Личный кабинет

Хочу посоветоваться и спросить

Владимир Добровольский ( Пользователь )
Я понимаю, что конец года, и предложенная тема катастрофически неактуальна. Но все же. В процессе подготовки к экзаменам, естественно прорешиваешь задачи и нередко наталкиваешься на "сюрпизы", от которых, порой приходишь в недоумение. Например: вопрос задачи, сколько критических точек имеет функция на отрезке. При решении получаем, что среди критических точек есть две, совпадающие с концами отрезка. Возникает естественное желание исключит эти две точки, ведь в определении криических точек говорится о них как о внутренних точках ООФ. В данной задаче заданный отрезок является сужением естественной О.О. Поэтому их надо исключить из решения. Хорошо, а если я прочитаю задачу иначе: Среди критических точек функции найти те, которые принадлежат заданному отрезку. Тогда я, понятно, должен включить их в ответ. Как же быть?
В этой теме мне хотелось бы осуществить обмен мнениями по подобным вопросам, но и обменятся методическим опытом изложения таких, в общем -то тонких вопросов .
Ольга Анисимова ( Пользователь )
(lubomir @ 13.05.2007, 17:15) <{POST_SNAPBACK}>
Я понимаю, что конец года, и предложенная тема катастрофически неактуальна. Но все же. В процессе подготовки к экзаменам, естественно прорешиваешь задачи и нередко наталкиваешься на "сюрпизы", от которых, порой приходишь в недоумение. Например: вопрос задачи, сколько критических точек имеет функция на отрезке. При решении получаем, что среди критических точек есть две, совпадающие с концами отрезка. Возникает естественное желание исключит эти две точки, ведь в определении криических точек говорится о них как о внутренних точках ООФ. В данной задаче заданный отрезок является сужением естественной О.О. Поэтому их надо исключить из решения. Хорошо, а если я прочитаю задачу иначе: Среди критических точек функции найти те, которые принадлежат заданному отрезку. Тогда я, понятно, должен включить их в ответ. Как же быть?
В этой теме мне хотелось бы осуществить обмен мнениями по подобным вопросам, но и обменятся методическим опытом изложения таких, в общем -то тонких вопросов .

Посмотрите здесь:
http://fismat.ru/mat/kurs1/node65.html
Ольга Анисимова ( Пользователь )
(lubomir @ 13.05.2007, 17:15) <{POST_SNAPBACK}>
При решении получаем, что среди критических точек есть две, совпадающие с концами отрезка. Возникает естественное желание исключит эти две точки, ведь в определении криических точек говорится о них как о внутренних точках ООФ.

1. Вообще-то. о критических точках говорят, как о точках, в некоторой окрестности которых...
А кто запрещает, чтобы эта окрестность была "односторонней"?
2. Обычно, задачи бывают на нахождение максимума и минимума на интервале, как правило замкнутоМ. Именно такой интервал и называют отрезком. В этом случае, можно говорить о необходимости рассмотрения концов отрезка не как критических, а как подозрительных на максимум и минимум. Хорошо иллюстрируется картинками, когда в точках локального максимума (минимума) значения меньше (больше) чем на концах отрезка.
3. Я обычно еще подчеркиваю, что критические точки - это и те, где производная не существует.
Владимир Добровольский ( Пользователь )
(anisol @ 13.05.2007, 18:53) <{POST_SNAPBACK}>
1. Вообще-то. о критических точках говорят, как о точках, в некоторой окрестности которых...
А кто запрещает, чтобы эта окрестность была "односторонней"?
2. Обычно, задачи бывают на нахождение максимума и минимума на интервале, как правило замкнутоМ. Именно такой интервал и называют отрезком. В этом случае, можно говорить о необходимости рассмотрения концов отрезка не как критических, а как подозрительных на максимум и минимум. Хорошо иллюстрируется картинками, когда в точках локального максимума (минимума) значения меньше (больше) чем на концах отрезка.
3. Я обычно еще подчеркиваю, что критические точки - это и те, где производная не существует.

В приведенной вами ссылке приведено такое определение критической точки: " Точка называется критической точкой функции , если функция непрерывна в этой точке и производная в ней равна 0 либо , либо не существует. В первом случае (то есть при ) точка называется также стационарной точкой функции ."
Дело в том, что точка х=0 для функции, определенной след. образом у=1/х^2,при х<>0 и у=1 при х=0 является точкой минимума, согласно определению точки экстремума. В точке 0 функция определена, но не дифференцируема. Значит она должна быть критической, но не согласуется с приведенным определением.
2. В курсе математики теоремы о дифференцируемости непрерывных функций рассматриваются на открытом интеравле и, заметьте, точки экстремумов также определяются на двухсторонних окрестностях.
Извините, но в терминологии должна присутствовать четкость. Максимумы и минимумы это экстремумы и на концах отрезка они не определяются. На концах можно найти наибольшее или наименьшее значение функции.
Для функции у=sqr(x) точка х=0 является критической?
Ольга Анисимова ( Пользователь )
(lubomir @ 14.05.2007, 01:13) <{POST_SNAPBACK}>
Дело в том, что точка х=0 для функции, определенной след. образом у=1/х^2,при х<>0 и у=1 при х=0 является точкой минимума, согласно определению точки экстремума. В точке 0 функция определена, но не дифференцируема. Значит она должна быть критической, но не согласуется с приведенным определением.

Что-то не так в записи функции. Эта (у=1/х^2) в 0 не определена.
Владимир Добровольский ( Пользователь )
(anisol @ 14.05.2007, 06:52) <{POST_SNAPBACK}>
Что-то не так в записи функции. Эта (у=1/х^2) в 0 не определена.

Функция задана кусочно: если х<>0, то у=1/х^2,если х=0,то у=1. Х=0 является точкой минимума.
Я работаю с учебником "Алг. и нач. анализа 10-11" под ред. А Колмогорова. В нем критическая точка определяется как внутренняя точка ООФ, в которой производная =0 или не существует. С позиций этого учебника функция у=sqr(x) не имеет критических точек, а функция, скажем у=sqr(4-x^2) имеет одну критическую точку.
Ольга Анисимова ( Пользователь )
(lubomir @ 14.05.2007, 12:27) <{POST_SNAPBACK}>
Функция задана кусочно: если х<>0, то у=1/х^2,если х=0,то у=1. Х=0 является точкой минимума.
Я работаю с учебником "Алг. и нач. анализа 10-11" под ред. А Колмогорова. В нем критическая точка определяется как внутренняя точка ООФ, в которой производная =0 или не существует. С позиций этого учебника функция у=sqr(x) не имеет критических точек, а функция, скажем у=sqr(4-x^2) имеет одну критическую точку.

А мне кажется, что 0 - критическая точка для корня. Так как производная в нем - не существет.
Нет учебника под рукой, но точно ли там есть слова: внутреняя точка ООФ?
Владимир Добровольский ( Пользователь )
[attachment=2024:attachment]
(anisol @ 14.05.2007, 14:50) <{POST_SNAPBACK}>
А мне кажется, что 0 - критическая точка для корня. Так как производная в нем - не существет.
Нет учебника под рукой, но точно ли там есть слова: внутреняя точка ООФ?

Да, точно. Хотя в учебной литературе по высшей матматике "внутренность" не оговаривается.

У меня есть еще ряд вопросов, посмотрите:
Ольга Анисимова ( Пользователь )
(lubomir @ 14.05.2007, 19:02) <{POST_SNAPBACK}>
У меня есть еще ряд вопросов, посмотрите:

В первом проблема в равносильности. Просто если корень равен 0, то знак второго множителя - не важен.
И здесь я бы рассматривала этот случай отдельно.
В случае нестрогих неравенств всегда надо проверять границы. Это одна из "ловушек" ЕГЭ. достаточно часто встречается в тестах.
Ольга Анисимова ( Пользователь )
(lubomir @ 14.05.2007, 19:02) <{POST_SNAPBACK}>
У меня есть еще ряд вопросов, посмотрите:

Насчет второго: проблема в открытости или закрытости интервала?
В разной литературе это немного по-разному, но насколько я знаю, обычно возрастание и убывание рассматривают на открытых интервалах, и т. о которой вы пишите на самом деле содержит строгое неравенство f'(x) >0 и открытый интервал.
Во всяком случае, так в сборнике Барановой, Васильевой, Федотова "Тесты и экзаменационные задания за курс средней школы(ЕГЭ)", стр. 348.
Там же написано, что производная может менять знак в точках, где она равна 0 и где она бесконечна. В этой точке функция недифференцирема, но критической такую точку называют. Согласно этому, 0 - критическая точка для функции корень из х.

footer logo © Образ–Центр, 2018. 12+