Личный кабинет

Доклад: "Как привить любовь к математике, или Задачи с неодинаковыми цифрами"

Игорь Сухин ( Пользователь )
Сухин Игорь Георгиевич, старший научный сотрудник Института теории и истории педагогики Российской академии образования, г. Москва. E-mail: suhin_i@mail.ru Сайты: http://suhin.narod.ru и http://chess555.narod.ru

Тема доклада: "Как привить любовь к математике, или Задачи с неодинаковыми цифрами"


В докладе прослеживается история занимательных математических задач на Руси, подробно рассматривается один из наиболее перспективных, с точки зрения развития вычислительных способностей учащихся, видов математических головоломок и приводятся многочисленные авторские примеры головоломок с неповторяющимися цифрами.

Как привить любовь к математике, или Задачи с неодинаковыми цифрами


Легко сказать "привить", ведь у многих детей к математике прямо-таки аллергия. Вот взгляните, видите, они по улице идут в своеобразных майках на которых красуется "Ненавижу математику!"
Кто виноват? Мы с вами. Упустили момент, когда математику следовало преподнести в занимательной форме.
Только что, 04.10.2005, на форуме "Методика и технология: Математика" прочитал: "Дети с удовольствием выполняют задания по занимательной математике, которые предлагают современные пособия. Однако в связи с дефицитом времени на уроке данные пособия используются в исключительных случаях. МОУ СОШ №13 Миронова С.Г."
Математика без занимательного - это не математика!
В отечественных и зарубежных математических пособиях издавна помещались всевозможные головоломки, поскольку привлечение занимательного материала оживляло учебный процесс.
Из дошедших до наших дней древних рукописей ("Русская Правда", "Учение им же ведати человеку числа всех лет" и других) известно, что математические знания на Руси были распространены по крайней мере уже в 10–11 веках.
"На математическое развитие древней Руси огромное влияние оказало введение (конец 10 века) славянского алфавита, основанного на греческом, и перенос к нам греческой системы нумерации. В греко-славянской системе нумерации буквы алфавита служили одновременно и числовыми знаками, только при этом над буквой ставили знак титло", – отмечает Б.В.Гнеденко в "Очерках по истории математики в России" (М.-Л.: ОГИЗ, ГИТТЛ, 1946, с.17). Вот некоторые единицы древнего счёта: 1 – един, 10 – десять, 100 – сто, 1 000 – едина тысяча, 1 000 000 – едина тьма, 1 000 000 000 000 – един легион и т.д.
О существовании математических навыков у русских людей начала второго тысячелетия говорит также содержание международных договоров.
Только в 16–17 веках в России получила распространение специальная рукописная математическая литература. Как правило, она носила конкретный практический характер, так как предназначалась для землемеров, купцов, торговцев, т.е. всех тех, кто по роду своей деятельности должен был уметь оперировать большими числами.
До наших дней дошло очень мало старинных документов. Из сохранившихся рукописей 17 столетия – не более трёх посвящённых арифметике и геометрии; значительно больше сборников включали в себя и естественнонаучные сведения; также известны и две общеобразовательные энциклопедии – "Азбуковники". Подобно западноевропейским мыслителям, отечественные авторы разделяли науки на 7 "свободных мудростей": Грамматику, Диалектику, Риторику, Музыку, Арифметику, Геометрию и Астрономию. При этом арифметику определяли так: "Арифметика, еже есть счётная мудрость, в седми мудростях пятая, свободная перед Богом".
Интересно, что математическая терминология рукописей 17 века существенно отличалась от нынешней. Слагаемые назывались перечнями, их сумма – исподним большим перечнем, уменьшаемое – заёмным перечнем, вычитаемое – платёжным перечнем, разность – остатком, делимое – большим перечнем, делитель – деловым перечнем, частное – жеребейным перечнем, остаток – остаточной долей, а сомножители и их произведение специальных наименований не имели.
Тогда же были впервые описаны многие из забавных задач, включённых позднее в 18 веке в учебники по математике. Многие из них настолько совершенны, что без изменений дошли до наших дней. Взять, к примеру, замечательный приём умножения однозначных чисел на 9 с помощью пальцев обеих рук, которым сейчас владеет любой школьник. Или определение загадочного числа 143, которое при умножении на 777 даёт в итоге 111 111. Или выявление свойств числа 481. Сюда же относится и чудесная головоломка "Волк, коза и капуста", а также остроумная задача "Сколько раз совместятся стрелки?", которая произвела огромное впечатление на зрителей в телевизионной игре "О, счастливчик!" в 2001 году. Этот ряд можно продолжать и продолжать.
Подобные задачи приводились в конце математических рукописей и рассматривались как арифметические развлечения. Часть их имела западное происхождение и была заимствована из сочинения Баше де Мизерака, изданного во Франции в 1612 г. – например, задачи "О плотниках", "О яйцах", "О хождении юношей", "О льве, волке и псе". Вот трактовка последней из них: "Лев съел овцу одним часом, а волк съел овцу в два часа, а пёс съел овцу в три часа. Ино хощешь ведати, сколько бы они все три – лев и волк и пёс – овцу съели вместе вдруг и сколько бы они скоро ту овцу съели, сочти ми."
1703 г. – важная веха в истории отечественной математики. Именно тогда в Москве был издан учебник выдающегося русского математика Леонтия Филипповича Магницкого "Арифметика, сиречь наука числительная", который на протяжении полувека оставался лучшим учебником по математике и способствовал распространению математических знаний в России. Очень высоко оценил книгу Михаил Васильевич Ломоносов (он знал её наизусть). Магницкий даёт принципиально новое определение арифметики, характеризуя её как искусство: "Арифметика, или числительница, есть художество честное, независтное и всем удобопонятное, многополезнейшее и многохвальнейшее, от древнейших же и новейших, в разные времена живших изряднейших арифметиков изобретённое и изложенное". Любопытна терминология учебника, удержавшаяся в отечественных учебниках до конца 18 века. Все числа первого десятка названы перстами, круглые числа – суставами, а все остальные числа – сочинениями. Занимательным задачам был отведён целый раздел учебника: "Об утешных некиих действах, чрез арифметику употр######емых".
В дальнейшей популяризации математики в России и разработке занимательных задач велика роль швейцарского учёного Леонарда Эйлера, который в 1727 году был приглашён в Петербург и назначен адъюнктом по математике Петербургской Академии наук. Одно из интереснейших изобретений Эйлера – латинские квадраты (1782 г.).
В самом конце 18 века стали появляться брошюры, целиком заполненные забавными вопросами, загадками и задачами. Пожалуй, первой стала книга "Гадательная арифметика для забавы и удовольствия" (СПб., 1789). Она представляла собой небольшое собрание занимательных задач (менее 50): на отгадывание задуманных чисел, на переправы, переливание жидкостей, угадывание числа лет и др.
Следующее издание подобного рода – "Детский гостинец, или Четыреста девяносто девять загадок с ответами в стихах и прозе, взятых как из древней, так и из новейшей истории и из всех царств природы и собранных одним другом детей для их употребления и приятного препровождения времени" (М., 1994). Эта небольшая по объёму книга интересует нас, прежде всего потому, что она предназначена детям. В предисловии имеются строчки, под которыми подписался бы любой современный автор: "Книга, сей источник просвещения и истинного удовольствия, не должна быть для детей источником скуки и горести".
Так, для того чтобы учение было привлекательным, обучение детей младшего возраста следует представлять как "забаву, а не как скучную должность". Кроме того, при обучении детей "надо знать их склонности и способности и надобно уметь делать в упражнениях радость, которая для них весьма приятна".
Огромную работу по сбору, систематизации и стилистической обработке старинных задач с интересным содержанием провели в конце 20 века С.Н.Олехник, Ю.В.Нестеренко и М.К.Потапов. Её итогом стал выход книги "Старинные занимательные задачи" (М.: Наука, 1985), уникального издания, в котором приведены только задачи, опубликованные в России до 1800 года. Под одной обложкой была приведена 171 задача, часть из которых доступна детям младшего школьного возраста. В дальнейшем эта книга неоднократно переиздавалась (М.: АО "Столетие", 1994; М.: УНЦ ДО МГУ, 1996 и др.)
Нам показалось важным продолжить работу по сбору и анализу старинных и современных занимательных математических задач, чтобы определить виды головоломок, которые помогут учащимся полюбить вычисления. Наиболее перспективными оказались следующие: 1) задания с одинаковыми цифрами; 2) задания с неповторяющимися цифрами. Выяснилось, что задачи как одного, так и другого типа присутствуют практически в любой книге математических затей, но в очень малом количестве. При этом никто пока не занимался их классификацией. Немецкий математик В.Литцман в книге "Весёлое и занимательное о числах и фигурах: Занимательная математика всякого рода, о числах, о геометрических формах" (М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963, 2-е издание, с.135) сообщает следующее: "Систематизации они, насколько нам известно, не подвергались". Часть этой работы мы выполнили, ограничив область исследований использованием только четырёх основных математических действий и применением скобок (что представляет большой интерес прежде всего для начальной школы, а также для пятого и шестого классов).
Итогом разработки числовых головоломок с одинаковыми цифрами стало наше пособие "Весёлая математика: 1500 головоломок для математических олимпиад, уроков, досуга: 1 – 7 класс" (М.: ТЦ "Сфера", 2002).
Данный же доклад нам хотелось бы посвятить занимательным задачам с неповторяющимися, неодинаковыми цифрами. Эти головоломки (их ещё называют числовыми ребусами) следует рассматривать не как математическую забаву, а как эффективный способ в самые короткие сроки развить вычислительные способности практически любого ученика.
Подавляющее большинство подобных головоломок можно охарактеризовать как "задачи с числами, расположенными последовательно". Педагоги знают, как сложно порой подобрать для учащихся задания, в которых требуется не решать примеры, а самим их придумывать. Задания рассматриваемого вида – разновидность подобных "обратных" задач. Если в традиционных математических примерах требуется произвести вычисления и получить ответ, то здесь по имеющемуся ответу следует смоделировать исходный пример.
Основным недостатком классических задач рассматриваемого вида является то, что при наличии в большинстве из них нескольких верных решений в ответах приводится лишь одно из них.
Между тем данный вид числовых затей оптимально выполняет свою педагогическую, а не развлекательную функцию только в том случае, когда решения публикуются с достаточной полнотой.
Задачи с неповторяющимися цифрами встречаем в замечательном отечественном трёхтомнике Е.И.Игнатьева "В царстве смекалки, или Арифметика для всех: Опыт математической хрестоматии: Книга для семьи и школы" (СПб.: Тип. А.С.Суворина, 1908–1911). В "Книге 1" (цитируемой по третьему изданию, 1911, с.48-49) приведены:
"Задача 31-я: Написать число 9 посредством десяти различных цифр (девяти значащих и одной незначащей)" и
"Задача 32-я: Написать число 100 посредством девяти различных значащих цифр".
Решение первой из них, согласно Е.И.Игнатьеву, таково:
"Число 9 может быть представлено в виде частного от деления одного пятизначного числа на другое, причём цифры обоих чисел будут различны. Дадим 6 таких решений:

97524/10836, 95823/10647, 95742/10638, 75249/08361, 58239/06471, 57429/06381".

(Примечание: в данной форме неправильно вставляются показатели степеней, поэтому все примеры с ними смотрите лучше во вложенном вордовском файле)
Наш комментарий. Три последних решения не вполне корректны, так как первые цифры в знаменателях – нули.

Далее Е.И.Игнатьев пишет:
"Задача 32 имеет много разных решений. Дадим из них такие:

915742/638, 917524/836, 915823/647, 941578/263, 962148/537, 961428/357, 961752/438.

Вот ещё решения, содержащие знак "+":

100 = 97 + (5 + 3)/8 + 6/4 + 1/2,

100 = 75 + 24 + 9/18 + 3/6,

100 = 951/2 + 438/76 и т.д.

Сюда же можно отнести и такое решение данной задачи в целых числах:

46 + 37 + 15 = 98 + 2 = 100 или

56 + 8 + 4 + 3 = 71 + 29 = 100".

Ещё раньше головоломку о числе 100 привёл классик занимательной математики американец С.Лойд (1841–1911). В его книге "Математическая мозаика" (М.: Мир, 1980, с.172) находим такую задачу:
"169. Расположите цифры и точки таким образом, чтобы сумма равнялась 100.
Когда в Филадельфии праздновалось столетие независимости, я предложил маленькую арифметическую головоломку, которая вызвала заметную дискуссию. Требовалось расположить 10 цифр и 4 точки таким образом, чтобы в сумме получилось ровно 100 (Запрещается использование каких-либо других математических символов, однако точки можно использовать как для отделения дробной части в десятичном представлении числа, так и для указания на период десятичной дроби".
Здесь требуется пояснение: в англоязычных странах вместо десятичной запятой используется десятичная точка; в случае, когда целая часть числа равна нулю, этот нуль порой опускается и пишут, к примеру не 0,8, а .8).
Составитель и редактор цитируемого сборника М.Гарднер отметил:
"Лойд в своём ответе приводит решения, которые нельзя считать верными. Например,
70 + 13 + 6 + 5 + 4 = 98 + 2 = 100.
Здесь вопреки условиям требуются два сложения.
Лойд также приводит 6 ответов с дробями (где, очевидно, две точки используются вместо черты в записи правильной дроби). Например,
243/6 + 759/18 = 100".

Оригинальную трактовку задания с неповторяющимися цифрами находим в другой головоломке С.Лойда (с.206):
"214. Укажите недостающую цифру.
Китайцы – большие мастаки во всём, что касается манипуляций с цифрами. Один китайский профессор попросил меня выписать любые два числа при условии, что при записи я использую только девять цифр и нуль. Например, я мог записать:
342195
6087
Каждую цифру следовало использовать один и только один раз. Затем меня попросили сложить два числа. Наконец, мне сказали, чтобы я стёр оба числа и одну цифру в ответе. Профессор посмотрел на ответ и быстро сказал, какую цифру я стёр. Вот мой ответ: 1 1 341.
Не могли бы вы назвать недостающую цифру и объяснить, каким образом профессор быстро определил её?

Решение.
Сумма девяти цифр равна 45 и, следовательно, делится на 9. Вне зависимости от расположения в двух числах этих цифр и нуля сумма двух чисел также должна делиться на 9. Более того, когда вы складываете цифры в любом числе, кратном 9, результат тоже всегда будет кратен 9. Поэтому, чтобы определить недостающую цифру, мы должны сложить сохранившиеся цифры ответа; при этом получается 10. Затем мы вычитаем это число из 18 (наименьшее число, кратное 9 и превосходящее 10) и получаем 8. Это и есть недостающая цифра".

Наш комментарий. В задачу вкралась неточность. Если бы китайскому профессору был продемонстрирован ответ, сумма цифр которого делилась бы на 9, например 1 1 241, то он не смог бы точно установить недостающую цифру, так как это могли быть и 0, и 9.

Как видно, ответы на заинтересовавшие нас головоломки из книг Е.И.Игнатьева и С.Лойда либо очень сложны, либо не вполне корректны.
Целям нашего доклада больше соответствует задание, которое привёл А.В.Сатаров в четырёхтомнике "Живая арифметика в часы досуга: Пособие семье и школе для развития смекалки в детях" (М.: Издание Товарищества И.Д.Сытина, 1912). В "Книге второй" (с.5) он опубликовал следующую задачу:
"11. Составьте из первых семи цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 такие четыре числа, чтобы при сложении их получить ровно 100; при этом брать какую-либо цифру два или три раза нельзя.
Ответ:
Числа, удовлетворяющие условиям задачи, таковы: 2, 15, 36, 47.
Действительно: 2 + 15 + 36 + 47 = 100.
Возможны и другие решения, например:
2 + 17 + 35 + 46 = 100".

Наш комментарий. В данной задаче очень много решений. Вот ещё некоторые из них:
5 + 12 + 37 + 46;
6 + 15 + 32 + 47;
7 + 16 + 35 + 42.
Очевидно, что иные решения легко получить перестановкой цифр в слагаемых (т.е. вместо 35 + 42 можно написать 32 + 45 и т.д.).

"Доктор занимательных наук" Я.И.Перельман также не обошёл стороной данный вид арифметической затеи. В книге "Весёлые задачи: 101 головоломка для юных математиков с 112 рисунками" (Пг.: Начатки знаний, 1919, 2-е издание) он приводит задачу 24 (раздел III "Десять задач потруднее", с.21):

"Девять цифр.
Напишите по порядку девять цифр: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Вы можете, не меняя их порядка, вставить между цифрами знаки "плюс" и "минус" таким образом, чтобы в сумме получилось ровно 100.
Нетрудно, например, вставив "+" и "–" шесть раз, получить 100 таким путём:
12 + 3 – 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100.
Если хотите вставить "+" или "–" всего 4 раза, вы тоже можете получить 100.
Вот пример:
123 + 4 – 5 + 67 – 89 = 100.
Попробуйте, однако, получить 100, пользуясь знаками "+" и "–" всего три раза!
Это будет гораздо труднее. И всё же это вполне возможно, надо только терпеливо искать.
Решение:
Вот каким способом можете вы получить 100 из ряда девяти цифр и трёх знаков "+" и "–": 123 – 45 – 67 + 89 = 100.
В самом деле: 123 + 89 + 212; 45 + 67 = 112; 212 – 112 = 100.
Других решений задача не имеет.
Впрочем: если у вас есть терпение, попытайтесь испробовать другие сочетания".

В дальнейшем задачу "Девять цифр" Я.И.Перельман опубликовал и в других книгах, например, в пособии "Занимательные задачи" (Л.: Молодая гвардия, 1935, 4-е издание, с.67).
Если в сборниках Е.И.Игнатьева и А.В.Сатарова не оговаривалась последовательность расположения цифр, то в рассматриваемой работе (как и в большинстве наших задач) их требуется расставить уже по порядку.
Укажем, что первое издание книги "Весёлые задачи" относится к 1914 году (Пг.: Изд. А.С.Суворина).
Подобную числовую головоломку находим и в книге Я.И.Перельмана "Фокусы и развлечения" (М.: Молодая гвардия, 1933). В разделе "Весёлая арифметика" на с.81 читаем:

"49. Из семи цифр.
Напишите подряд семь цифр от 1 до 7: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Легко соединить их знаками "+" и "–" так, чтобы получилось 40:
12 + 34 – 5 + 6 – 7 = 40.
Попробуйте найти другое сочетание тех же цифр, при котором получилось бы не 40, а 55.
Ответ:
Задача имеет не одно, а три разных решения. Вот они:
123 + 4 – 5 – 67 = 55;
1 – 2 – 3 – 4 + 56 + 7 = 55;
12 – 3 + 45 – 6 + 7 = 55".

Наш комментарий. Во втором случае уже после первой операции возникает отрицательное число (1 – 2 = – 1), что является некоторым изъяном в решении. Ещё важнее то, что задача имеет более простое решение (с использованием только знаков сложения):
1 + 2 + 34 + 5 + 6 + 7.
Парадоксально, упомянутая головоломка публиковалась во многих изданиях (не только в трудах Я.И.Перельмана), но существование данного решения не было отмечено ни в пособиях середины XX века, ни в книгах и журналах последних лет. Например, в сборнике "Лучшие задачи на сообразительность" (М.: АСТ-ПРЕСС, 1998) и журнале "Мурзилка" (№12, 2001, с.30, 32).

Из зарубежных авторов, публиковавших числовые ребусы с неповторяющимися цифрами, наряду с американцем С.Лойдом отметим англичанина Г.Э.Дьюдени (1857–1930). В книге "520 головоломок" (М.: Мир, 1975, с.37, 43), составленной М.Гарднером на основе сборников Г.Э.Дьюдени, вышедших в 1926 и 1931 годах, приводятся, в частности, три такие задачи:

"104. Две суммы.
Можно ли расположить цифры 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 двумя группами по четыре цифры в каждой так, чтобы суммы чисел, составленных из цифр каждой группы, были равны между собой?
Очень просто получить ответ, заменив 9 на 6. Например, каждая из сумм двух групп чисел 1, 2, 7, 8 и 3, 4, 5, 6 равна 18. Но такая замена не допускается.
Ответ:
Расположив цифры следующим образом:
173 + 4 = 177 и
85 + 92 = 177
мы увидим, что обе суммы равны".

Наш комментарий. Есть и схожие решения: 174 + 3 и 82 + 95, что является недостатком задачи.

"131. Жонглирование цифрами.
Составьте из десяти цифр три простейших арифметических выражения, используя три из четырёх арифметических действий – сложения, вычитания, умножения и деления. (В записи выражений разрешается применять лишь знаки трёх выбранных арифметических действий.) Поясним сказанное на примере. Рассмотрим три арифметических выражения:
3 + 4 = 7; 9 – 8 = 1; 30 : 6 = 5.
Этот пример не может служить решением задачи, поскольку цифра 2 пропущена, а цифра 3 повторяется дважды.

Ответ:
7 + 1 = 8; 9 – 6 = 3; 4 · 5 = 20".

Наш комментарий. Возможны и иные схожие решения:
8 – 1 = 7; 6 + 3 = 9; 5 · 4 = 20.
8 – 7 = 1; 3 + 6 = 9; 20 : 4 = 5.
1 + 7 = 8; 9 – 3 = 6; 20 : 5 = 4 и т.п.

Здесь искушенный учитель вправе задать нам резонный вопрос: "Это, конечно, всё неплохо, Игорь Георгиевич, а где, собственно ваши-то разработки на эту тему?"
Вот некоторые из них.

И.Г.Сухин Задачи с использованием знаков сложения и вычитания
(знаки умножения, деления и скобки не применять)

Во всех последующих задачах решающему предлагается некоторое количество последовательно расположенных однозначных чисел (1 2 3 4 и т.д.), между которыми в подходящих местах необходимо расставить знаки "плюс" и "минус". Порядок расположения цифр ни в одном из заданий менять нельзя. Также в процессе пооперационных вычислений не должны получаться отрицательные числа. К примеру, число 2 с помощью цифр 1, 2, 3 нельзя представить как:

1 – 2 + 3,

так как после выполнения первого действия (вычитания) возникает отрицательное число "минус 1".
Обратите внимание на то, что в разделе "Счёт до десяти" правильными решениями признаются только те, где при пооперационных вычислениях не фигурируют числа более 10, т.е. нельзя число 9 выразить следующим образом:

9 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 – 6,

так как после выполнения четвёртого действия (сложения) появляется число 15. Безусловно, в последующих разделах, где приведены задачи с большими числами, указанный ответ будет верным.
Ещё два важных обстоятельства:
1) Все числовые выражения данного раздела начинаются с цифры 1;
2) Скобки в математических выражениях не допускаются.

Резюмируем: ответ к любой из задач 1–1061 должен иметь вид

1 2,
1 2 3,
1 2 3 4,
1 2 3 4 5,
1 2 3 4 5 6,
1 2 3 4 5 6 7,
1 2 3 4 5 6 7 8

или

1 2 3 4 5 6 7 8 9,

при этом во многих случаях между цифрами помещаются знаки арифметических действий и иногда скобки. Пример: число 15 можно выразить с помощью знаков сложения и пяти цифр так:

1 + 2 + 3 + 4 + 5,

а посредством трёх цифр так:

12 + 3.

Подчеркнём, что указанные требования и ограничения распространяются только на наши авторские задачи "Разные цифры". В решениях подобных задач, придуманных другими методистами, почти всегда применяются и отрицательные числа, и дроби, и фигурные скобки, и другие математические действия.
Особенностью заданий является то, что при решении разрешается использовать только знаки четырёх арифметических. Это очень важно, так как данный вид числовых затей становится доступным и для детей младшего школьного возраста.



ЗАДАЧИ НА СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ

Счёт от нуля до десяти: простые задачи
(знаки умножения, деления и скобки не применять; напоминаем, что в этой главе при пооперационных вычислениях не должны получаться числа большие, чем 10; во всех числовых выражениях цифры должны располагаться по порядку, начиная с единицы)

1. Двумя цифрами. Представьте число 3 посредством цифр 1, 2 и знаков математических действий.
2. Тремя цифрами. Выразите число 0 с помощью цифр 1, 2, 3, знаков "плюс" и "минус". Напоминаем, что в подобных задачах нельзя менять порядок расположения цифр (цифры меньшие по значению всегда располагаются левее), причём каждая из них используется только один раз.
3. Тремя цифрами. Изобразите число 6 посредством единицы, двойки и тройки.
4. Четырьмя цифрами. Расставьте между числами 1, 2, 3, 4 знаки сложения и вычитания таким образом, чтобы в результате получилось 2.
5. Четырьмя цифрами. Представьте число 4 посредством первых четырёх значащих цифр.
6. Четырьмя цифрами. Запишите число 10 с помощью цифр 1, 2, 3 и 4.
7. Пятью цифрами. Выразите число 5 с помощью цифр 1, 2, 3, 4 и 5.
8. Пятью цифрами. Изобразите число 7 посредством единицы, двойки, тройки, четвёрки и пятёрки.
9. Пятью цифрами. Напишите число 9 с помощью цифр 1, 2, 3, 4 и 5.
10. Шестью цифрами. Представьте число 1 посредством первых шести значащих цифр.
11. Шестью цифрами. Выразите число 3 с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
12. Семью цифрами. Изобразите число 8 посредством единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки, шестёрки и семёрки.
13. Семью цифрами. Запишите число 10 с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.
14. Восьмью цифрами. Представьте число 0 посредством первых восьми значащих цифр.
15. Восьмью цифрами. Выразите число 2 с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8.
16. Девятью цифрами. Изобразите число 9 посредством всех значащих цифр.

Счёт от нуля до десяти: сложные задачи
(знаки умножения, деления и скобки не применять; напоминаем, что в этой главе при пооперационных вычислениях не должны получаться числа, большие, чем 10; во всех числовых выражениях цифры должны располагаться по порядку слева направо, начиная с единицы)

17. Представьте число 0 посредством нескольких последовательно расположенных цифр и знаков "плюс" и "минус" (как уже отмечалось, во всех подобных задачах данного раздела получившееся числовое выражение должно начинаться с цифры 1). Укажите два способа.
18. Изобразите таким же образом единицу (запись в виде одной цифры 1 в подобных задачах не допускается). Сколько цифр в получившемся числовом выражении?
19. Двумя способами выразите число 2 с помощью некоторого количества значащих цифр.
20. Напишите подобным же образом число 3. Также найдите два способа.
21. Представьте четвёрку посредством нескольких последовательно расположенных цифр.
22. Выразите таким же образом число 5.
23. Изобразите число 6 с помощью некоторого количества значащих цифр.
24. Напишите подобным же образом число 7.
25. Представьте восьмёрку через несколько последовательно расположенных цифр. Сколько цифр в получившемся числовом выражении?
26. Двумя способами изобразите число 9 с помощью некоторого количества значащих цифр.
27. Выразите подобным же образом число 10. Сможете ли вы указать два способа?

Счёт от нуля до двадцати
(внимание: при пооперационных вычислениях не должны получаться числа более 20, а все числовые выражения в ответах к данному разделу будут начинаться с цифры 1 и далее по порядку; скобки не использовать)

Счёт от нуля до двадцати: цифры 1, 2, 3

28. Представьте число 9 посредством цифр 1, 2, 3 (не забудьте, что использовать их можно только по одному разу) и одного математического знака.
29. Выразите число 15 с помощью единицы, двойки и тройки.

Счёт от нуля до двадцати: цифры 1, 2, 3, 4

30. Изобразите число 5 посредством цифр от 1 до 4.
31. Расставьте между числами 1, 2, 3, 4 знаки сложения и вычитания (там, где это требуется), таким образом, чтобы в результате получилось 11.
32. Напишите число 13 с помощью четырёх цифр: единицы, двойки, тройки и четвёрки.
33. Выразите посредством четырёх первых значащих цифр число 19.

Счёт от нуля до двадцати: цифры 1, 2, 3, 4, 5

34. Представьте 0 посредством цифр 1, 2, 3, 4 и 5.
35. Выразите число 6 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки и пятёрки.
36. Изобразите число 8 посредством цифр от 1 до 5.
37. Расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4 и 5 знаки сложения и вычитания (там, где это требуется), таким образом, чтобы в результате получилось 10.
38. Представьте число 14 посредством цифр 1, 2, 3, 4 и 5.
39. Выразите число 15 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки и пятёрки.
40. Изобразите число 16 посредством цифр от 1 до 5.
41. Напишите число 18, используя только первые пять значащих цифр.

Счёт от нуля до двадцати: цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6

42. Представьте 0 посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
43. Выразите число 2 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки и шестёрки.
44. Изобразите число 4, используя только первые шесть значащих цифр.
45. Расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4, 5 и 6 знаки сложения и вычитания (там, где это требуется), таким образом, чтобы в результате получилось 6.
46. Представьте число 8 посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
47. Выразите число 9 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки и шестёрки.
48. Изобразите число 10 посредством цифр от 1 до 6.
49. Напишите число 11 с помощью первых шести значащих цифр.
50. Двумя способами представьте число 12 посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
51. Выразите число 13 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки и шестёрки.
52. Изобразите число 14, используя только первые шесть значащих цифр.
53. Расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4, 5 и 6 знаки сложения и вычитания таким образом, чтобы в результате получилось 15.
54. Представьте число 16 посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
55. Можно ли выразить числа 17, 18 и 19 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки и шестёрки таким образом, чтобы в результате пооперационных вычислений не получались числа большие, чем 20?
56. Изобразите число 20 посредством цифр от 1 до 6.


Счёт от нуля до двадцати: цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

57. Можно ли с помощью первых семи значащих цифр выразить число нуль (как и в других задачах, с учётом указанных в данном разделе ограничений: допускается применять только знаки "плюс" и "минус", при пооперационных вычислениях не должны получаться числа большие 20 и др.)?
58. Представьте единицу посредством цифр от 1 до 7.
59. Выразите число 2 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки, шестёрки и семёрки.
60. Изобразите тройку посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.
61. Напишите число 4 с помощью цифр от 1 до 7.
62. Двумя способами расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 знаки сложения и вычитания (там, где это требуется), таким образом, чтобы в результате получилось 5.
63. Представьте число 6 посредством первых семи значащих цифр.
64. Выразите число 7 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки, шестёрки и семёрки. Приведите два способа.
65. Изобразите восьмёрку посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Найдите два способа.
66. Двумя способами напишите число 9 с помощью цифр от 1 до 7.
67. Выразите число 10 посредством семи первых значащих цифр.
68. Расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 знаки действий таким образом, чтобы в результате получилось 11.
69. Можно ли с помощью первых семи значащих цифр выразить число 12 (как и в других задачах, с учётом указанных в данном разделе ограничений: разрешается применять только знаки "плюс" и "минус", при пооперационных вычислениях не должны получаться числа, более 20 и др.)?
70. Представьте число 13 посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Укажите два способа.
71. Возможно ли посредством семи первых значащих цифр изобразить число 14?
72. Выразите число 15 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки, шестёрки и семёрки.
73. Изобразите число 16 посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.
74. Напишите число 17 с помощью цифр от 1 до 7.
75. Расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 знаки действий таким образом, чтобы в результате получилось 18.
76. Представьте число 19 посредством первых семи значащих цифр. Приведите два способа.
77. Выразите число 20 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки, шестёрки и семёрки.


Счёт от нуля до двадцати: цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8


78. Двумя способами представьте нуль посредством первых восьми значащих цифр.
79. Выразите число 1 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки, шестёрки, семёрки и восьмёрки. Также найдите два способа.
80. Изобразите двойку посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8.
81. Напишите число 3 с помощью цифр от 1 до 8.
82. Можно ли с помощью восьми первых значащих цифр представить число 4 (опять не забудьте про ограничения на числовые выражения в данном разделе)?
83. Двумя способами расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 знаки сложения и вычитания (там, где это требуется), таким образом, чтобы в результате получилось 5.
84. Возможно ли с помощью восьми первых значащих цифр изобразить число 6?
85. Выразите число 7 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки, шестёрки, семёрки и восьмёрки.
86. Изобразите восьмёрку посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8.
87. Двумя способами напишите число 9 с помощью цифр от 1 до 8.
88. Выразите число 10 посредством восьми первых значащих цифр. Также укажите два способа.
89. Расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 знаки действий таким образом, чтобы в результате получилось 11. Найдите три способа.
90. Двумя способами с помощью восьми первых значащих цифр выразите число 12.
91. Представьте число 13 посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Укажите два способа.
92. Посредством восьми первых значащих цифр изобразите число 14.
93. Выразите число 15 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки, шестёрки, семёрки и восьмёрки. Укажите два способа.
94. Изобразите число 16 посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Также найдите два способа.
95. Двумя способами напишите число 17 с помощью цифр от 1 до 8.
96. Расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 знаки действий таким образом, чтобы в результате получилось 18.
97. Представьте число 19 посредством восьми первых значащих цифр.
98. Возможно ли с помощью цифр от 1 до 8 (и, безусловно, всех налагаемых ограничений) изобразить число 20?
99. Какие из чисел в интервале 0 – 20 не удаётся выразитьпосредством восьми первых значащих цифр?
100. Какое из чисел в интервале 0 – 20 можно выразить с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 наибольшим количеством способов? Укажите это количество.

Счёт от нуля до двадцати: цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

101. Двумя способами представьте нуль посредством девяти первых значащих цифр.
102. Выразите число 1 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки, шестёрки, семёрки, восьмёрки и девятки. Также найдите два способа.
103. Тремя способами изобразите двойку посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.
104. Напишите число 3 с помощью цифр от 1 до 9. Приведите два способа.
105. Расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 знаки действий таким образом, чтобы в результате получилось 4. Также найдите два способа.
106. Представьте пятёрку посредством девяти первых значащих цифр.
107. Выразите число 6 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки, шестёрки, семёрки, восьмёрки и девятки. Укажите два способа.
108. Двумя способами изобразите семёрку посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.
109. Напишите число 8 с помощью цифр от 1 до 9. Также приведите два решения.
110. Расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 знаки действий таким образом, чтобы в результате получилась девятка. Найдите три способа.
111. Также тремя способами представьте 10 посредством девяти первых значащих цифр.
112. Выразите число 11 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки, шестёрки, семёрки, восьмёрки и девятки.
113. Изобразите 12 посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.
114. Можно ли с помощью девяти первых значащих цифр представить число 13?
115. Напишите число 14 с помощью цифр от 1 до 9. Приведите два способа.
116. Удастся ли с помощью девяти первых значащих цифр представить число 15?
117. Расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 знаки действий таким образом, чтобы в результате получилось 16.
118. Представьте 17 посредством девяти первых значащих цифр.
119. Выразите число 18 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки, шестёрки, семёрки, восьмёрки и девятки. Найдите два способа.
120. Двумя способами изобразите 19 посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.
121. Напишите число 20 с помощью цифр от 1 до 9. Приведите три способа.


ОТВЕТЫ:


1. 1 + 2. 2. 1 + 2 – 3. 3. 1 + 2 + 3. 4. 1 + 2 + 3 – 4. 5. 1 + 2 – 3 + 4.
6. 1 + 2 + 3 + 4. 7. 1 + 2 + 3 + 4 – 5. 8. 1 + 2 + 3 – 4 + 5.
9. 1 + 2 – 3 + 4 + 5. 10. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6.
11. 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6. 12. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7.
13. 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7. 14. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8.
15. 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7 – 8.
16. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + 9.
17. 1 + 2 – 3; 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8.
18. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6; шесть.
19. 1 + 2 + 3 – 4; 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7 – 8.
20. 1 + 2; 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6. 21. 1 + 2 – 3 + 4.
22. 1 + 2 + 3 + 4 – 5. 23. 1 + 2 + 3. 24. 1 + 2 + 3 – 4 + 5.
25. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7; семь.
26. 1 + 2 – 3 + 4 + 5; 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + 9.
27. 1 + 2 + 3 + 4; 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7.
28. 12 – 3. 29. 12 + 3. 30. 12 – 3 – 4. 31. 12 + 3 – 4.
32. 12 – 3 + 4. 33. 12 + 3 + 4. 34. 12 – 3 – 4 – 5.
35. 12 + 3 – 4 – 5. 36. 12 – 3 + 4 – 5. 37. 12 – 3 – 4 + 5.
38. 12 + 3 + 4 – 5. 39. 1 + 2 + 3 + 4 + 5. 40. 12 + 3 – 4 + 5.
41. 12 – 3 + 4 + 5. 42. 12 + 3 – 4 – 5 – 6. 43. 12 – 3 + 4 – 5 – 6.
44. 12 – 3 – 4 + 5 – 6. 45. 12 – 3 – 4 – 5 + 6.
46. 12 + 3 + 4 – 5 – 6. 47. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 – 6.
48. 12 + 3 – 4 + 5 – 6. 49. 1 + 2 + 3 + 4 – 5 + 6.
50. 12 – 3 + 4 + 5 – 6; 12 + 3 – 4 – 5 + 6.
51. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 + 6. 52. 12 – 3 + 4 – 5 + 6.
53. 1 + 2 – 3 + 4 + 5 + 6. 54. 12 – 3 – 4 + 5 + 6.
55. Нет. 56. 12 + 3 + 4 – 5 + 6. 57. Нет. 58. 12 + 3 + 4 – 5 – 6 – 7.
59. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 – 6 – 7. 60. 12 + 3 – 4 + 5 – 6 – 7.
61. 1 + 2 + 3 + 4 – 5 + 6 – 7.
62. 12 – 3 + 4 + 5 – 6 – 7; 12 + 3 – 4 – 5 + 6 – 7.
63. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 + 6 – 7.
64. 12 – 3 + 4 – 5 + 6 – 7; 12 + 3 – 4 – 5 – 6 + 7.
65. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7; 1 + 2 – 3 + 4 + 5 + 6 – 7.
66. 12 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7; 12 – 3 + 4 – 5 – 6 + 7.
67. 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7. 68. 12 – 3 – 4 + 5 – 6 + 7.
69. Нет. 70. 12 + 3 + 4 – 5 + 6 – 7; 12 – 3 – 4 – 5 + 6 + 7. 71. Нет.
72. 12 + 3 + 4 – 5 – 6 + 7. 73. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 – 6 + 7.
74. 12 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7. 75. 1 + 2 + 3 + 4 – 5 + 6 + 7.
76. 12 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7; 12 + 3 – 4 – 5 + 6 + 7.
77. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 + 6 + 7.
78. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8; 1 + 2 – 3 + 4 + 5 + 6 – 7 – 8.
79. 12 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8; 12 – 3 + 4 – 5 – 6 + 7 – 8.
80. 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7 – 8.
81. 12 – 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8. 82. Нет.
83. 12 + 3 + 4 – 5 + 6 – 7 – 8; 12 – 3 – 4 – 5 + 6 + 7 – 8. 84. Нет.
85. 12 + 3 + 4 – 5 – 6 + 7 – 8. 86. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 – 6 + 7 – 8.
87. 12 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8; 12 + 3 + 4 – 5 – 6 – 7 + 8.
88. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 – 6 – 7 + 8; 1 + 2 + 3 + 4 – 5 + 6 + 7 – 8.
89. 12 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7 – 8; 12 + 3 – 4 – 5 + 6 + 7 – 8;
12 + 3 – 4 + 5 – 6 – 7 + 8.
90. 1 + 2 + 3 + 4 – 5 + 6 – 7 + 8; 1 + 2 + 3 – 4 + 5 + 6 + 7 – 8.
91. 12 – 3 + 4 + 5 – 6 – 7 + 8; 12 + 3 – 4 – 5 + 6 – 7 + 8.
92. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 + 6 – 7 + 8.
93. 12 – 3 + 4 – 5 + 6 – 7 + 8; 12 + 3 – 4 – 5 – 6 + 7 + 8.
94. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 + 8; 1 + 2 – 3 + 4 + 5 + 6 – 7 + 8.
95. 12 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 + 8; 12 – 3 + 4 – 5 – 6 + 7 + 8.
96. 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7 + 8. 97. 12 – 3 – 4 + 5 – 6 + 7 + 8.
98. Нет. 99. 4, 6 и 20. 100. Число 11; три способа.
101. 12 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 – 9; 12 + 3 + 4 – 5 – 6 – 7 + 8 – 9.
102. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 – 6 – 7 + 8 – 9;
1 + 2 + 3 + 4 – 5 + 6 + 7 – 8 – 9.
103. 12 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7 – 8 – 9;
12 + 3 – 4 – 5 + 6 + 7 – 8 – 9; 12 + 3 – 4 + 5 – 6 – 7 + 8 – 9.
104. 1 + 2 + 3 + 4 – 5 + 6 – 7 + 8 – 9;
1 + 2 + 3 – 4 + 5 + 6 + 7 – 8 – 9.
105. 12 – 3 + 4 + 5 – 6 – 7 + 8 – 9; 12 + 3 – 4 – 5 + 6 – 7 + 8 – 9.
106. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 + 6 – 7 + 8 – 9.
107. 12 – 3 + 4 – 5 + 6 – 7 + 8 – 9; 12 + 3 – 4 – 5 – 6 + 7 + 8 – 9.
108. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 + 8 – 9;
1 + 2 – 3 + 4 + 5 + 6 – 7 + 8 – 9.
109. 12 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 + 8 – 9; 12 – 3 + 4 – 5 – 6 + 7 + 8 – 9.
110. 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7 + 8 – 9;
1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + 9; 1 + 2 – 3 + 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9.
111. 12 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9; 12 – 3 + 4 – 5 – 6 + 7 – 8 + 9;
12 – 3 – 4 + 5 – 6 + 7 + 8 – 9.
112. 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + 9.
113. 12 – 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + 9. 114. Нет.
115. 12 + 3 + 4 – 5 + 6 – 7 – 8 + 9; 12 – 3 – 4 – 5 + 6 + 7 – 8 + 9.
116. Нет. 117. 12 + 3 + 4 – 5 – 6 + 7 – 8 + 9.
118. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + 9.
119. 12 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + 9; 12 + 3 + 4 – 5 – 6 – 7 + 8 + 9.
120. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 – 6 – 7 + 8 + 9;
1 + 2 + 3 + 4 – 5 + 6 + 7 – 8 + 9.
121. 12 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + 9; 12 + 3 – 4 – 5 + 6 + 7 – 8 + 9;
12 + 3 – 4 + 5 – 6 – 7 + 8 + 9.


Литература:


Гнеденко Б.В. Очерки по истории математики в России. - М.-Л.: ОГИЗ, ГИТТЛ, 1946, с.17.
Гадательная арифметика для забавы и удовольствия. - СПб., 1789.
Детский гостинец, или Четыреста девяносто девять загадок с ответами в стихах и прозе, взятых как из древней, так и из новейшей истории и из всех царств природы и собранных одним другом детей для их употребления и приятного препровождения времени. - М., 1994.
Дьюдени Г.Э. 520 головоломок. - М.: Мир, 1975, с.37, 43.
Игнатьев Е.И. В царстве смекалки, или Арифметика для всех: Опыт математической хрестоматии: Книга для семьи и школы: Книга 1. - СПб.: Тип. А.С.Суворина, 1911.
Литцман В. Весёлое и занимательное о числах и фигурах: Занимательная математика всякого рода, о числах, о геометрических формах. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963, 2-е издание, с.135.
Лойд С. Математическая мозаика. - М.: Мир, 1980.
Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные занимательные задачи. - М.: Наука, 1985.
Перельман Я.И. Весёлые задачи: 101 головоломка для юных математиков с 112 рисунками. - Пг.: Начатки знаний, 1919, 2-е издание.
Перельман Я.И. Занимательные задачи. - Л.: Молодая гвардия, 1935, 4-е издание, с.67.
Сатаров А.В. Живая арифметика в часы досуга: Пособие семье и школе для развития смекалки в детях: Книга вторая. - М.: Издание Товарищества И.Д.Сытина, 1912.
Сухин И.Г. 200 школьных кроссвордов: 1-2 классы. - М.: ТЦ "Сфера", 2002.
Сухин И.Г. Весёлая математика: 1500 головоломок для математических олимпиад, уроков, досуга: 1-7 класс. – М.: ТЦ "Сфера", 2003 - http://suhin.narod.ru/mat3.htm
Сухин И.Г. 800 новых логических и математических головоломок. – СПб.: Союз, 2001 - http://suhin.narod.ru/mat1.htm
Сухин И.Г. Задача "Волк, коза и капуста": удивительные находки и неразгаданные тайны. – М.: Начальная школа, 2002, №7, с.69-70 - http://suhin.narod.ru/mat4.htm
Сухин И.Г. Занимательные материалы: Начальная школа. – М. ВАКО, 2004.
Сухин И.Г. Игры для мальчиков и девочек: № 3: Кроссворды. - М: АСТ, Астрель, Ермак, 2005.
Сухин И.Г. Книга затей для учеников и учителей: Загадки, скороговорки, кроссворды, литературные и математические задания: 1-4 классы. - Тула: Родничок; М.: Астрель, АСТ, 2004.
Сухин И.Г. 1200 головоломок с неповторяющимися цифрами. – М.: Астрель, АСТ, Ермак, 2003.

С ПОЛНОЙ БИБЛИОГРАФИЕЙ ПО ТЕМЕ ПОЗНАКОМЬТЕСЬ НА ВЕБ-СТРАНИЦЕ http://suhin.narod.ru/bibl.htm

Данный доклад размещён на странице - http://pedsovet.org/forum/index.php?showtopic=553

Ещё один доклад И.Г.Сухина "Шахматы как здоровьесберегающий учебный предмет в начальной школе" размещён по адресу - http://pedsovet.org/forum/index.php?showtopic=347

Ещё один доклад И.Г.Сухина "Как привить детям интерес к чтению" размещён на странице http://pedsovet.org/forum/index.php?showtopic=407&hl=
Ольга Анисимова ( Пользователь )
Замечательный подбор заданий! Большое спасибо.!
Игорь Сухин ( Пользователь )
(anisol @ Oct 5 2005, 01:22 AM) <{POST_SNAPBACK}>
Замечательный подбор заданий! Большое спасибо.!

Спасибо, Ольга Владимировна, но это только маааааааленький кусочек.

footer logo © Образ–Центр, 2018. 12+