач с параметрами: Учеб. пособие. – М.: Изд-во МГУ, 2003. – 368с.
2. Сдам ГИА. Решу ЕГЭ. Задание 18 № 485982 [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=485982
3. Сдам ГИА. Решу ЕГЭ. Задание 18 № 500965 [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/problem?id=500965
4. Сдам ГИА. Решу ЕГЭ. Задание 18 № 501219 [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/problem?id=501219
5. Методы решения задач с параметрами [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://infourok.ru/metody_resheniya_zadach_s_parametrami-398722.htm
6. Способы и методы решения задач с параметрами [Электронный ресурс]. Режим доступа:
https://4ege.ru/matematika/53816-sposoby-i-metody-resheniya-zadach-s-parametrami.html
7. Графический метод решения задач с параметрами [Электронный ресурс]. Режим доступа:
https://ege-study.ru/graficheskij-metod-resheniya-zadach-s-parametrami/
8. Графические приёмы при решении задач с параметрами (метод областей) [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://docviewer.yandex.ru/view/136034996/?page1lang=ru

 

Добавлено: 24.11.2020
Рейтинг: 7.3375
Комментарии:
0
Сказали спасибо 0
Сказать спасибо
footer logo © Образ–Центр, 2021. 12+