Личный кабинет

Единый интегрированный курс математики.

Нужна ли в школе "древнегреческая" геометрия?
Семенов Вадим ( Пользователь )
Школьная математика в настоящее время состоит из алгебры и геометрии, которые между собой практически никак не связаны. Разве только тем обстоятельством, что их ведет один и тот же учитель. Геометрия представляет собой адаптированное изложение отдельных фраментов “Начал” Евклида, которые были написаны в третьем веке до нашей эры. Однако, математика с того времени ушла далеко вперед. Со времен Галилея и Декарта появились новые методы аналитической геометрии, более мощные, легкие, удобные.

“Древнегреческая” геометрия является отмершим разделом математики. Она не применяется на практике, в науке, в инженерии, не находит никакого продолжения в вузе. В вузах предлагают забыть, то чему учили, и начать изучать аналитическую геометрию с нуля. Все эти свойства вписанных, описанных углов и многоугольников, касательных, хорд, секущих, и т.п. остаются в школе.

В былые времена и в университетах преподавали геометрию “по Евклиду”. Однако, необходимость изучения других наук и профессиональных дисциплин волей-неволей заставила отказаться от такой геометрии в пользу аналитической. Школа, увы, во многом является “вещью в себе”. Ей безразлично, найдут ли полученные знания применение на практике или нет.

Не углублясь в дебри наук, возьмем бытовой пример, скажем, изготовление выкроек. Допустим, в инструкции написано: "найдите середину отрезка АВ и от нее отложите..." Что нужно сделать в рамках школьной "древнегреческой" геометрии? Нарисовать этот отрезок на чистом белом листе бумаги, затем циркулем нарисовать две пересекающиеся окружности с центрами в концах отрезка, через точки пересечения окружностей провести бы линию и по месту пересечения этой линии с исходным отрезком найти его середину. Это один из элементарных приемов школьной геометрии для решения задач на построение, "деление отрезка пополам". На самом деле выкройки делают совсем по-другому. С самого начала рисуют выкройку на миллиметровке, вводя тем самым декартову систему коодинат. Когда нужно найти середину отрезка, можно просто сосчитать число клеточек, которые он пересекает по горизонтали либо по вертикали, поделить пополам и от одного из концов отложить это половинное число клеточек. Тем самым школьная "древнегреческая" геометрия отправляется на свалку и берется на вооружение геометрия аналитическая (хоть и очень простая).

Евклид решал проблему устройства пространства, в котором мы живем, через изучение простейших объектов, таких, как точки, линии, окружности и т.д. Объекты эти настолько просты, что их свойства это скорее свойства пространства, в котором они расположены. Таким образом, он изучал свойства пространства не напрямую, а косвенно, через свойства простейших объектов в этом пространстве. Декарт и Галилей в 17-ом веке построили полное и исчерпывающее математичекое описание пространства введением системы координат и метрики, что позволило изучать свойства пространства непосредственно, а не “через объекты”, что радикально упростило решение практических задач.

В "древнегреческой" геометрии можно найти немало элегантной игры ума, красивых задач, но практические задачи общем случае решаются сложнее. Кстати говоря, древние греки пользовались записью чисел, аналогичной хорошо известной нам “римской”. Только символы были другие, из греческого, а не латинского алфавита. Умножение в такой в такой нотации было делом весьма сложным, а деление и вовсе требовало усилий ведущих математиков. (Возможно, ничто в современном мире не смогло бы удивить древнегреческого математика сильнее, чем то, что большинство людей умеют самостоятельно делить произвольные большие числа.) Необходимость выполнять умножение и деление больших чисел наверняка породило немало остроумных приемов (какие мы наблюдаем в школьной геометрии), призванных облегчить эту задачу в различных частных случаях. Но мы же не учим детей в школе разнообразным приемам по выполнению арифметических операций над римскими числами, чтобы в вузе рассказать, что существует более удобная арабская нотация! Аналитическая геометрия дает нам универсальные способы решения геометрических задач подобно тому, как арабская нотация дает универсальные способы выполнения арифметических операций.

Нельзя не заметить, что нынешняя геометрия уже изживается из школы явочным порядком, изучается по остаточному принципу, отдавая приоритет алгебре. Выпускники владеют геометрией крайне плохо. Получается, что сохраняя в школе изложение геометрии в “древнегреческом” стиле мы лишаем школьников знания геометрии вообще. Хотя в нынешнем курсе математики уже есть темы, которые можно отнести к аналитической геометрии (такие, как уравнение прямой и окружности, векторы и операции над ними), но введены они скорее для галочки. Проходят их скороговоркой, без решения хоть сколько-нибудь серьезных задач. Нет задач на эти темы ни в традиционном выпускном, ни в ЕГЭ.

Я считаю, что вместо “древнегреческой” геометрии в школе нужно изучать геометрию аналитическую. Вместо двух несвязанных математических предметов нужен единый интегрированный курс математики, в котором элементы аналитической геометрии излагаются в тесном переплетении с другими разделами математики. Излагаются обстоятельно, а не походя, с решением нормальных задач. Хочу сразу подчеркнуть, что я никоим образом не предлагаю преподавать стандартный вузовский курс аналитической геометрии в школе, лишь только некоторые доступные школьникам темы, подобно тому как в школе изучаются “начала анализа”, а отнюдь не вузовский курс мат.анализа.

Помимо реальной практической применимости, аналитическая геометрия гораздо более тесно связана с остальной математикой. Решение задач аналитической геометрии позволяло бы школьникам дополнительно потренироваться в алгебраических преобразованиях, графиках функций на координатной плоскости, закрепить другие разделы математики. С другой стороны, изучение “алгебраической” составляющей школьной математики будет давать пищу и инструментарий для “геометрической”. (В то время как “древнегреческая” геометрия использует свой собственный язык и инструментарий, в остальной математике по большей части не используемый).

Центральной площадкой, на которой должно разворачиваться изложение школьной математики, ее ядром должна стать координатная плоскость. Фигуры на плоскости, описание поведения элементарных и “составных” функций, графический смысл решений уравнений и неравенств, векторы, смысл тригономерических функции и простейшие тригонометрические тождества, движения и симметрии на плоскости – вот лишь наиболее крупные блоки, которые покрывают большую часть школьной программы по математике.

Предвижу некоторые возражения сторонников изучения геометрии по Евклиду и хочу сразу дать на них ответ.

Возражение 1. Неважно, насколько практически полезно знание школьной геометрии, главное чтобы в школе мозги упражнялись, чтобы развивалось логическое мышление.
Ответ. Это утверждение верно лишь отчасти. Вторая, не менее важная задача школы заключается в подготовке к получению профессионального образования. В противном случае в вузе придется преподавать не вузовский курс, а программу школы. Одно только развитие мышления – непозволительная роскошь. Содержание школьного образования должно удоволетворять обоим этим задачам одновременно. Если бы цель заключалась только в развитии мышления, можно было бы вместо математики ввести, например, уроки игры в преферанс: там ведь тоже немалые логические рассуждения требуются. А интерес школьников к такому предмету будет феноменальным. Или игру в шахматы, если угодно. В конце концов, логическое мышление можно без проблем развивать на любом другом разделе математики, вопрос лишь в сложности предложенных задач. Изучение "древнегреческой" геометрии в школе ничуть не лучше игры в перферанс: мышление развивает, но практически бесполезна, поскольку уже вышла из употребления, для решения реальных задач применяются другие методы.

Возражение 2. “Древнегреческая” геометрия учит школьников проводить строгие доказательства.
Ответ. Строгость доказательств не является исключительной прерогативой “древнегреческой” геометрии. Не менее строги доказательства в любых других разделах математики, нет проблемы излагать любой другой раздел столь же математически строго, если это представляется необходимым. Правда, в необходимости-то как раз есть большие сомнения... (см. след. пункт)

Возражение 3. “Древнегреческая” геометрия позволяет продемонстрировать аксиоматический подход.
Ответ. Аксиоматический подход в школьной геометрии является лишь голословной декларцией. По школьному курсу геометрии проследить вывод из аксиом совершенно невозможно. Это ведь не последовательное, линейное изложение “Начал” Евклида, а скорее пунктир, где между точками зияют огромные дыры. Которые по мере необходимости заменяются “самоочевидностью”. И опять же, исходя из аксиом можно излагать любой другой раздел математики, ту же аналитическую геометрию. Причина, по которой обычно не излагается непрерывная цепочка доказательств от аксиом, заключается в том, что большинство людей являются потребителями математического знания. Построение цепочки доказательство из аксиом – это работа профессиональных ученых-математиков. Остальные “верят им на слово” при необходимости довольствуясь доказательствами не обязательно столь же строгими и отталкивающимися от промежуточных результатов работы математиков.

Возражение 4. “Древнегреческая” геометрия нужна как базис для изучения аналитической геометрии. Как можно давать детям, например, формулу прямой в декартовых координатах, если до этого они до этого прямую “в руках не держали” и не представляют, что это такое?
Ответ. Базовые геометрические понятия проходят в начальных классах. На выходе из младших классов дети вполне представляют, что такое прямая, окружность, квадрат, треугольник и т.д. Я ни коим образом не предлагаю менять преподавание математики в начальных классах. А в средних классах изучение геометрии уже заключается не в освоении базовых понятий. Всевозможные замечательные свойства точек пересечения серединных перпендикуляров, биссектрис и медиан, вписанных, вписанных и описанных углов и многоугольников и т.д. и т.п., которые сейчас составляют содержание геометрии в средней школе в аналитической геометрии совершенно не применяются. Там совершенно иной набор исходных постулатов и иной вывод следствий из них.

Возражение 5. Аналитическая геометрия не наглядна. За алгебраическими выкладками не видно сути решения. Другое дело – рисунок в нынешней геометрии. Сразу понятно, что к чему.
Ответ. Рисунок в аналитической геометрии столь же уместен и необходим, как и в “древнегреческой”. Разумеется, решения задач, доказательства при изложении аналитической геометрии следует сопровождать рисунками (в координатной плоскости). При наличии рисунка ход решения в аналитической геометрии не менее понятен. Однако, нужно заметить, что сам по себе рисунок решением или доказательством не является, ни в “древнегреческой”, ни в аналитической геометрии. Решение – это то, что записывается рядом с рисунком математическими символами. А рисунок лишь поясняет мысль.
Ольга Анисимова ( Пользователь )
Вот уже не один год преподаем математику единым интегрированным курсом.
В том числе и аналитическую геометрию.
Проблем с математикой в вузе меньше не стало от того, что часть вузовской программы спустили в школу.
Как математик, из практического "наглядного" подхода вижу один минус, который перечеркивает все плюсы его "целесообразности" - дети перестают нуждаться в доказательствах, а все принимают на веру.
К сожалению, забота о том, чтобы побольше впихнуть в их головы приводит к тому, что сразу в этой голове и рисуют полочку, куда эти знания надо положить.
И не хватает именно общего видения.
Удаления эвклидовой геометрии - это еще одно сужение горизонта.
В Англии, кстати, до сих пор преподают по Эвклиду, по его "Началам".
Может быть разница в том, что там по первоисточнику, а у нас - по плохим пересказам?
Семенов Вадим ( Пользователь )
(anisol @ 09.08.2006, 19:55) <{POST_SNAPBACK}>
Как математик, из практического "наглядного" подхода вижу один минус, который перечеркивает все плюсы его "целесообразности" - дети перестают нуждаться в доказательствах, а все принимают на веру.

Вы действительно полагаете, что доказательства бывают только в "древнегреческой" геометрии, а в остальной математике все принимается на веру? wink.gif

(anisol @ 09.08.2006, 19:55) <{POST_SNAPBACK}>
К сожалению, забота о том, чтобы побольше впихнуть в их головы приводит к тому, что сразу в этой голове и рисуют полочку, куда эти знания надо положить.

Я не предлагаю впихнуть больше. Как, впрочем, и меньше. Я хочу впихнуть столько же, но более полезного материала.

(anisol @ 09.08.2006, 19:55) <{POST_SNAPBACK}>
Удаления эвклидовой геометрии - это еще одно сужение горизонта.

А разве удаление умения выполнять арифметические операции над римскими цифрами не сужение горизонта? А, скажем, умение добывать огонь трением? Некогда все это было весьма актуально, равно как и "древнегреческая" геометрия. Но осталось в прошлом, нравится это кому-то или нет. Учебное время ограничено. Составляя программу, надо выбирать наиболее полезное, а не разные античные трюки, вышедшие из употребления.
Ольга Анисимова ( Пользователь )
(Семенов В.Д. @ 09.08.2006, 17:50) <{POST_SNAPBACK}>
Вы действительно полагаете, что доказательства бывают только в "древнегреческой" геометрии, а в остальной математике все принимается на веру? wink.gif
Я не предлагаю впихнуть больше. Как, впрочем, и меньше. Я хочу впихнуть столько же, но более полезного материала.
А разве удаление умения выполнять арифметические операции над римскими цифрами не сужение горизонта? А, скажем, умение добывать огонь трением? Некогда все это было весьма актуально, равно как и "древнегреческая" геометрия. Но осталось в прошлом, нравится это кому-то или нет. Учебное время ограничено. Составляя программу, надо выбирать наиболее полезное, а не разные античные трюки, вышедшие из употребления.

Доказательства в Эвклидовой геометрии - нагляднее, чем в других разделах. Если это доказальства. А не перлы из учебников геометрии.
О впихнуть больше: это не от учителя, а от программы зависит. А в школьной математике пока жертвуют ее доказательностью, выхолащивая представление о математике, как о таковой.
Кстати, а почему бы вообще не отменить обучение счету? Большинство ведь потом всю жизнь использует калькулятор? ak.gif Знаете, сколько раз дети мне это предлагали?
Да и тут на ветках педсовета были высказывания о том, что математика людям отдельных профессий вообще не нужна. Может нужен не единый, а специализированные курсы?
Семенов Вадим ( Пользователь )
(anisol @ 09.08.2006, 21:00) <{POST_SNAPBACK}>
Доказательства в Эвклидовой геометрии - нагляднее, чем в других разделах. Если это доказальства. А не перлы из учебников геометрии.

См. ответ на "Возражение 5."
(anisol @ 09.08.2006, 21:00) <{POST_SNAPBACK}>
О впихнуть больше: это не от учителя, а от программы зависит. А в школьной математике пока жертвуют ее доказательностью, выхолащивая представление о математике, как о таковой.
См. ответ на "Возражение 2."
Ольга Анисимова ( Пользователь )
(Семенов В.Д. @ 09.08.2006, 18:11) <{POST_SNAPBACK}>
См. ответ на "Возражение 5."
См. ответ на "Возражение 2."

Ваши возражения - противоставление аналитки и эвлидовской, тогда как аналитика - это продолжение. Лучше (методически) знакомить сначала с понятиями, а потом ужеприменять на практике. Ибо Эвклид используется для доказательства формул. Иначе пришлось бы из формул строить чертежи, а это сложнее, особенно если при этом еще и вводить новые понятия. Я подобного учебника не видела. Попытки были в Погорелове. Меня учили по нему, кстати. В школе. А в вузе: заново, с доказательствами.
Я же вам предложила вопрос: а нужен ли единый курс вообще. Ваши возражения какое отношение к этому имеют?
Сергей Галаган ( Пользователь )
(anisol @ 09.08.2006, 19:40) <{POST_SNAPBACK}>
Я же вам предложила вопрос: а нужен ли единый курс вообще. Ваши возражения какое отношение к этому имеют?


Хорошо бы пригласить В.Федотова, непревзойденнная аргументация запомнилась...
Ольга Анисимова ( Пользователь )
(Galagan Sergei Igorevich @ 09.08.2006, 19:43) <{POST_SNAPBACK}>
Хорошо бы пригласить В.Федотова, непревзойденнная аргументация запомнилась...

http://pedsovet.intergu.ru/RazdelList.aspx...;rand=862644071
для освежения памяти.
Семенов Вадим ( Пользователь )
(anisol @ 09.08.2006, 22:40) <{POST_SNAPBACK}>
Ваши возражения - противоставление аналитки и эвлидовской, тогда как аналитика - это продолжение. Лучше (методически) знакомить сначала с понятиями, а потом ужеприменять на практике.


См. ответ на "Возражение 4. Для полноты картины Вам осталось еще пересказать своими словами возражения 1 и 3 из моего первоначального поста.

(anisol @ 09.08.2006, 22:40) <{POST_SNAPBACK}>
Ибо Эвклид используется для доказательства формул.

Вот это новость! Не будете ли так любезны привести пример того, как "древнегреческая" геометрия используется для доказательств аналитической? wink.gif

(anisol @ 09.08.2006, 22:40) <{POST_SNAPBACK}>
Я же вам предложила вопрос: а нужен ли единый курс вообще.

Да, безусловно. Чем больше связей между отдельными частями школьной программы, тем лучше. Чем больше школьнная программа распадаеся на набор отдельных сведений, друг с другом не связанных и непонятно для чего нужных, тем хуже усвоение, тем меньше интерес.
Ольга Анисимова ( Пользователь )
(Семенов В.Д. @ 09.08.2006, 20:34) <{POST_SNAPBACK}>
Да, безусловно. Чем больше связей между отдельными частями школьной программы, тем лучше. Чем больше школьнная программа распадаеся на набор отдельных сведений, друг с другом не связанных и непонятно для чего нужных, тем хуже усвоение, тем меньше интерес.

Единый - в смысле одинаковый для всех.
А вот свойство доказательности, преемственности, последовательности, логичности - это обязательно для всех курсов. В чем вы видите здесь отличие математики от других предметов? Кстати, а что вы думаете об интеграции с другими предметами? Физика, химия?

footer logo © Образ–Центр, 2018. 12+