Личный кабинет

Конструирование математических задач

Автор показывает принципы конструирования математических задач исследовательского типа,которые рассчитаны на интеллектуальную кооперацию в классе
Михаэль Арест ( Пользователь )
Уважаемые коллеги!Я покажу вам интересный способ конструирования задач.
Задание 1 Напишите 2 рядаквадратных уравнений.В первый рядзаписываются квадратные уравнения,которые имеют хотя бы одно решение. Во втором ряду находятся такие уравнения, которые не имеют решений.Вопросы к заданию:
1.Могут ли коэффициенты уравнений в первом ряду быть равными между собой? Может ли один из коэффициентов быть суммой,разностью,произведением,частным двух других коэффициентов? Могут ли коэффициенты образовывать арифметическую или геометрическую прогрессию?
2.Могут ли коэффицинты во втором ряду быть разных знаков?Может ли один из них быть степенью другого? Может ли сумма всех коэффициентов равна нулю?
3.Пусть коэффициент при старшей степени равен 1.В каком отношении должны быть другие коэффициенты чтобы уравнение попало в первый ряд? А во второй ряд?

Я мог бы построить учебники алгебры и начал анализа и также геометрии,состоящие из таких заданий.Я называю такие учебники эврикоучебниками.Они могут представить ЛЮБУЮ область знания в виде заданий РАЗВИВАЮЩЕЙСЯ СЛОЖНОСТИ.
С уважением! Михаил Яковлевич

А как вам такая задача?
Напишите 2 ряда систем из трех линейных неравенств с двумя неизвестными:
В первом ряду находятся такие системы, множеством решений которых является равносторонний треугольник
Во втором ряду находится такиме системы, решением которых не является равносторонний треугольник
Вопросы к заданию:
1.Могут ли неравенства в первом ряду иметь одинаковые свободные члены? Может ли один из коэффицинтов быть комбинацией(суммой,разностью,произведением,частным) двух других?Можно ли найти ОБЩУЮ СХЕМУ построения систем неравенств в первом ряду?
2.Как должна выглядеть система неравенств во втором ряду чтобы множеством решений был равнобедренный треугольник? А какой она должна быть для прямоугольного треугольника? Можно ли ее построить таким образом чтобы треугольник был остроугольным?
3.Пусть множеством решений системы является остроугольный треугольник.Как ее следует изменить чтобы треугольник стал тупоугольным? Можно ли придумать ОБЩЕЕ ПРАВИЛО для такого изменения?
С уважением! Михаил Яковлевич
Владислав Воронин ( Пользователь )
Цитата (Михаэль Арест, 01.01.2010, 22:11) <{POST_SNAPBACK}>
Уважаемые коллеги!Я покажу вам интересный способ конструирования задач.
Задание 1 Напишите 2 рядаквадратных уравнений.В первый рядзаписываются квадратные уравнения,которые имеют хотя бы одно решение. Во втором ряду находятся такие уравнения, которые не имеют решений.Вопросы к заданию:
1.Могут ли коэффициенты уравнений в первом ряду быть равными между собой? Может ли один из коэффициентов быть суммой,разностью,произведением,частным двух других коэффициентов? Могут ли коэффициенты образовывать арифметическую или геометрическую прогрессию?
2.Могут ли коэффицинты во втором ряду быть разных знаков?Может ли один из них быть степенью другого? Может ли сумма всех коэффициентов равна нулю?
3.Пусть коэффициент при старшей степени равен 1.В каком отношении должны быть другие коэффициенты чтобы уравнение попало в первый ряд? А во второй ряд?

Я мог бы построить учебники алгебры и начал анализа и также геометрии,состоящие из таких заданий.Я называю такие учебники эврикоучебниками.Они могут представить ЛЮБУЮ область знания в виде заданий РАЗВИВАЮЩЕЙСЯ СЛОЖНОСТИ.
С уважением! Михаил Яковлевич

А как вам такая задача?
Напишите 2 ряда систем из трех линейных неравенств с двумя неизвестными:
В первом ряду находятся такие системы, множеством решений которых является равносторонний треугольник
Во втором ряду находится такиме системы, решением которых не является равносторонний треугольник
Вопросы к заданию:
1.Могут ли неравенства в первом ряду иметь одинаковые свободные члены? Может ли один из коэффицинтов быть комбинацией(суммой,разностью,произведением,частным) двух других?Можно ли найти ОБЩУЮ СХЕМУ построения систем неравенств в первом ряду?
2.Как должна выглядеть система неравенств во втором ряду чтобы множеством решений был равнобедренный треугольник? А какой она должна быть для прямоугольного треугольника? Можно ли ее построить таким образом чтобы треугольник был остроугольным?
3.Пусть множеством решений системы является остроугольный треугольник.Как ее следует изменить чтобы треугольник стал тупоугольным? Можно ли придумать ОБЩЕЕ ПРАВИЛО для такого изменения?
С уважением! Михаил Яковлевич

Согласен, вполне симпатичные проблемы. То есть, имеется некая многопараметрическая задача -- и предлагается найти подходы к рассмотрению всевозможных возникающих тут вариантов, описать возможные случаи, в которых от или иной вопрос получает тот или иной ответ.

Но по поводу второй серии проблем -- у меня тут же возникает непонимание. Относиттельно её отношения к "школьной" математике.
Понимаю, что определение "школьная" растяжимо. В разных "школах", тем более в разных странах, может быть дан разный информационный базис, разный инструментарий, которым можно пользоваться.
Моя первая реакция -- "... скалярное произведение". Именно в нём закопаны ключики. С моей точки зрения.

Но -- понимаю -- можно и БЕЗ скалярного произведения. В конце концов, выяснить "тангенс разности углов" через "угловые коэффициенты" прямых, использовать тригонометрические формулы... тоже путь.
Путь, с моей точки зрения -- плохой. Куда менее ПЕРСПЕКТИВНЫЙ, чем через понятия аналитической геометрии. Более сложный, тягомотный, хуже обобщаемый...
Можно даже и к "угловым коэффициентам" не обращаться. А, скажем, характеризовать прямую её пересечениями с осями абсцисс-ординат -- и через ЭТИ величины пытаться строить какие-то геометрические рассуждения.
То есть, на этом пути можно лично изобрести ХОРОШИЙ велосипед. А можно изобрести -- ПЛОХОЙ.

Или в Израиле в базовой школьной программе УЖЕ есть навык работы с инструментарием аналитики?
У нас, во всяком случае, ФОРМАЛЬНО скалярное произведение в программе есть. На чисто схоластическом уровне -- то есть, ЗАДАЧ решать этми средствами не учат! А тогда... имеем заучивание "свойств ружья", не представляя, а с какого конца оно "стреляет". И вообще, а что такое "стреляет"?
Абсурд. "Искусство для искусства". Определения ради определений.

Так какую БАЗУ Вы предполагаете для ученика, исследующего вторую серию проблем? И чего Вы хотели бы добиться -- КАКОГО ответа? На КАКОМ языке сформулированного?
Иван Храповицкий ( Пользователь )
Наверное, возможна уже и эврикоэнциклопедия. Идеи Пойа находят всё более последователей, которые достаточно много наработали в этой области. А внедрение в образование программ динамической геометрии открывает двери в настоящий эвристический рай и даёт новый импульс к конструированию задач подобного рода. Если у вас установлена Java, то вот пример:
Диалог задач. Сделано в формате GeoGebra.

footer logo © Образ–Центр, 2018. 12+