Личный кабинет

Применение логики в задачах и примерах.

Валерий Чернухин ( Пользователь )
Цитата (Лебедев Константин Андреевич, 08.09.2012, 16:59) <{POST_SNAPBACK}>
Ах[х(x>10)&(x<10)]->(х - простое)] тут вот так надо наверно Ах[х&(x>10)&(x<10)]->(х - простое)]

Так нельзя, потому что х - это индивид (число, множество, группа и т.д.) Про индивиды бессмысленно говорить, что они истинны или ложны - как следствие бессмысленно их связывать логическими связками.
Другими словами, такое выражение запрещено правилами построения высказываний (в формальных системах правила построения формулируются явно. Но чаще они подразумеваются, как и логические правила).

Итак, правила построения запрещают связывать индивидные переменные или константы логическими связками.

Логические связки могут быть применимы только к таким выражениям, про которые мы можем сказать, что это -высказывания (истинные или ложные). Например, (х принадлежит y) - здесь к переменным (или константам) применяется предикат (двухместный) и потому про данное выражение мы можем сказать, что после подстановки каких-то значений переменных мы получим высказывание.
А просто х - не может быть высказыванием.

Вот если бы мы использовали применение какого-то предиката к х - тогда другое дело (х - простое; х - положительное и т.д.).

Цитата (Лебедев Константин Андреевич, 08.09.2012, 16:59) <{POST_SNAPBACK}>
Нет не любое целое, а любое простое, хотя не видно что проку в таких высказываниях.
Эти высказывания применими к самым разным универсумам рассуждений (классам объектов, которые мы рассматриваем в качестве множества значений переменной х). К множеству простых чисел ТОЖЕ. Но НИЧТО НЕ ЗАПРЕЩАЕТ расширить этот класс до множества натуральных чисел. От этого истинность высказывания не пострадает.
Напротив, скорее уместней рассматривать более естественные классы - множества натуральных чисел, и даже в множестве комплексных чисел (если в нем определить простое число как натуральное, не имеющее натуральных делителей, кроме 1 и себя самого).

P.S. Как видите, для рассуждений удается пока использовать ограниченный круг терминов: индивиды, индивидные переменные, универсум рассуждений (множество значений индивидных переменных и констант), логические связки, есть еще логические операторы, частным случаем которых являются кванторы.

Уместно в связи с этим процитировать Льюиса Кэролла, которые тоже вводил терминологию для детей 7-12 лет:
"Эти девять слов - суждение, признак, термин суждения, субъект, предикат, частное и общее суждение - окажутся необычайно полезными, если кому-нибудь из ваших приятелей придет в голову поинтересоваться, не приходилось ли вам когда-нибудь изучать логику. Не забудьте употребить в своем ответе все девять слов, и ваш приятель удалится совершенно потрясенным "став не только мудрее, но и печальнее".
Константин Лебедев ( Пользователь )
Цитата (Валерий Чернухин, 08.09.2012, 17:07) <{POST_SNAPBACK}>
Так нельзя, потому что х - это индивид (число, множество, группа и т.д.) Про индивиды бессмысленно говорить, что они истинны или ложны - как следствие бессмысленно их связывать логическими связками.


Тогда зачем оно там стоит два раза Ах[х(x>10)&(x<10)]->(х - простое)] тогда так просто
Ах[(x>10)&(x<10)]->(х - простое)] и все понятно.

Цитата
Эти высказывания применими к самым разным универсумам рассуждений (классам объектов, которые мы рассматриваем в качестве множества значений переменной х). К множеству простых чисел ТОЖЕ. Но НИЧТО НЕ ЗАПРЕЩАЕТ расширить этот класс до множества натуральных чисел. От этого истинность высказывания не пострадает.

Я конечно техники этой не до конца понимаю. Импликация всегда будет верна если суждение "х-простое" верно, а если вместо х подставим любое натуральное, то уже не будет верно. А комплексное вообще нельзя, так как в самом начале договорились что только натуральные рассматриваем.
Валерий Чернухин ( Пользователь )
Цитата (Лебедев Константин Андреевич, 08.09.2012, 21:03) <{POST_SNAPBACK}>
Тогда зачем оно там стоит два раза Ах[х(x>10)&(x<10)]->(х - простое)] тогда так просто
Ах[(x>10)&(x<10)]->(х - простое)] и все понятно.

Вы меня подловили - это я неаккуратно написал - не проверил.

Цитата (Лебедев Константин Андреевич, 08.09.2012, 21:03) <{POST_SNAPBACK}>
Я конечно техники этой не до конца понимаю. Импликация всегда будет верна если суждение "х-простое" верно, а если вместо х подставим любое натуральное, то уже не будет верно. А комплексное вообще нельзя, так как в самом начале договорились что только натуральные рассматриваем.

А давайте вместе проверим.
Итак, пусть универсум рассуждений - множество комплексных чисел.
Формула Ах[(x>10)&(x<10)]->(х - простое)] всего лишь навсего означает, что для любого х, бОльшего (для комплексных конечно по модулю) 10 и одновременно меньшего 10, х - всегда число, которое не имеет натуральных делителей без остатка, отличных от х и от 1.
Как видите, по поводу этого высказывания сомнений нет никаких - оно и правда выполняется для всех комплексных чисел.
Возьмем, к примеру, мнимую единицу i.
Утверждение, что i по модулю одновременно больше 10 и меньше 10 - ложное. Значит, утверждение, что из "i по модулю одновременно больше 10 и меньше 10" следует "i- простое" - истинное. (Из лжи следует все, что угодно).
Это утверждение ведь не говорит о том, что i не имеет натуральных делителей отличных от него и 1. Оно говорит от том, что из некоторого ЛОЖНОГО суждения следует другое суждение (неважно, ложное или истинное).
Константин Лебедев ( Пользователь )
Цитата (Валерий Чернухин, 09.09.2012, 04:42) <{POST_SNAPBACK}>
Возьмем, к примеру, мнимую единицу i.
Оно говорит от том, что из некоторого ЛОЖНОГО суждения следует другое суждение (неважно, ложное или истинное).

Ну понятно, это так, с точки зрения техники, но как школьникам то объяснить полезность такой формализации.
Я могу только в пределах основ, годных для школы говорить.

Импликация это то, что в школах повсеместно с 1 класса применяется.
Например уже бы на первых уроках можно бы решать задачи так.
Если на первой полке 2 книги, а на второй 3 книги, то на двух полках будет 2+3=5 книг
Если S, то Р.

Первое суждение S уже конъюнкция двух истинных суждений S = S1 и S2.
Как пояснить детям, пусть там не 1 классе, а в 3 или 4?

Если S - истинно и правильно складываем, то Р - истинно.
Если S - истинно и неправильно складываем, то Р - ложно.
Если S - ложно и правильно складываем, то Р - ложно.
Если S - ложно и неправильно складываем, то Р - ложно, а может истина (случайно угадали).

Вывод какой?
Если высказываете импликация истинна, из истины следует истина или из лжи следует ложь или из лжи следует истина.
И чего они тут должны вынести на всю жизнь? Наверно для них это будет абракадабра.
Ольга Анисимова ( Пользователь )
Цитата (Лебедев Константин Андреевич, 09.09.2012, 10:01) <{POST_SNAPBACK}>
Вывод какой?
Если высказываете импликация истинна, из истины следует истина или из лжи следует ложь или из лжи следует истина.
И чего они тут должны вынести на всю жизнь? Наверно для них это будет абракадабра.

вывод простой и очень важный: из истины при правильном рассуждении получается истина, а из лжи - что угодно.

Нельзя строить общие выводы на ложных (или частично верных посылках). Это должно быть известно каждому. Может тогда и не будут верить фразам "Все вокруг - козлы" или " Все люди братья".
Владислав Воронин ( Пользователь )
Цитата (Валерий Чернухин, 09.09.2012, 07:42) <{POST_SNAPBACK}>
Утверждение, что i по модулю одновременно больше 10 и меньше 10 - ложное.

Простите, КАКАЯ формула обсуждается?
Ибо в приведённой (обсуждаемой) формуле
Ах[(x>10)&(x<10)]->(х - простое)]
знака модуля НЕТ. А поэтому утверждения "i<10" или "i>10" не истинны и не ложны, а НЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ (на множестве комплексных чисел не определено отношение порядка).
Если Вы подразумевали тут "икс по модулю...." -- так исправьте запись: "(|x|>10)&(|x|<10)..."
Извините за занудство.
Валерий Чернухин ( Пользователь )
Цитата (воронн, 09.09.2012, 17:23) <{POST_SNAPBACK}>
Простите, КАКАЯ формула обсуждается?
Ибо в приведённой (обсуждаемой) формуле
Ах[(x>10)&(x<10)]->(х - простое)]
знака модуля НЕТ. А поэтому утверждения "i<10" или "i>10" не истинны и не ложны, а НЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ (на множестве комплексных чисел не определено отношение порядка).
Если Вы подразумевали тут "икс по модулю...." -- так исправьте запись: "(|x|>10)&(|x|<10)..."
Извините за занудство.

Верно, я не написал знак модуля, потому что поленился, думая, что и так поймут, поскольку контекст разъяснен (то есть приписал двухместным предикатам < и > необщепринятое значение - "больше по модули и меньше по модулю". Но Ваше замечание уместно в том смысле, что эти обозначения необщепринятые. и мне стОило или написать знаки модуля (как это написали Вы), или же ввести другие знаки для обозначения предикатов "больше по модулю", "меньше по модулю", ну, скажем < и >, но другим цветом или же просто ввести двухместный предикат больше по модулю (х,у) и меньше по модулю (х,у). Учту.
Занудство в данном случае - вещь полезнейшая. Спасибо.

Цитата (Лебедев Константин Андреевич, 09.09.2012, 11:01) <{POST_SNAPBACK}>
И чего они тут должны вынести на всю жизнь? Наверно для них это будет абракадабра.

На всю жизнь?

Позвольте сформулировать то, что можно назвать умным словом компетенции, связанные с логикой.

Уметь ветвить условия - этой способностью обладают уже дети в пятилетнем возрасте. Именно в этом русле решается огромное количество логических задач - от простейших для маленьких детей, до взрослых.
Навыком ветвления условий люди владеют в разной степени - одни уже в школе хорошо схватывают, другие - и, будучи взрослыми стопорятся.

Моей дочери в 8 лет легче даются задачи на ветвление условий, нежели на составление уравнений.
Уметь избегать необоснованных выводов, что сплошь и рядом.
Умение слышать и воспринимать только то, что говориться.
"Сколько месяцев в году имеют 28 дней?"
"Конь находится на привязи. Длина привязи от его шеи до другого конца - 9 м. Скирда сена удалена на 12 м. Тем не менее конь способен лакомиться сеном, хотя веревка не рвется и не растягивается. Как такое возможно?"
"В компании друзей, одному пришло в голову предложить им спор:
- Ребята, я сейчас поставлю бутылку посреди комнаты и вползу в нее.
И ему это удалось... он выиграл.
Как он это сделал?
"

Умение точно воспринимать определения.
Особенно интересен ньюанс в восприятии равенства. Понятие равенства чего-то - это просто предмет договоренности.
Если же думать, что есть "абсолютное равенство", то нетрудно прийти к ошибкам.
Пример.
"Полупустой стакан - это тоже самое, что наполовину наполненный. Тогда пустая и наполненная половина равны, следовательно стакан одновременно пустой и полный".

Если для развития логических способностей, которые можно было бы применить в математике и естественных науках, то - уметь производить простейшие операции с классами - сводить высказывания вида "Все А есть В", "Ни одно А не есть В" и т.д. к операциям с классами. Примечательно, что тождества, связанные с операциями с классами (объединение, дополнение и т.д), часто легко сводятся к логическим эквивалентностям исчисления высказываний. Есть задачи трививальные, а есть - сложные. И здесь интересна быть может аналогия. Некоторые геометрические задачи удобно сводить к рутинной алгебре.
А некоторые задачи с классами (множествами) - к алгебре логики.
Попробуйте, для примера, в лоб, доказать ассоциативность симметрической разности. Но можно рутинно - сведя к эквивалентному суждению алгебры высказываний.

Если осваивать школьную геометрию и алгебру - уметь проводить простейшие операции с логическими связками: контрапозицию (особенно важно при изучении прямых и обратных теорем, часто для доказательства "Из А следует В" сначала доказывают "Из отрицания В следует отрицание А", и осознание эквивалентности этих утверждений - отнюдь нетрививальная задача. Отрицание конъюнкции и дизъюнкции.
В связи с развитием навыка применения логических связок, уместно вспомнить, что большинство школьных теорем - это так называемые теоремы-импликации - их общая формулировка "Если А, то В" (Если у двух треугольников сторона и два прилежащих к ней угла равны, то треугольники равны).
Здесь уместно СРАЗУ ЖЕ понять основные способы доказательств теорем такого вида:

1) С помощью цепочки импликаций. Для доказательства истинности импликации A->B достаточно установить истинности импликаций A->B1, B1-B2,…, Bn->B.
2) С помощью закона контрапозиции - эквивалентности A->B и B->A.
При использовании закона контрапозиции доказывают сначала утверждение B->A, если доказательство его проще. Т.е. предполагают, что следствие в теореме неверно и получают отрицание к условию теоремы.
3) Доказательство от противного. Доказательство теоремы A->B от противного основано на одной из следующих равносильностей:
[А->B] эквивалентно [A&~B]->~A
[А->B] эквивалентно [A&~B]->B
[А->B] эквивалентно [A&~B]->[C&~C]

Таким образом, происходит осознание логической структуры доказательств, что конечно важно не только для доказательства утверждений уровня школьной геометрии.


Старшие классы - начальные навыки оперирования с кванторами - очень хорошим пособием являются как задачи по алгебре, так и по анализу. А также великолепный тренажер - матиндукция (о ней и близкой теме - наследственные свойства - позднее) - понимание базы индукции и шага индукци. Индукция по двум и бОльшему количеству параметров. Навыком контрапозиции индукции легко овладеть, если знать основные операции с кванторами. Подумайте, что такое контрапозиция индукции, сможете ответить?
Фактически индукцию уже нужно вводить не в 10-11 классах, а раньше - в 7 классе, на уроках геометрии.
Например, задача доказательства о сумме углов многоугольника решается именно индукцией.
Базис индукции - сумма углов треугольника - 180 градусов.
Близко к матиндукции стоят задачи на наследственное свойство.

Это - навскидку. Без претензий на окончательность.Как видите, я ответил достаточно конкретно, ну а про операции с кванторами конкретика будет чуть позднее.
Константин Лебедев ( Пользователь )
Цитата (Анисимова Ольга Владимировна, 09.09.2012, 16:15) <{POST_SNAPBACK}>
вывод простой и очень важный: из истины при правильном рассуждении получается истина, а из лжи - что угодно.

Более подробно, при правильных рассуждениях:
1.из истины - истина
2.из лжи - ложь,
Импликация считается в случаях 1 и 2 истинной.

Но другие возможности отвечают неправильным рассуждениям
3.из лжи - истину
4.из истины - ложь.
Но импликация считается в 3 случае истинной, а в 4 ложной

Но вопрос, а почему не считать и в 3 случае ложной?
Как показать, что именно так надо.
Конечно понятно, что для двух аргументов всего 16 логических функций может быть, и среди них есть та о которой я говорю, но почему, предпочитаем импликацию? Как бы на простом примере продемонстрировать.
Видно, что общепринятое понятие "следует" , отличается от логической функции "импликация".
Если использовать логическую функцию, у которой и в 3 случае ложь, то будем иметь её тождественность с обычным пониманием "следует".
Когда говорим "следует", то подразумеваем правильные рассуждения, правильные действия, а "импликация" не предполагает.

Цитата (Валерий Чернухин, 09.09.2012, 18:28) <{POST_SNAPBACK}>
Позвольте сформулировать то, что можно назвать умным словом компетенции, связанные с логикой.
Уметь ветвить условия
Уметь избегать необоснованных выводов, что сплошь и рядом.
Умение точно воспринимать определения.
Особенно интересен нюанс в восприятии равенства.

В школе то не акцентируют внимания, и правильно делают, на этом понятии. Понятие равенства очень сложный вопрос по большому счёту, связанный с разбиением на классы,отношениями, отображениями, эквивалентностью, аксиомами.

Цитата
В связи с развитием навыка применения логических связок, уместно вспомнить, что большинство школьных теорем - это так называемые теоремы-импликации - их общая формулировка "Если А, то В"
Здесь уместно СРАЗУ ЖЕ понять основные способы доказательств теорем такого вида:

1) С помощью цепочки импликаций. Для доказательства истинности импликации A->B достаточно установить истинности импликаций
A->B1, B1->B2 ,…, Bn->B.


(A->B1, B1->B ) -> ( A -> B)
отмечу, называется правилом силлогизма.

Цитата
2) С помощью закона контрапозиции - эквивалентности A->B и B->A.
При использовании закона контрапозиции доказывают сначала утверждение B->A, если доказательство его проще. Т.е. предполагают, что следствие в теореме неверно и получают отрицание к условию теоремы.

3) Доказательство от противного. Доказательство теоремы A->B от противного основано на одной из следующих равносильностей:
[А->B] эквивалентно [A&~B]->~A
[А->B] эквивалентно [A&~B]->~B
[А->B] эквивалентно [A&~B]->[C&~C]

Таким образом, происходит осознание логической структуры доказательств, что конечно важно не только для доказательства утверждений уровня школьной геометрии.


Методом контрапозиции обычно называют утверждения:
Для доказательства прямой теоремы достаточно доказать обратно-противоположную,
[А->B] эквивалентно [~В->~А], что совпадает с с методом от противного
а для доказательства обратной достаточно доказать противоположную.
[В->А] эквивалентно [~А->~В]
Первая твоя запись верно эквивалентна первой моей.
А вот вторая и особенно третья откуда там С появилось и зачем эти усложнения с коньюкциями?
Владислав Воронин ( Пользователь )
Цитата (Лебедев Константин Андреевич, 10.09.2012, 15:43) <{POST_SNAPBACK}>
Видно, что общепринятое понятие "следует" , отличается от логической функции "импликация".

Ой!
Ничем тут не отличается.
ОБЪЯСНЯЮ.
Истинность импликации Аx (В ТОЧНОСТИ означает справедливость произносимого на обыкновенном-естественном языке утверждения "если P, то Q".
А теперь внимание. Если такое утверждение спрведливо, ЕСТЬ ЛИ тут заявление -- а ЧТО, если P неверно? Никак нет. Если P неверно, то про истинность Q не заявлется НИЧЕГО. То есть, Q может быть как истинным, так и ложным.
(Напр., "если 4-угольник ромб, то диагонали перпендикулярны". Говорится ли тут, что произойдёт, коли 4-угольник НЕ ромб? Нет, в "не-ромбе" диагонали могут как быть перпендикулярными, так и не быть).
Итак, истинность импликации "если... то..." сохраняется, если Р ложно -- а Q принимет любое значение "истина-ложь".

Цитата
Когда говорим "следует", то подразумеваем правильные рассуждения, правильные действия, а "импликация" не предполагает.

Ну, и где в приведенном примере "неправильные" действия?
Валерий Чернухин ( Пользователь )
Если снег черный, то снег белый.
Это высказывание будет истинным, если снег белый.

Цитата (Лебедев Константин Андреевич, 10.09.2012, 12:43) <{POST_SNAPBACK}>
В школе то не акцентируют внимания, и правильно делают, на этом понятии. Понятие равенства очень сложный вопрос по большому счёту, связанный с разбиением на классы,отношениями, отображениями, эквивалентностью, аксиомами.

В школе, как и в вузе, просто ОПРЕДЕЛЯЮТ равенство - фигур (можно совместить), множеств и т.д.

Цитата (Лебедев Константин Андреевич, 10.09.2012, 12:43) <{POST_SNAPBACK}>
. Понятие равенства очень сложный вопрос по большому счёту, связанный с разбиением на классы,отношениями, отображениями, эквивалентностью, аксиомами.
Понятия равенства вообще не бывает. Бывает равенство по определению. Равенство, как предикат может быть включено в язык логики предикатов с очевидной аксиоматикой для него (симметричность, рефлексивность, транзитивность).

Цитата (Лебедев Константин Андреевич, 10.09.2012, 12:43) <{POST_SNAPBACK}>
(A->B1, B1->B ) -> ( A -> B)
отмечу, называется правилом силлогизма.

Это называется законом транзитивности материальной импликации. Весьма очевидное правило.

Цитата (Лебедев Константин Андреевич, 10.09.2012, 12:43) <{POST_SNAPBACK}>
А вот вторая и особенно третья откуда там С появилось и зачем эти усложнения с коньюкциями?
Хорошо, давай разберем на примерах.
Все три эквивалентности рассматривают случай, когда условие А - верно, а условие В - неверно.
[А->B] эквивалентно [A&~B]->[C&~C]
Эта эквивалентность означает, что если мы допустим, что высказывание В - ложное одновременно с истинностью А, то из ложности В следует КАКОЕ-ТО противоречие.

footer logo © Образ–Центр, 2019. 12+