Личный кабинет

Супер-мега калькулятор

А нужен ли
Ольга Анисимова ( Пользователь )
(воронн @ 03.03.2008, 16:14) <{POST_SNAPBACK}>
А относится это к алгебре, к чему же еще. "Уравнения" же всякие -- в алгебре изучают. А вообще, стержнем математики является логика (следует, равносильно, отрицание...) которая проявляется здесь на АЛГЕБРАИЧЕСКОМ материале (из первого уравнения, которое ДО умножения , следует второе, а наоборот -- не следует).

Это к Бурбаки и их 12 томнику. Других попыток построить математику на логике не знаю. Больше того: помнится была еще теорема Геделя о неполноте....
Владислав Воронин ( Пользователь )
(anisol @ 03.03.2008, 21:04) <{POST_SNAPBACK}>
Дробнорациональная функция определена везде, кроме х=-0,5. В точке разрыва имеет вертикальную асимптоту.

Ну, вроде верно. А почему же Вы тогда написали напугавшую меня фразу "... наличие нуля в знаменателе на эскиз графика не влияет" ? Как же -- не влияет, когда аж вертикальную асимптоту порождает! Уход функции на бесконечности -- немало!
Или... Вы все-таки признаете, что в тот раз Вы очень не подумали?

Теперь, почему Вы обозвали кривую "гиперболой". В кавычках. Когда это гипербола и есть.
Я показываю так. Возьмем "стандартную" гиперболу y=1/x. Нашу же функцию можно переписать (отцепив целую часть -- или даже "столбиком" разделив) :

y=(1/2) + (-1/4) / (x+(1/2)).
Как такую кривую получить из "стандартной"?
(1) Стандартную -- сдвинуть по иксу на (-1/2); это y=1 / (x+(1/2)) ;
(2). Умножить на (-1/4), т.е. сплющить в четыре раза и перевернуть;
(3). Поднять на 1/2.

В принципе, то же можно проделать в буквах: y=(ax + b ) / (cx+d) и убедиться, что в невырожденных случаях (когда числитель не равен знаменателю с множителем) график ВСЕГДА получается из стандартной гиперболы подобными операциями.
А тогда можно НЕ делать всего пути каждый раз. Асимптоты горизонтальную-вертикальную -- легко найти. А в каких углах данная гипербола проходит -- выяснить, ткнув наугад какую-нибудь точку.
Объяснить, откуда берется горизонтальная асимптота, тоже можно, не дожидаясь 11 класса. Например, отцепив дробь (a/c), получишь нечто с фиксированным числителем, а в знаменателе будет икс. То, что подобная дробь стремится к нулю при больших икс -- вполне доступно на здравом смысле, без строгой теории.

Я Вам называл всякие функции, которые можно изобразить, нарисовать. Еще можно сочинять и варьировать в дадцать раз больше. Пользуясь всякими содержательными, наглядными представлениями увидеть разрывы, изломы, дребезжания, периодичности, симметрии. А есть еще жанр: "изобразить на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют....."
Как работу с понятием "равносильность" нельзя освоить на линейных уравнениях, так и понятие "функции" нельзя освоить, не привыкнув ДУМАТЬ о ее качественных особенностях. В том числе и на уровне визуализации. Только -- СВОЕЙ ГОЛОВОЙ надо бы это уметь делать. И уметь рождать зрительный образ (даже и мысленный!) в ней же, в голове.
Так я убежден. Тогда это настоящее освоение математики. И "костыль" в виде тех.средств -- не то, чтобы нельзя использовать. Можно, конечно. Но ЦЕЛЬЮ-то надо ставить -- учить ходить в итоге без костылей. В школе -- традиционно -- с графикой было плохо всегда. В школе с уклоном -- если в настоящей (сейчас уже и "уклон" тоже туфтовый бывает) грамотные преподаватели ВСЕГДА восполняли сами этот недостаток официальной программы. И сначала -- на действиях с графиками, на здравом смысле, и лишь потом подключая еще и производную. А то -- горе луковое! -- уж и несчастный квадратный трехчлен тоже не через выделение полного квадрата исследуют, а той же "игрек штрих".
Кстати, именно слепота, неосознание, что такое "поведение" функции и какое оно бывает -- и из под производной вышибает наглядность. Так и остаются зазубренные правила "если игрек штрих будет равен... то...". Производная -- не "игрек штрих", а скорость роста функции. Что совпадает с наклоном графика.

(Так же, как работа -- не волк, а произведение силы на расстояние).
Ольга Анисимова ( Пользователь )
(воронн @ 04.03.2008, 13:38) <{POST_SNAPBACK}>
Ну, вроде верно. А почему же Вы тогда написали напугавшую меня фразу "... наличие нуля в знаменателе на эскиз графика не влияет" ? Как же -- не влияет, когда аж вертикальную асимптоту порождает! Уход функции на бесконечности -- немало!
Или... Вы все-таки признаете, что в тот раз Вы очень не подумали?

Я написала, что наличие нуля в знаменателе связано не с темой график функции. А не "не влияет".
Это другая тема smile.gif - обыкновенные дроби. И то, что график в этой точке не существует относится не к разделу построение графиков, а совсем из другой области. Если про дробь знает, то про функцию отдельно говорить не придется. А уж тем более дрессировать на этом...
И еще: прямая, гипербола, парабола - должна быть известна учащемуся и до построения эскиза. По виду формулы ДОЛЖНЫ уметь определять вид графика. Чтобы знать, как выглядит, не обязательно строить своими руками. Я именно об этом веду речь.
И еще: те выкладки, которые привели Вы, тоже относятся к преобразованию алгебраических выражений, и может быть стоит именно на них потратить время, которое сейчас отводится на построение таблиц и "плавных линий". Процесс трудоемкий, а что дает голове?
Владислав Воронин ( Пользователь )
(anisol @ 03.03.2008, 21:14) <{POST_SNAPBACK}>
smile.gif Во-первых попутали умножение и деление.

Ничего я не попутал. Все мои утверждения, вроде бы верны. Математически. Логически.
Во-вторых: свойства уравнений гласят, что можно умножаить на отличное от 0 число.

А вот слово "можно"... как бы это выразиться... употреблено весьма неряшливо. Очень не математически. Если сказать: "после умножение уравнения на число, не равное нулю, получается уравнение, равносильное исходному" -- то это высказывание корректно. А слово "можно " -- некорректно.
Может, это Вы так второпях выразились. Или прямо цитируете какой-то учебник? Тогда -- в этом месте учебник негодный. Изъясняться, тем более в важном пункте и в печатном виде, надо бы аккуратно.
Почему: разъясняется там же. А значит, умножение на 0 - противоречит свойству уравнений. Поэтому - нельзя.

Сразу, извините, видно человека, который полагает, что "логика" -- это то, что у Бурбаки. А не то, что в школьной алгебре и геометрии.
Словосочетание "умножение противоречит свойству уравнений" -- извините, просто неграмотно. И потому бессмысленно.
(1). Что, у уравнений есть только одно "свойство"? Не расскажете -- какое же.
(2). "Противоречить" чему-либо может лишь УТВЕРЖДЕНИЕ. Одно -- другому. "Противоречие" есть термин логический. Числа или треугольники не могут "противоречить" друг другу.
Выполненное ДЕЙСТВИЕ не является утверждением -- и не может ничему противоречить. Вот если делать утверждения: "получится следствие исходного..." или ..."получится равносильное уравнение" -- тогда это может быть верно или неверно, противоречить или не противоречить.
(3). Если некое действие, говоря по-Вашему, "противоречит" (то есть, например, из имеющейся Теоремы 5 НЕ следует равносильность нового уравнения предыдущему), то такая равносильность может следовать из еще пока неизвестной теоремы 10.
Если же после некоего действия получается уравнение, НА САМОМ ДЕЛЕ не равносильное исходному -- то и это не беда. Такие действие (неравносильные переходы в выкладках) тоже совершаются. И оказываются полезны. Что значит "такое действие противоречит"? Чему -- равносильности? Ну, знаем, ну, противоречит, ну и что? А почему его выполнять "нельзя"?
Дурацкое действие "умножим все на ноль" ни к какой разумной цели не ведет, не позволяет на что-нибудь содержательное ответить -- это верно. Его делать не "нельзя", а можно -- но бесполезно.
3. Теперь про 0 в знаменателе. Это ведь только в "уравнении" прямой а пространстве, которое на самом деле не уравнение, а система.

Верно, но я этот пример привел исключительно для того, что понятия "... а могу я написать...", " а могу я сделать вон то-то..." -- несут в себе дурной обыденный глагол "могу", которому приписывается какой-то фальшивый "математический" смысл. Можно писать нули в знаменателях? Можно, если договорено, что это будет означать. Кстати, уравнение на плоскости (x-3) / 0 = (y + 2 ) / 3 тоже корректно в смысле той же доворенности.
"Могу" я или "не могу" -- нет таких математических теорем, утверждений. Свойств, правил. "Такое-то действие применимо не для всех икс из ОДЗ" -- это определенное утверждение. Из которого можно делать выводы и учитывать при решении уравнения (остальные иксы рассматривать каким-то другим способом). "Уравнение получилось с другим ОДЗ". "Уравнение может получиться неравносильное". "Уравнение является следствием другого..."
Итак, я делаю некое действие. Я "мог" его делать или "не мог" ? Если не в полицейском смысле -- то "могу" я все. Вопрос на самом деле о том, а как я применю полученные таким образом результаты. Позволят ли они ответить на вопрос задачи.
И не запрещайте мне то, что я захочу, на ноль умножать! Нет у Вас этих полномочий! Свободу Мне! Сейчас с горя все вокруг на ноль помножу, ибо -- не тварь дрожащая, но право имею!
Владислав Воронин ( Пользователь )
(anisol @ 04.03.2008, 17:18) <{POST_SNAPBACK}>
Я написала, что наличие нуля в знаменателе связано не с темой график функции. А не "не влияет".
Это другая тема smile.gif - обыкновенные дроби.

Как не связано, когда из-за этого наличия асимптота возникла? А "обыкновенные дроби" не очень причем -- тут речь о "функциональных дробях". А функции, записанные в виде некоей дроби имеют В ОКРЕСТНОСТИ критической точки некое ПОВЕДЕНИЕ. Речь же не о том, она в самой точке не определена, а о том, что она РЯДОМ с ней делает!
И то, что график в этой точке не существует относится не к разделу построение графиков, а совсем из другой области.
Если про дробь знает, то про функцию отдельно говорить не придется. А уж тем более дрессировать на этом...

А то, что график РЯДОМ с этой точкой выделывает -- прямо относится к разделу графиков. И если он "знает", что в самой точке значения нет, то это ему никак не поможет нарисовать правильно.
А то, что Вы их вообще не дрессируете рисовать никакие нетривиальные графики, а только такую лабуду, которую можно любой глупой железяке доверить... ну что ж, Ваш выбор. Не считате Вы понятие "функции" достойным всестороннего освоения. И еще придерживаетсь каких-то странных мнений, что это никому не нужно -- ощущать, что же такое эта "функция".
Откуда господа учителя берут свои мнения? От студентов каких-нибудь вузов, где математики кот наплакал, и где учат только каким-нибудь трем-четырем формулам?
Чтобы знать, как выглядит, не обязательно строить своими руками. Я именно об этом веду речь.

"Чтобы знать" -- вообще не обязательно строить. "Знать" можно и в уме. И рассуждать о чем-то, представляя лишь мысленно.
А НЕ УМЕТЬ вот это "мысленно" -- значит, не заниматься математикой самому, а перейти на иждивение тех, кто в железяки алгоримы заложил. Те, кто заложил -- знали математику, а Митрофанушке и кучеровых знаний хватит.
И еще: те выкладки, которые привели Вы, тоже относятся к преобразованию алгебраических выражений, и может быть стоит именно на них потратить время, которое сейчас отводится на построение таблиц и "плавных линий". Процесс трудоемкий, а что дает голове?

Так называемый "алгоритм" с построением таблиц -- вообще вредительство. Как я объясняю, это и есть чистой воды ОБОЛВАНИВАНИЕ. Подмена умения мыслить каким-то чистописанием таблиц. "Труд" не сделал из обезьяны человека. Труд сделал лошадь, быка, кита. Человека сделал сознательный труд.
Ольга Анисимова ( Пользователь )
(воронн @ 04.03.2008, 14:42) <{POST_SNAPBACK}>
Как не связано, когда из-за этого наличия асимптота возникла? А "обыкновенные дроби" не очень причем -- тут речь о "функциональных дробях". А функции, записанные в виде некоей дроби имеют В ОКРЕСТНОСТИ критической точки некое ПОВЕДЕНИЕ. Речь же не о том, она в самой точке не определена, а о том, что она РЯДОМ с ней делает!

Асимптота возникает в точке разрыва, а разрыв - следствие того, что при 0 знаменателе дробь не определена. Любая. smile.gif Функциональных дробей незнаюsmile.gif, мне здесь обыкновенных алгебраических более чем...
Поведение же фуекции в месте разрыва - это уже дело другое. В принципе для существования асимптоты надо пределы брать, а это одиннадцатый класс. А вот то, что гипербола и разрыв - это уже можно в 8 говорить.
Владислав Воронин ( Пользователь )
(anisol @ 04.03.2008, 18:19) <{POST_SNAPBACK}>
Асимптота возникает в точке разрыва, а разрыв - следствие того, что при 0 знаменателе дробь не определена. Любая.

В точке-то не определена. Но функция -- не "точки". Это ЦЕЛЬНЫЙ ОБЪЕКТ. Свойства которого -- это не перечень свойств ее отдельных значений.
В окрестности той точки (в окрестности, а не "в точке") такая дробь (то есть функция, заданная в виде отношения двух функций!) может:
(1). Вести себя гладко и тихо, только точка выколота. Вставь на место -- и не заметишь. Как sin(x) / x . Или как (x^2+x-2) / (x-1).
(2). Делать излом, оставаясь непрерывной. Как (x+1) / (sqrt[3](x^3+x^2+x+1)). На изломе причем бесконечные производные ("острая птичка"). Внизу -- корень кубический.
(3). Совершать скачок. Как (x / |x|).
(4).Уходить на бесконечности -- на ту или на другую с каждой стороны. А то и уходить с одной стороны на бесконечность, а с другой иметь конечный предел! Могу придумать. Используя не больше, чем "модуль".
Это еще -- если числитель и знаменатель в отдельности относительно приличные. Если же и кто-нибудь из них что-то вытворяет экзотическое --можно и еще фокусы устроить.
Функциональных дробей не знаю, мне здесь обыкновенных алгебраических более чем...

Это f(x) = "функция делить на функцию".
Да, как я понимаю, Вы вообще функцию знать не хотите. Как цельный объект. Табличками ее подменяете. "Строите". А табличка В ПРИНЦИПЕ объект другого уровня сложности.
Поведение же функции в месте разрыва - это уже дело другое. В принципе для существования асимптоты надо пределы брать, а это одиннадцатый класс. А вот то, что гипербола и разрыв - это уже можно в 8 говорить.

Вообще "поведение функции" -- дело другое. И в точке разрыва, и в иных местах. И говорить об этом МОЖНО и не влазя в пределы. И почему разрыв у "гиперболы" понятен, а другой уж обязательно и непонятен?
Более того, о функциях и НАДО говорить до того, как всякие пределы проходить. И характерные особенности, и "поведение" этого объекта надо начинать осознавать раньше, чем применять туда еще и строгий матанализ. (Хотя -- уж какой он там будто бы "строгий", в школе-то!)
Ольга Анисимова ( Пользователь )
(воронн @ 04.03.2008, 17:56) <{POST_SNAPBACK}>
Это f(x) = "функция делить на функцию".
Да, как я понимаю, Вы вообще функцию знать не хотите. Как цельный объект. Табличками ее подменяете. "Строите". А табличка В ПРИНЦИПЕ объект другого уровня сложности.

Вообще "поведение функции" -- дело другое. И в точке разрыва, и в иных местах. И говорить об этом МОЖНО и не влазя в пределы. И почему разрыв у "гиперболы" понятен, а другой уж обязательно и непонятен?

Для меня функция - это соответствие между множествами, с определенными свойствами. Но, ни в коем случае не табличка, не отношение и не график...
И еще: понятие функции в школе, у нас по крайней мере, вводится после понятия зависимости, когда свойства прямой и обратной пропорциональности уже изучены. И, кстати, те, кто понимает, как заполнить там таблички, понимают, почему так можно задать функцию. Переход же от дискретной таблички к непрерывному графику - это достаточно сложная логическая операция, и я полностью согласна с Вами, что табличка и функция - это вещи разные. Я ведь и не говорила, что я таблички заполняюsmile.gif
Теперь о поведении функции. Чтобы разрыв у гиперболы (неустранимый) сравнить с устранимым у другой функции, мне нужны примеры. Строить их от руки без объяснений? или показать картинки (с помощью компьютера) и обсудить, где и как будут себя вести графики можно и не давая формул самих линий. Равно как и отработать сопоставление формулы дробнорациональной функции с видом ее графика.
Автоматизация заполнения той же таблички и последующее построение от руки по готовым точкам избавит от такой беды, как несовершенство подсчета.
В общем, использование компьютера позволяет выявить, где у учащегося проблема, что конкретно он недопонял, какие у него ошибки: вычислительные или логические
Владислав Воронин ( Пользователь )
(anisol @ 04.03.2008, 23:07) <{POST_SNAPBACK}>
И еще: понятие функции в школе, у нас по крайней мере, вводится после понятия зависимости, когда свойства прямой и обратной пропорциональности уже изучены. И, кстати, те, кто понимает, как заполнить там таблички, понимают, почему так можно задать функцию.

Когда есть ДВА букетика функций -- линейные и обратно-пропорциональные, этого СЛИШКОМ мало. Нет базы для индуктивных обобщений. Для понимания многообразия и закономерностей ОБЩЕГО после рассмотрения достаточного количества ЧАСТНЫХ случаев.Слово "функция" начинает что-то значить, когда их десятки... сотни.
И еще -- что значит "так можно задать функцию". Надо снова же работаь с РАЗНЫМИ способами задания (альтернативные формулы, словесные описания), чтобы понять, что функциональная зависимость -- это НЕ формула обязательно.

... мне нужны примеры. Строить их от руки без объяснений? или показать картинки (с помощью компьютера) и обсудить, где и как будут себя вести графики можно и не давая формул самих линий.

Не понимаю опять ничего. Примеров -- можно найти вагоны. Слово "строить" я по-прежнему не понимаю -- опять табличка, то ли? На чем рисовать -- хоть на доске, хоть на бумаге, хоть на экране, все равно абсолютно. Почему надо "рисовать" без объяснений? -- Гроша ломаного не стоит тогда это рисование и с математикой вообще не сопряжено.
Главное дело -- ОБНАЖАТЬ связь между рисунком-графиком и иным видом описания функции. Что Вы имеете в виду :"не давая формул линий" ? А ЧЕГО это тогда -- линии? К КАКОЙ функциональной зависимости относятся? Пусть не формула, пусть словесное описание или еще какое описание -- но именно СВЯЗЬ между описанием каким-то и описанием визуальным-графическим и является главным предметом для понимания и постижения. В ту или другую сторону.

Равно как и отработать сопоставление формулы дробнорациональной функции с видом ее графика.
Автоматизация заполнения той же таблички и последующее построение от руки по готовым точкам избавит от такой беды, как несовершенство подсчета.

Нет, разговор о чем-то потустороннем. Я Вам кратенько написал -- что интересного в дробно-линейной функции. КАКАЯ ЕЩЕ ТАБЛИЧКА И ЗАЧЕМ? Для осознания вида функции, для создания ЭСКИЗА нужны как максимум две - три точки. Если уж очень хочется. Чего там "автоматизировать"? Зачем это "построение от руки" по точкам? Строить Проводить линию надо "из головы", зная ключевые параметры.
Я и "построение" (прости, Господи) обычной квадратной параболы по этим "точкам" тоже расцениваю, как уход от математики к ОБОЛВАНИВАНИЮ. Вы ж детей портите. Развращаете! Внушаете им необходимость каких-то затверженных ритуалов (табличка нужна всегда!). Многозначительных плясок вокруг пустого места. Антиматематические мнения, что кривые всегда "плавные".
Учить надо мышлению. Содержательному. Многовариантному. По возможности, экономному. Учить игре на большой площадке -- самостоятельной, со своей мыслью, самостоятельным выбором приемов, подходов... Ну, как в спортивных играх -- не заранее же заученный наброр приемов только нужен. А и комбинирование их по своему разумению, решение проблем выбора, придумка своих ходов для данного случая.
Тогда это -- "компетентность". А Ваше использование компьютера, как я понимаю, на такую компетентность НЕ нацелено. Во всяком случае, с серьезнейшими деформациями. Где компетентность реальная переплетена с "компетентностью" в исполнении каких-то дуболомных ритуалов. И идет приучение к ИЖДИВЕНИЮ при всяких железках и при тех "ученых", котрые чего-то там уже все заложили, а твое дело кнопочки шустро нажимать. Мен-та-ли-тет! Поведенческий, психологический стереотип! Жизненные установки. Передоверение своего мышления компьютеру, учителю, дяде, тёте...
В общем, использование компьютера позволяет выявить, где у учащегося проблема, что конкретно он недопонял, какие у него ошибки: вычислительные или логические

Да и это БЕЗ компьютера еще лучше видно. Чтобы узнать -- хорошо ли вычисляет, нужен компьютер? Только что механические тесты на нем тиражировать. А, кстати, вычислительные ошибки, приводящие к НЕЛЕПОСТЯМ подозрительным на графике -- это еще один педагогический момент. Не только "аккуратно" считать, а еще и уметь отловить свою ошибку. Опираясь на "правдоподобность-неправдоподобность" результатов.
Так что лучше -- пусть бы он ошибку свою вычислительную заподозрил, глядя на неестественный график. А не тупой сверкой с компьютером.
Ольга Анисимова ( Пользователь )
(воронн @ 05.03.2008, 10:32) <{POST_SNAPBACK}>
Когда есть ДВА букетика функций -- линейные и обратно-пропорциональные, этого СЛИШКОМ мало. Нет базы для индуктивных обобщений. Для понимания многообразия и закономерностей ОБЩЕГО после рассмотрения достаточного количества ЧАСТНЫХ случаев.Слово "функция" начинает что-то значить, когда их десятки... сотни.
И еще -- что значит "так можно задать функцию". Надо снова же работаь с РАЗНЫМИ способами задания (альтернативные формулы, словесные описания), чтобы понять, что функциональная зависимость -- это НЕ формула обязательно.
Не понимаю опять ничего. Примеров -- можно найти вагоны. Слово "строить" я по-прежнему не понимаю -- опять табличка, то ли? На чем рисовать -- хоть на доске, хоть на бумаге, хоть на экране, все равно абсолютно. Почему надо "рисовать" без объяснений? -- Гроша ломаного не стоит тогда это рисование и с математикой вообще не сопряжено.
Главное дело -- ОБНАЖАТЬ связь между рисунком-графиком и иным видом описания функции. Что Вы имеете в виду :"не давая формул линий" ? А ЧЕГО это тогда -- линии? К КАКОЙ функциональной зависимости относятся? Пусть не формула, пусть словесное описание или еще какое описание -- но именно СВЯЗЬ между описанием каким-то и описанием визуальным-графическим и является главным предметом для понимания и постижения. В ту или другую сторону.

Вот и я о том же. А ведь можно предъявить картинку и по ней определить, является ли линия - графиком функции. Можно дать задание по готовой картинке составить формулу . Можно - кусочно-линйную функцию задать формулами, нарисовать эскиз и посмотреть, можно ли устранить разрывы. А можно и просто предъявить рисунки и обсудить, к какому виду относятся фрагменты эскиза и устранимы ли на нем разрывы.
"Строить" - это точно изображать на координатной плоскости. При чем тут табличка, догадывайтесь сами. И когда она нужна smile.gif Мне лично далеко не всегда... Ту же квадратичную буду строить сдвигом в нужную сторонуsmile.gif по шаблону...
Можно попросить по формуле сделать эскиз графика и построить обратную, а потом - найти формулу обратной зависимости, а можно сначала сделать это аналитически, а потом исследовать расположение графиков.
Главное: отличать функциональную зависимость от нефункциональной. И связь между ИЗВЕСТНЫМИ графиками и формулами.
И еще: функции в практическом применении чаще нужны для экстремальных задач, так тут больше не эскизы нужны, а аналитика поведения: возрастает -убывает, имеет экстремумы - не имеет и взаимное расположение: больше -меньше. Эскизы в принципе помогают, но достаточно часто можно обойтись и без них. Они нужны на стадии понимания и усвоения, как таблица умножения для быстрого счета. Но добиться усвоения этой связи без достаточных знаний свйоств дробей, умения раскладывать формулы на множители, чтобы определить интервалы для исследования и так далее... невозможно.
И еще: я говорю о себе, как об учителе. Для чего это мне. И как облегчает мою работу.
Я нигде не говорила, что не учу учеников строить графики, Я обратила внимание на то, что зачастую до усвоения проходит много времени, а если вычислительные навыки ниже среднего, то процесс еще больше затягивается и усложняется. В то время, как облегчив таким детям технические выкладки можно добиться от них понимания сути всего процесса. Если же заставлять их заниматься непосильным трудом, то и то, что они могли бы понять оказывается отвергнутым...
"Не понимаю опять ничего. Примеров -- можно найти вагоны."- ваши слова. А время? А хранение найденного? И зачем искать, если в режиме реального времени , на глазах у детей я могу показать, как изменяется поведение при смене параметров? Если в случае затруднения они могут сравнить свой вариант с правильным образцом за несколько секунд? Зачем отказываться от таких средств?

footer logo © Образ–Центр, 2019. 12+