Личный кабинет

Реферат «Софизмы и парадоксы в математике»


Софизмы имеют четкое логическое объяснение. Кроме того, с математическими софизмами мы встречаемся намного чаще, чем с обычными. Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведет к осмысленному постижению математики и, кроме того, показывает, что математика – это живая наука. Если неточно знать формулировки теорем, математические формулы, правила и условия, при которых они выполняются, а также не анализировать построение чертежа к геометрической задаче, то можно получить абсурдные результаты, противоречащие общепринятым представлениям.

Тема: «Софизмы и парадоксы в математике»

Работу подготовили: студентки 2 курса ГБОУ РХ СПО Хакасского политехнического колледжа Стяжкина Анастасия и ШишигинаИрина

Научный руководитель: Овчарук Любовь Павловна

ВВЕДЕНИЕ

Наверняка  каждый человек хоть раз в жизни слышал подобную фразу: «Дважды два равно пяти» На самом деле, таких примеров можно привести много, но что все они обозначают? Кто их выдумал? Имеют ли они какое-нибудь логическое объяснение или же это лишь шутка???

Именно эти вопросы мы хотим рассмотреть в нашей работе Математические софизмы

       "Предмет математики настолько серьезен,

что полезно не упускать случая

сделать его немного занимательным".            

Б. Паскаль

Софизмы имеют четкое логическое объяснение. Кроме того, с математическими софизмами мы встречаемся намного чаще, чем с обычными.

Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики и, кроме того, показывает, что математика – это живая наука. Надеемся, что наш проект будет интересен и принесёт пользу ребятам.

Актуальность выбранной темы заключается в том, что:

  1. Наше общество развивается большими темпами.

  2. Для развития производства  требуются техники, инженеры, ученые, знания которых базируются на точных науках: математике, физике, химии.

  3. И эти науки надо не только знать, но и понимать.

    Мы считаем, что софизмы развивают логику мышления, помогают лучше усвоить и разобраться в математике, прививают навыки правильного мышления.

    Поэтому мы выбрали эту тему.

    Основная гипотеза проекта

    Если неточно знать формулировки теорем, математические формулы, правила и условия, при которых они выполняются, а также не анализировать построение чертежа к геометрической задаче, то можно получить абсурдные результаты, противоречащие общепринятым представлениям.

    Цель нашей работы:

    Познакомиться с софизмами, показать значимость математических софизмов

    при изучении математики, показать как получаются абсурдные выводы. Важно четко понимать допущенные ошибки, иначе софизмы будут бесполезны.

    Задачи:

  1. дать определение понятиям  «софизм» и «парадокс», узнать в  чём их отличие;

  1. классифицировать различные виды софизмов;

  1. понять, как найти ошибку в софизмах;

  1. составить компьютерную презентацию.

    Методы исследования:

  • Анкетирование;

  • Анализ и контроль полученных результатов, классификация софизмов;

  • Демонстрация полученных результатов в презентации;

  • Выступление на конференции.

 «Понятие софизма. Исторические сведения»

Понятие софизма

Софизм - (от греческого sophisma – уловка,

ухищрение, выдумка, головоломка),

Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного.

Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление.

Что же такое математический софизм? Математический софизм - удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, и довольно тонкие ошибки.

История математики полна неожиданных и интересных софизмов, решение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают  внимательно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций.

Понимание ошибок в софизме помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если  их не понимать.

Мы проанализировали софизмы и выделили типичные ошибки в софизмах. Это:

  1. запрещенные действия,

  2. неточное использование  условий теорем, формул и правил,

  3. ошибочный чертеж,

  4. опора на ошибочные умозаключения.

    Нередко, ошибки, которые допускают в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в софизмах.

    Основные создатели софизмов – древнегреческие ученые-философы, но, тем не менее, они создавали   математические  софизмы, основываясь на элементарных аксиомах, что еще раз подтверждает связь математики и философии в софизмах.

    Кроме того, очень важно правильно преподнести софизм, так, чтобы докладчику поверили, а значит, необходимо владеть даром красноречия и убеждения.

    Работая над проектом, мы обнаружили интересную формулу успешности софиста!*

    Успешность софизма определяется несколькими составляющими:

                                          a + b + c + d + e + f,

     где (a + с + е) составляет показатель силы диалектика,

                (b + d + f) есть показатель слабости его жертвы.  

    • а - отрицательные качества лица (нет развития способности управлять вниманием). 

    • b - положительные качества лица (способность активно мыслить)

    • с - аффективный элемент в душе искусного диалектика

    • d - качества, которые пробуждаются в душе жертвы софиста и омрачают в ней ясность мышления

    • е - категоричность тона, не допускающего возражения, определённая мимика

    • f - пассивность слушателя

Песенка, сочинённая английским студентом

Чем больше учишься, тем больше знаешь.

Чем больше знаешь, тем больше забываешь.

Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.

Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.

Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.

Так для чего учиться?     

      Не философия, а мечта лентяев!

    

* эту формулу нашли в Интернете на сайте http://pptonline.ru/slide/related/page/13/count/100/id/101563/category/1/cpages/10

Экскурс в историю

Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества(5 век) появляются так называемые учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространение мудрости, вследствие чего они именовали себя софистами. Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса. Но суть деятельности софистов много больше, чем простое обучение искусству красноречия.

Они обучали и просвещали древнегреческий народ, старались способствовать достижению нравственности, присутствия духа, способности ума ориентироваться во всяком деле.

Но софисты не были учеными. Умение, которое должно было быть достигнуто с их помощью, заключалось в том, что человек учился иметь в виду многообразные точки зрения.

Исторически сложилось, что с понятием софизма связывают идею о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора, что задача софиста- представить наихудший аргумент как наилучший путем хитроумных уловок в речи, в рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о практической выгоде. В Греции софистами называли и простых ораторов.

Известнейший ученый и философ Сократ поначалу был софистом, активно участвовал в спорах и обсуждениях софистов, но вскоре стал критиковать их учение. Такому же примеру последовали и его ученики (Ксенофонт и Платон).

Философия Сократа была основана на том, что мудрость приобретается с общением, в процессе беседы. Учение Сократа было устным, его и по сей день считают самым мудрым философом.

         

Что касается самих софизмов, то, пожалуй, самым популярным на тот момент в Древней Греции был софизм Евбулида : «Что ты не терял, ты имеешь. Рога ты не терял. Значит у тебя рога». Единственная неточность, которую возможно было допустить, то это - двусмысленность высказывания. Данная постановка фразы является нелогичной, но логика возникла намного позже, благодаря Аристотелю, поэтому, если бы фраза строилась так: «Все, что ты не терял. . .», то вывод стал бы логически безупречным.


Математические софизмы

Разбор и решение нестандартных математических задач помогает  развивать смекалку и логику. Математические софизмы относятся именно к таким задачам.

Однако следует помнить, что в математике важна аккуратность. Каждый шаг от одной логической конструкции к другой должен быть точным, тщательно выверенным. Один неверный переход может привести не просто к неточности, а к большой ошибке.

Мы предлагаем Вам вместе с нами попытаться разобраться с этим.

В нашей работе мы рассмотрим три типа математических софизмов: алгебраические, геометрические и арифметические.

  1. Алгебраические софизмы

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы,  отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

1. «Один рубль не равен ста копейкам»

Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е.

        Если a=b,

                  c=d, то ac=bd.

 Применим это положение к двум очевидным равенствам

                1 р.=100 коп,  (1)

                10р.=10*100коп.(2)

перемножая эти равенства почленно, получим

                10 р.=100000 коп.     (3)

и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что

                 1 р.=10 000 коп.

таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

Где ошибка???

Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.

Действительно, перемножая равенства (1) и (2), мы получим не (3), а следующее равенство                            

                       10 р.  =100 000 к . ,

которое после деления на 10 дает                    

                        1 р.  = 10 000 коп.,        

а не равенство 1р=10 000 к, как это записано в условии софизма.

Извлекая квадратный корень из равенства1 р.  = 10 000 коп. получаем верное равенство 1р.=100 коп.

2. «Дважды два равно пяти»

Обозначим 4=а, 5=b, (a+b)/2=d. Имеем: a+b=2d, a=2d-b, 2d-a=b. перемножим два последних равенства по частям. Получим: 2da-aa=2db-bb. Умножим обе части получившегося равенства на –1 и прибавим к результатам d*d. Будем иметь: a 2-2da+d2=b2 -2bd+d2, или (a-d)(a-d)=(b-d)(b-d), откуда a-d=b-d и a=b, т.е. 2*2=5

Где ошибка???

Из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны, они могут быть противоположными.

  1. Геометрические софизмы

Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

«Через точку на прямую можно опустить два перпендикуляра»

                                http://tmn.fio.ru/works/60x/306/im05/10_2.gif

Добавлено: 10.03.2015
Рейтинг: -
Комментарии:
0
Сказали спасибо 0
Сказать спасибо
footer logo © Образ–Центр, 2020. 12+