Бедная теорема

Бедная теорема

Любой мало-мальски знакомый с матанализом человек знает теорему о том, что две любые первообразные для некоторой функции отличаются на константу.

Открываю школьный учебник А.Н. Колмогорова. Читаю.

Теорема. Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде F(x)+C, где F(x) – одна из первообразных для функции f на промежутке I, а C – произвольная константа.

Но ведь это неверное утверждение. Слово «любая» согласно русскому языку означает еще и «конкретная», но не может данная конкретная первообразная иметь в своем выражении произвольную константу.
Добавлю, что первый раз учебник был издан, если не изменяет память, в 1977 году. И с тех пор так эта теорема и формулируется.

Попался мне недавно учебник А.Г Мордковича Алгебра и начала анализа. 10-11 класс. Читаю.
Теорема. Если y = F(x) — первообразная для функции у = f(x) на промежутке X, то у функции у = f(x) бесконечно много первообразных и все они имеют вид у = F(x)+C.

Замечу, что смысл буквы C в теореме никак не объясняется, но в тексте перед теоремой дважды буква C трактуется как произвольная константа.

На мой взгляд, формулировка совсем дикая. А что, если y = F(x) — не первообразная для функции у = f(x), тогда функция у = f(x) может иметь конечное количество первообразных? И опять непонятно что означает F(x)+C?

Заглянул для очистки совести в классические вузовские учебники. Нет, там такой ерунды нет.

Ну, давайте порассуждаем.
Любые две первообразные (согласно вашему первому предложению, равно как и определению первообразной) для некоторой функции отличаются на константу.
Теперь берём теорему.
Там сказано, что если у функции f на промежутке l есть первообразная, то она может быть записана в виде F(x)+C, где F(x) – одна из первообразных для функции f на промежутке I, а C – произвольная константа.
Что же это значит?
Это значит, что если у вы взяли какую-либо константу и какую-либо первообразную, - то из всего множества первообразных Вы всегда можете выбрать такую, которая в сумме с данной константой даст данную первообразную.
Что здесь неверно?
Только обоснуйте, пожалуйста, а не кричите в духе Гоги Борочинского "Всё чушь, неправильно",

Если Вам что-то непонятно в моем посте, то могу только посочувствовать. И, если хотите общаться, оставьте Ваш неприличный стиль.

А к себе применить эту рекомендацию слабО?
Выше упомянутому Борочинскому Игорю Агафоновичу было не слабО.
За что его и уважали и прощали ему его чудачества.
Вы же, пока что, бросаетесь необоснованными обвинениями.

по Ожегову, "согласно русскому языку"
ЛЮБОЙ

ЛЮБОЙ, -ая, -ое, мест. определит. Какой угодно; всякий, каждый. В любое время. Л. ценой добиться успеха. В любых условиях. Л. (сущ.) из нас.

То есть не «конкретная», а каждая. Что не так?

Лишь добавлю, что этот термин в математике имеет чуть более конкретное значение - "а точнее любой из класса рассматриваемых". Противоречия, которое якобы было найдено у академика и преподавателя математической логики Колмогорова, конечно же нет. Это понятие формализуется в логике предикатов с помощью квантора всеобщности, который применяется к какой-то переменной, стоящей в пропозициональной форме (попросту - высказывании, зависящем от параметров). Если "А" - квантор всеобщности, то подразумевается, что утверждение А(х)_______, где ______ - некоторое высказывание, истинно тогда и только тогда, когда это высказывание истинно для всех значений переменной х.

Если уж быть совсем буквоедом и ценителем точности, то у Колмогорова формулировка безупречна в отличие от второй формулировки. Выражение "функция y=F(x)" некорректно поскольку выражение y=F(x) обозначает не функцию, а высказывание относительно значения функции в точке х. Именно поэтому такого выражения у специалиста по матлогике Колмогорова Вы не встретите.

Ну, пусть «каждая». Так получается, что каждая первообразная в своем выражении содержит произвольную константу. Это очевидная чушь.

Нет, это очевидная нечушь.
Произвольная константа может (случайно) оказаться нулём :)

Алексей Петрович! С этими интегралами, я посмотрю, Вы дифференцировать разучились?
Продифференцируйте оба выражения... И в чём проблема?

Владимир, если первообразная содержит в своем выражении произвольную константу, то она вообще не является функцией, а потому дифференцирование к ней вообще не применимо.