Личный кабинет

Применение логики в задачах и примерах.

Константин Лебедев ( Пользователь )
Цитата (воронн, 10.09.2012, 14:39) <{POST_SNAPBACK}>
Истинность импликации Аx (В ТОЧНОСТИ означает справедливость произносимого на обыкновенном-естественном языке утверждения "если P, то Q".

Я не вкладывал точного смысла в свои слова, только обратить внимание, в бытовом смысле мы когда говорим "следует", то интуитивно предполагаем, что из ложной посылки никак истина следовать не может, из ложности только ожидаем лжи. То есть это логическая функция с таблицей истинности
0 0 -1,
0 1 - 0,
1 0 - 0,
1 1 - 1.
Это логическая функция больше отвечает нашему интуитивному пониманию слова "следование"/
Спросить любого человека не математика, может из лжи следовать истина, я уверен, что 100 процентов не математиков ответят, что не может (или скажут что не видят смысла в вопросе).
Например, измерили неправильно скорость и время, а ответ получили верный, так это же какая вероятность малая, практически нулевая, а в теории вероятностей при малой вероятности событие считается недостоверным.
Спросил дочку как думает, может ли из лжи следовать истина, ответ последовал категорический - нет.

Ещё более, если бы я вдруг на Совете по защите хим диссертаций вдруг серьёзно стал бы утверждать что из ложных опытных данных хоть иногда следует истина, ну я думаю, перестали бы меня очень скоро туда приглашать, да и вообще бы сказали Константин Андреевич несколько сильно того.
Валерий Чернухин ( Пользователь )
Пример из геометрии.
Дано. Внутренний луч OC разбивает угол AOB на два угла, величины которых относятся как 2:7 и один угол больше другого на 90 градусов.
Доказать: угол AOB не является развернутым.
Доказательство. Примем в качестве В - угол АОВ - не развернутый.
Пусть ~B
Примем за С - утверждение , что один угол больше другого на 90 градусов.
Получим ~C.
Следовательно B. (При желании могу привести подробное доказательство).

Я применил правило [А->B] эквивалентно [A&~B]->[C&~C]
Оно достаточно очевидное - допустив истинность А и ложность В, получим противоречие - С и его отрицание.
Константин Лебедев ( Пользователь )
Цитата (Валерий Чернухин, 10.09.2012, 15:02) <{POST_SNAPBACK}>
Понятия равенства вообще не бывает. Бывает равенство по определению.

Определения и приводят к понятиям.

Цитата
Это называется законом транзитивности материальной импликации. Весьма очевидное правило.

Название впечатляет, диву подчас даёшься как простым вещам можно найти сногосшибательные эпитеты, тем более, что это классическое Аристотелевское название.
Цитата
Хорошо, давай разберем на примерах.
Все три эквивалентности рассматривают случай, когда условие А - верно, а условие В - неверно.
[А->B] эквивалентно [A&~B]->[C&~C]
Эта эквивалентность означает, что если мы допустим, что высказывание В - ложное одновременно с истинностью А, то из ложности В следует КАКОЕ-ТО противоречие.

Справа ложь всегда, это подгон под закон противоречия который можно так [C&~C]=0
Тогда может просто так
[А->B] эквивалентно [~А&B] эквивалентно [A&~B]->0
Но зачем все эти усложнения?

Наглядная и легкопонятная формула доказательства от противного, зачем ещё что то?
[А->B] эквивалентно [~В->~A]
Валерий Чернухин ( Пользователь )
Цитата (Лебедев Константин Андреевич, 10.09.2012, 21:07) <{POST_SNAPBACK}>
Название впечатляет, диву подчас даёшься как простым вещам можно найти сногосшибательные эпитеты, тем более, что это классическое Аристотелевское название.
Что ж, давайте обмениваться опытом. До сих пор в литературе по матлогике я встречал только такое название. Вполне очевидна транзитвность сравнения чисел (любых частичных, в том числе линейных упорядочений - например упорядочения по свойству "быть предком" или "быть потомком"), включения подмножеств (А - подмножество В, В - подмножество С, следовательно А - подмножество С) и многих других объектов. Импликация, равенство и эквивалентность - не исключение.
А вот упорядочение по вассальной зависимости нетранзитивно - "вассал моего вассала - не мой вассал".
Цитата (Лебедев Константин Андреевич, 10.09.2012, 21:07) <{POST_SNAPBACK}>
Название впечатляет, диву подчас даёшься как простым вещам можно найти сногосшибательные эпитеты, тем более, что это классическое Аристотелевское название.

Вы точно уверены, что существует некое неумолимо "простое название", на которые Вы только намекнули, но так и не сказали? Как называется у Аристотеля? Почему, как Вы думаете, оно (это загадочное название, которое везде игнорируется) не употребляется, а используется просто свойство транзитивности?

Пару слов о школьных названиях. В школе предпочитают русифицированные названия, даже в угоду общепринятости.
Пример - переместительный и сочетательные законы - коммутативность и ассоциативность.
Потом в институте наоборот - школьные названия перестают употребляться, заменяются общепринятыми.

Транзитивность - обычное общепринятое название, такое, как рефлексивность, симметричность и антисимметричность.
Однако я считаю допустимым, если кто-то придумает яркое образное название.
Примеры образных названий, которые мне очень нравятся:
Правила формального вывода - "типографские правила" (логика)
Рекомбинация - перетасовка (биология).
Может и у Вас получится, скажем транзитивность назвать "телескопичность" или как-то еще.

То, что нужно использовать названия основным правилам - это безусловно.

Цитата (Лебедев Константин Андреевич, 10.09.2012, 21:07) <{POST_SNAPBACK}>
Справа ложь всегда, это подгон под закон противоречия который можно так [C&~C]=0
Тогда может просто так
[А->B] эквивалентно [~А&B] эквивалентно [A&~B]->0
Но зачем все эти усложнения?
Чтобы получить О, нужно СНАЧАЛА получить С&~C - именно, что сначала. Где же здесь Вы увидели усложнение? Его здесь просто нет. Хотите Вы этого или нет, но такого рода вариация доказательства от противного очень распространена.
Если смотреть каждое доказательство такого рода по отдельности, оно понятно. Но если увидеть схему этой группы доказательств - возникает ускорение понимания. Никакого усложнения здесь не вижу. Напротив, владение схемой снижает нагрузку на интеллект, переводя часть процесса вывода на автоматизм.

Пример применения правила:
[А->B] эквивалентно [A&~B]->~A

Дано. Четыре точки. Прямая, проходящая через любые две из этих точек, не пересекается с прямой, проходящей через другие две точки.
Доказать: данные четыре точки не лежат в одной плоскости.
Доказательство.
А - "Прямая, проходящая через любые две из этих точек, не пересекается с прямой, проходящей через другие две точки".
В - "Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости".
Пусть ~B - точки А, В, С, D лежат в одной плоскости.
Тогда прямые АВ и CD, АС и BD параллельны, поэтому точки А, В, С, D являются вершинами параллелограмма ABCD. Но тогда диагонали AD и ВС этого параллелограмма должны пересекаться, то есть ~A.
Значит B.

Пример использования правила: [А->B] эквивалентно [A&~B]->B


Требуется доказать, что если М - множество действительных чисел, то оно несчетно.
Доказательство. А - "М - множество действительных чисел". В - "Множество несчетно".
Предположим ~B. Тогда B (получаем известным диагональным методом Кантора). Что и требовалось доказать.

К такого рода логическим схемам привыкаешь очень быстро - легче улавливаешь даказательсво. Одно дело, когда доказательство простое, короткое. Эффект сказывается, когда доказательство удлиняется. В этом случае роль автоматизма применения логического правила возрастает.
Константин Лебедев ( Пользователь )
Цитата (Валерий Чернухин, 11.09.2012, 04:56) <{POST_SNAPBACK}>
Что ж, давайте обмениваться опытом. До сих пор в литературе по матлогике я встречал только такое название.

Да ради бога, это я просто про ассоциировал, какие только не встретишь: ультрафиолетовая катастрофа, инфляционная теория вселенной, принцип космической цензуры и т.д. можно посмотреть проблемы современного естествознания. Кстати математическая логика или философия изолированно не могут решать эти проблемы. Эти проблемы решаются усилиями поколений исследователей с привлечением многих, если не всех естественнонаучных знаний человечества .

Цитата
Вы точно уверены, что существует некое неумолимо "простое название", на которые Вы только намекнули, но так и не сказали? Как называется у Аристотеля? Почему, как Вы думаете, оно (это загадочное название, которое везде игнорируется) не употребляется, а используется просто свойство транзитивности?

Да я где то встречал, правило силлогизма или гипотетического силлогизма, но я никакого большого значения ни придавал этому, так просто ассоциация какая то возникла.

Цитата
Пример применения правила:
[А->B] эквивалентно [A&~B]->~A

Дано. Четыре точки. Прямая, проходящая через любые две из этих точек, не пересекается с прямой, проходящей через другие две точки. Доказать: данные четыре точки не лежат в одной плоскости.
Доказательство.
Пусть
А - "Прямая, проходящая через любые две из этих точек, не пересекается с прямой, проходящей через другие две точки".
В - "Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости".

Предположим противное, тому, что надо доказать:
Пусть ~B - точки А, В, С, D лежат в одной плоскости.
Тогда прямые АВ и CD, АС и BD параллельны, поэтому точки А, В, С, D являются вершинами параллелограмма ABCD. Но тогда диагонали AD и ВС этого параллелограмма должны пересекаться, то есть ~A .
Значит B .


Приведённое решение отвечает правилу:
[А->B] эквивалентно [ ~B]->[~A]
зачем нужна конъюнкция с А и где она тут в задаче ?
Владислав Воронин ( Пользователь )
Цитата (Лебедев Константин Андреевич, 11.09.2012, 00:07) <{POST_SNAPBACK}>
[А->B] эквивалентно [~А&B]


Ой!
Однако, сильно перепутали (опечатались?). Надо вместо второго: [~A V B].


Цитата (Лебедев Константин Андреевич, 10.09.2012, 20:21) <{POST_SNAPBACK}>
Это логическая функция больше отвечает нашему интуитивному пониманию слова "следование"

Ну и глупо.
А простаки вообще нередко "интуитивно" полагают какую-нибудь чушь. Кторая по каким-то внешним признаком кажется им "правдоподобной".
Скажем, на вопрос "что легче -- килограмм железа или килограмм пуха?" -- интуитивно ответят..... знаете что?

Здесь же -- если ПОДУМАТЬ, а что же следует из лжи? То есть а ЧТО следует, если A-->B и при этом А ложно?
А НИЧЕГО не следует. В имеет право оказаться как истинным, так и ложным.
Например, если четырехугольник НЕ РОМБ, то его диагонали могут БЫТЬ перпендикулярны, а могут НЕ БЫТЬ. То есть из "неромба" следует всё, что угодно.

Цитата
а в теории вероятностей при малой вероятности событие считается недостоверным.

Константин, умоляю......
Не пишите слов, со значениями которых плохо знакомы.
Ничего подобного в терминологии теорвера нет.


Цитата
Спросил дочку как думает, может ли из лжи следовать истина, ответ последовал категорический - нет.

А теперь про килограмм пуха спросите.
Владимир Суходоев ( Пользователь )
Цитата (Лебедев Константин Андреевич, 10.09.2012, 17:21) <{POST_SNAPBACK}>
Я не вкладывал точного смысла в свои слова, только обратить внимание, в бытовом смысле мы когда говорим "следует", то интуитивно предполагаем, что из ложной посылки никак истина следовать не может, из ложности только ожидаем лжи. То есть это логическая функция с таблицей истинности
0 0 -1,
0 1 - 0,
1 0 - 0,
1 1 - 1.
Это логическая функция больше отвечает нашему интуитивному пониманию слова "следование"/
Спросить любого человека не математика, может из лжи следовать истина, я уверен, что 100 процентов не математиков ответят, что не может (или скажут что не видят смысла в вопросе).
Например, измерили неправильно скорость и время, а ответ получили верный, так это же какая вероятность малая, практически нулевая, а в теории вероятностей при малой вероятности событие считается недостоверным.
Спросил дочку как думает, может ли из лжи следовать истина, ответ последовал категорический - нет.

Ещё более, если бы я вдруг на Совете по защите хим диссертаций вдруг серьёзно стал бы утверждать что из ложных опытных данных хоть иногда следует истина, ну я думаю, перестали бы меня очень скоро туда приглашать, да и вообще бы сказали Константин Андреевич несколько сильно того.
Пока очередная истина не открыта, она не из чего следовать не может (в рамках логики). Любое открытие связано именно с рождением истины. Следовательно, только из незнания может следовать истина. В рамках логики незнание имеет логическое значение "Ложь"? Также как и формирование понятий, невыводимых понятий происходит вне формальной логики,
знание рождается из незнания до логично, сверх логично, диалектически, переходом к "бесконечному" пределу обобщений всех незнаний о предмете.
В обыденной жизни очень часто используется метод преподнесения неверных посылок, из которых якобы делается правильный (проверенный по другим логическим цепям) вывод. И на основании предъявленной "логики" подсовывается обратный вывод о правомерности посылок.
Операция импликации выражает, что из ложных посылок иногда можно угадать не логично, но интуитивно или просто вспомнить, правильный вывод.
Константин Лебедев ( Пользователь )
Цитата (воронн, 12.09.2012, 10:54) <{POST_SNAPBACK}>
Ой!
Однако, сильно перепутали (опечатались?). Надо вместо второго: [~A V B].

Конечно дизъюнкция.

Цитата
Ну и глупо.
А простаки вообще нередко "интуитивно" полагают какую-нибудь чушь. Которая по каким-то внешним признаком кажется им "правдоподобной".Скажем, на вопрос "что легче -- килограмм железа или килограмм пуха?" -- интуитивно ответят..... знаете что?Здесь же -- если ПОДУМАТЬ, а что же следует из лжи? То есть а ЧТО следует, если A-->B и при этом А ложно?А НИЧЕГО не следует. В имеет право оказаться как истинным, так и ложным.Например, если четырехугольник НЕ РОМБ, то его диагонали могут БЫТЬ перпендикулярны, а могут НЕ БЫТЬ. То есть из "неромба" следует всё, что угодно.

Да я согласен Владислав, что ты говоришь, это мышление математика, но не химиков и даже физики так не будут говорить.
Я с химиками и физиками много общаюсь. У них впереди эксперимент. Что бы какое то знание родилось новое и было правильно нужна куча правильных, истинных условий: правильно продумать постановку эксперимента, потом ещё правильно это задуманное осуществить, потом намерять год - три , потом правильную интерпретацию дать, перейти к теории , правильные абстракции осуществить, потом все это ещё правильно уравнения решить, потом правильно объяснить и на каждом шаге можно ко всему придраться и если действительно где то неправильно, т.е. ложно, то и все выводы сразу ставятся под сомнение. Кандидатская советом приниматься к защите не будет. До защиты дело не дойдёт даже. Поэтому только из правды, истины по их меркам может следовать истина. Из лжи ничего кроме лжи не получиться.
Только такое мышление допустимо для кто не математик.
Это понятно и так сложно, итак подчас трудно доказать истину, и если бы кто то стал говорить, что из лжи следует хоть иногда истина, тогда и вообще разобрать ничего нельзя будет. Об этом и заикаться нельзя. Попробуй, да тебя на смех поднимут.
Да дело даже и не в этом, а в том, что надо доказать, что получена истина, а если она случайно угадана из неверных посылок, так это не может служить основанием её принять как достижение. Совершенно очевидно.

А вот если сказать с оговорками, что в математике есть понятие импликации, которая есть логическая функция .. и т.д. и её смысл ограничен математической логикой и к вашей деятельности, в частности к вашему химическому термину "следования" имеет только опосредствованное отношение (а осторожнее сказать никакого отношения, дабы не навлечь на себя праведного негодования), то пожалуй поймут и снисходительно скажут, что вы там поосторожнее с этими функциями, они вас до добра не доведут.
Поэтому понимание "следования" в науке это не то что "следования" или яснее, чтоб отмежеваться "импликация" в матлогике.

Цитата
Константин, умоляю......Не пишите слов, со значениями которых плохо знакомы.
Ничего подобного в терминологии теорвера нет.

Спокойствие Владислав только спокойствие, это довольно общий и известный принцип.
Доказать легко, например известный учебник Гмурман "Теория вероятностей и математическая статистика" Высшая школа 1997 г. на стр. 35. параграф "Принцип практической невозможности маловероятных событий".
С малой вероятностью событие можно считать невозможным.
Владислав Воронин ( Пользователь )
Цитата (Лебедев Константин Андреевич, 12.09.2012, 22:12) <{POST_SNAPBACK}>
на стр. 35. параграф "Принцип практической невозможности маловероятных событий".
С малой вероятностью событие можно считать невозможным.
И в других курсах можно найти, это довольно общий и известный принцип.

Константин, Вы употребили именно термин "недостоверное".
А вот ЭТОТ термин означает совсем другое. И у Гмурмана нет такого понимания, что это означает "маловероятное".
"Достоверное" -- то событие, вероятность котрого равна 1. А "Недостоверное" -- это с вероятностью, отличной от 1.
Вам всё равно -- какой термин когда Вы используете?
Константин Лебедев ( Пользователь )
Цитата (воронн, 12.09.2012, 20:21) <{POST_SNAPBACK}>
Константин, Вы употребили именно термин "недостоверное".
А вот ЭТОТ термин означает совсем другое. И у Гмурмана нет такого понимания, что это означает "маловероятное".
"Достоверное" -- то событие, вероятность котрого равна 1. А "Недостоверное" -- это с вероятностью, отличной от 1.Вам всё равно -- какой термин когда Вы используете?


А ты о термине я подумал, о принципе. Да действительно это я неаккуратно. Но смысл то всей моей писанины вроде говорит в каком я смысле пишу, там же написал "вероятность практически нулевая", в этом смысле и трактую понимание, никаких других отношений не касаюсь, но в целом я согласен, надо читать внимательнее, что пишешь.

А вот насчёт "маловероятное" , этот термин Гмурман употребляет, даже в заголовке параграфа использует, и на стр. 35 растолковывает и на целую страницу рассуждений приводит, как он это понимает . Мы можем согласиться или не согласиться, но если не согласимся, то тогда надо свои основательные доводы привести.

footer logo © Образ–Центр, 2019. 12+