Личный кабинет

Применение логики в задачах и примерах.

Валерий Чернухин ( Пользователь )
Цитата (Виталий Лебедев, 07.09.2012, 09:54) <{POST_SNAPBACK}>
Правильно ли я понял, что Вы не видите разницы между:
С = Некоторые люди - европейцы. Европейцы имеют три ноги.
и
С = А * В = Некоторые люди - европейцы * Европейцы имеют три ноги?
Да, именно так. В полном соответствии с общепринятой точкой зрения.

Цитата (Виталий Лебедев, 07.09.2012, 09:54) <{POST_SNAPBACK}>
Итак, в качестве понятий я использую следующие:
Утверждение (логическое утверждение или утверждение в логике) — текстовая или символьная конструкция, образованная путем логических операций над высказываниями.
Логическое высказывание (или высказывание) — это некое предложение (мысль), которое может (переформулированное в виде вопроса) быть истинным или ложным (и никаким другим) и не может быть «разбито» (представленное) в виде логических операций на другими высказываниями или утверждениями. Иногда, такие высказывания называют элементарными логическими высказываниями, а утверждения — составными логическими высказываниями.
Теперь стало понятно. Просто Вы использовали необщепринятую терминологию, а согласитесь, что не всегда бывает легко интерпретировать то, что подразумевается.
Позвольте прояснить Ваше высказывание. Я его понял. Под утверждением Вы понимаете так называемое неэлементарное, то есть обязательно содержащее какие-то логические связки: "Неверно, что...", "Из А следует Б", "А и Б" и т.д.
Элементарные - "x является элементом множества y". То есть обычно - некий предикат, или константа (переменная) просто обозначающая истину или ложь. Понял. Принимаю.

Цитата (Виталий Лебедев, 07.09.2012, 09:54) <{POST_SNAPBACK}>
Базис (какой-либо конкретной логики, например, женской :-) — набор логических высказываний. В гуманитарной сфере к определению следует добавить «позволяющих (с помощью логических операций) составить непротиворечивую картину мира конкретного субъекта или группы субъектов». Базис неформальной логики — набор логических высказываний и логических операций (которые могут отличаться от операций формальной логики).
Интересная терминология. Попытаюсь её переинтерпретировать на общепринятом языке. Это просто принятые исходные предикаты. Из них можно, например, составлять и более сложные предикаты.
Пример, из математики. Двуместный предикат принадлежности элемента множеству. "х принадлежит множеству у". Примеры из повседневной жизни "х любит у" - двуместный предикат.
"x - вкусный" - одноместный предикат". "x находится между e и b" - трехместный предикат. И т.д. Есть же простая общепринятая терминология, к чему изобретать свою?
Кстати о терминологии. Вы наверно заметили на примере оперирования с классической логикой, что я - не сторонник употребления сложной терминологии там, где этого можно избежать. Поэтому ограничиваюсь минимумом общепринятых понятий, ничего не изобретая: логическая связка, квантор, атомарное высказывание, n-местный предикат. А вот обозначения для разнообразных логических правил считаю очень полезными, так как эти обозначения облегчают ссылание на конкретные правила.

Цитата (Виталий Лебедев, 07.09.2012, 09:54) <{POST_SNAPBACK}>
В тестах на логику (в строгом, а не бытовом смысле этого слова) базис (или задача) обязаны быть дана через высказывания, а не утверждения (или через высказывания и утверждения), так как из-за лингвистических особенностей утверждения (без высказываний) могут интерпретироваться по-разному.
Слишком революционная идея в построении тестов на логику. Вряд ли кто-нибудь её воспримет всерьез. В тестах на логику очень часто используются логические связки а исходные предикаты очень легко вылавливаются (как уже обещал, в ближайшем будущем напишу про это подробнее). Ваша аргументация на неоднозначность здесь не проходит. В миллионах задач на эту тему этой неопределенности легко избегают. Об этом, кстати уже писал, приводя пример корректной "бытовой" задачи и отсылая к известным книгам на эту тему.

Цитата (Виталий Лебедев, 07.09.2012, 09:54) <{POST_SNAPBACK}>
Именно поэтому, когда я писал, что «высказывание «Некоторые люди - европейцы. Европейцы имеют три ноги.» эквивалентно логическому высказыванию «Некоторые люди — европейцы, которые имеют три ноги.» но не эквивалентно конъюнкции двух логических высказываний «Некоторые люди — европейцы.» и «Европейцы имеют три ноги.».», так как высказывание не может быть «делимым», не элементарным. Попробуйте представить утверждение «Некоторые люди - европейцы. Европейцы имеют три ноги.» в виде неделимого, элементарного высказывания и (может быть :-) ) все встанет на свои места.
Фраза "именно поэтому" ссылается как бы на нечто конкретное, но я не увидел объяснения Вашей логической ошибки.
1. Если Вы не согласны с моим объяснением в предыдущем посту, то пожалуйста, рассмотрите моё высказыание, и объясните, в каком именно месте оно неверно. И я соглашусь с Вами. Я очень легко признаю ошибки. Особенно логические. Только сначала найдите их.
Цитата: "так как высказывание не может быть «делимым», не элементарным" - да, высказывание в Вашем странном необщепринатом присваивании значении этому слову не может быть делимым ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ. Верно. Как не может положительное число быть меньше нуля - тоже, знаете ли ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ. Но какое отношение это определение имеет к вопросу в тесте? Там приведен перечень из двух высказываний.
Цитата (Виталий Лебедев, 07.09.2012, 09:54) <{POST_SNAPBACK}>
Попробуйте представить утверждение «Некоторые люди - европейцы. Европейцы имеют три ноги.» в виде неделимого, элементарного высказывания и (может быть :-) ) все встанет на свои места.
В переводе на нормальный язык - попробуйте представить его в виде исходного предиката. В виде составного предиката легко, в виде исходного, без использования связки - нет.
И это НЕ ОЗНАЧАЕТ, что система неэквивалентна коньюнкции этих высказываний. Никак не следует из цитируемых выше рассуждений.

Первое резюме - Вы выдвинули очень странную, фактически маргинальную (до такого еще вроде никто не додумывался - я уверен, что Вы нигде не найдете такого требования - опровергните меня контрпримером, пожалуйста), идею о недопустимости в тестах на логику, неиспользования составных высказываний, составленных из элементарных.
Это так же странно и неуместно, как запрещать в тестах на арифметику совместно использовать сложение и умножение. Странно - это мягко сказано.


Цитата (Виталий Лебедев, 07.09.2012, 09:54) <{POST_SNAPBACK}>
Я, если честно, не знаю, где Вы нашли это правило… Может быть Вы имели в виду, что А, Б, В и W являются выражениями, а не высказываниями (то, есть, формулами), а А, Б и В — есть совокупность, то есть, множество формул?
(Хотя, конечно, (даже если А, Б и В и высказывания) если A→W, Б→W и В→W, то A*B*Б→W :-), только к рассматриваемому случаю это отношения не имеет, так как из того, что «Некоторые люди — европейцы» вовсе не следует, что «Люди с двумя ногами не являются европейцами» :-) )
И про «наоборот»: я всю жизнь считал, то «влечет» и «следует» не синонимы :-)

Могу однозначно сказать, что в этом пункте Вы кардинально ошибаетесь. Без вариантов.
Незнание - не порок. А желание узнать - добродетель. Фактически я сейчас больше занимаюсь фетишем, нежели аргументацией. Но что поделать, люди чаще верят в фетиши. А поэтому и процитирую, опять же для фетиша. Хотя это есть ПОЧТИ ВО ВСЕХ УЧЕБНИКАХ ПО ЛОГИКЕ.
Правило вывода из исчисления высказываний. Взято из учебника НГУ Ершова, Палютина "Математическая логика"
А,В ->C
------------
А@B->C

Там же, а так же ВО ВСЕХ ОСТАЛЬНЫХ учебниках по матлогике есть ОЧЕВИДНАЯ теорема дедукции, которую конечно же доказывют, не смотря на очевидность. Из неё следует, что
А@B->C
------------
А,В ->C

Я привёл данное рассуждение скорее для фетиша. Меня больше поразило Ваше отрицание столь очевидной вещи, даже больше, чем Ваша "революционная" идея относительно тестов на логику.

Подумайте над этим. Если Вам и правда интересно. Для шапочного знакомства хороша глубокая книга Непейвода "Практическая логика" - хороша тем, что можно читать практически из любого места. Для серьезного - великолепнейшим и строгим языком написанная книга Булоса и Джеффри "Вычислимость и логика" (у меня на изучение этой книги ушел год).

Цитата (Виталий Лебедев, 07.09.2012, 09:54) <{POST_SNAPBACK}>
А можно узнать, почему мнение Н. Вавилова должно быть авторитетным в этом вопросе? И кто такой этот Н. Вавилов, познакомьте, пожалуйста!
На всякий случай: я не поддаюсь на такой психологический прием, как ссылка на авторитеты, более того, считаю его некорректным, используемым в случае отсутствия реальной аргументации у оппонента.
Гм. Все ясно.
Это - профессор математики, написавший несколько учебников для будущих профессионалов-математиков. Лично для меня ценен тем, что вычистил у меня немало мусора и предрассудков в голове, которые сплошь и рядом встречаются не только в популярной литературе, но и в учебниках по математике.

Цитата (Виталий Лебедев, 07.09.2012, 09:54) <{POST_SNAPBACK}>
реальной аргументации у оппонента.

Да, согласен. Жду реальной аргументации. Удачи.

Цитата (Виталий Лебедев, 07.09.2012, 09:54) <{POST_SNAPBACK}>
У понятия «логика» есть несколько значений (именно поэтому возможны такое понятия как «женская логика», «обывательская логика», «учительская логика»), то, о чем Вы постоянно говорите называется формальной логикой.
В современности все большую популярность получают вероятностные методы, поэтому в настоящем под логикой понимают не просто формальную логику, но и умение составлять непротиворечивые конструкции и делать непротиворечивые выводы из имеющихся данных в условиях некоторой неопределенности и составители тестов (сознательно или нет) этому следуют (иногда корректно, иногда, нет).
Верно, у большинства широко применяемых понятий есть многозначность. Тема многозначности понятия "логика" не раз уже возникала в данной ветке форума.
Я избегаю употребления термина "формальная логика", хотя бы потому, что знаю, что это такое. Она подразумевает использование типографских правил для логического вывода. И не стал бы называть так. По той же причине, по которой я не стал бы назвать изложение школьной геометрии аксиоматическим.
Фактически - полуформальная и полуаксиоматическая (второй теормин общеупотребителен).
Это означает, что я использую общепринятую интерпретацию логических правил логики предикатов (последняя излагается как формальная и подразумевается, что такого рода высказывания мы сможем при желании формализовать).
К примеру, математик в логическом выводе ввиду необычайной громоздкости почти никогда не использует рутину формального вывода, а всегда - некие сокращения, обозначения, которые ПРЕДПОЛАГАЮТ, при желании детальную формализацию. Это и есть полуформальный вывод.
Именно в этом плане и подразумевается использование большинства тестов на логику. А не иначе. Факт.

Цитата (Виталий Лебедев, 07.09.2012, 09:54) <{POST_SNAPBACK}>
А слово «который» я упомянул, чтобы показать эту разницу между ним и словом «некоторый». …И привел пример, употребления местоимения «некоторый» в значении «какой-то или (∪) никакого».

Впервые слышу о том, что между ними может быть какое-то странное сходство. Ну ладно, раз Вы увидели. Не понял правда, в чем.
Вообще-то "некотрый" - это кванторизация высказывания, при котором параметр удаляется, а "который" никак не может быть квантором (это при всём при том, что "Пусть х, объект, который..." - будет случаем кванторизации). Странно.

Цитата (Виталий Лебедев, 07.09.2012, 09:54) <{POST_SNAPBACK}>
Не надо излагать, покажите примеры Вашего использования этой теории в реальной практике
Легко. Только при этом я не вижу смысла игры в термин "нечеткие множества". Моделирование гистограмм функциями распределения - регрессионный анализ. Для меня - рутина, поскольку много лет занимался ферментативной кинетикой.
Использование же новой терминологии - это скорее фетиш. Мне он неинтересен.
Кстати увлечение классической логикой тоже считаю фетишем - она легко укладывается в необычайно более широкий общий случай логики предикатов. И смысла в заучивании модусов силлогизма тоже не вижу (лет двадцать назад сдуру заучил - а зачем - так и не понял).
Виталий Лебедев ( Пользователь )
Цитата (Валерий Чернухин, 07.09.2012, 11:04) <{POST_SNAPBACK}>
Моделирование гистограмм функциями распределения - регрессионный анализ.

Какое отношение моделирование гистограмм имеет к нечеткой логике и к регрессионному анализу (или тире нельзя считать эквивалентностью в данном случае :-))? Можно увидеть графики промежуточных расчетов из которых видно, что функция имеет минимум два примерно одинаковых максимума (демонстрирующих необходимость в нечеткой логике)?


Цитата (Валерий Чернухин, 07.09.2012, 11:04) <{POST_SNAPBACK}>
Могу однозначно сказать, что в этом пункте Вы кардинально ошибаетесь. Без вариантов.

И в чем же, позвольте узнать? :-)
Валерий Чернухин ( Пользователь )
Цитата (Виталий Лебедев, 07.09.2012, 18:03) <{POST_SNAPBACK}>
Какое отношение моделирование гистограмм имеет к нечеткой логике и к регрессионному анализу (или тире нельзя считать эквивалентностью в данном случае :-))? Можно увидеть графики промежуточных расчетов из которых видно, что функция имеет минимум два примерно одинаковых максимума (демонстрирующих необходимость в нечеткой логике)

Т.н. функция принадлежности к "нечеткому множеству" - это по сути то же самое, что функция распределения (подобно вероятности ее значение варьирует от 0 до 1) У Вас есть возражения по этому поводу? Или у Вас какое-то особое видение? Нечетким множеством здесь будет здесь будет множество экспериментально полученных значений. Красиво звучит, не правда ли?

Конечно никто не мешает Вам вводить такие названия, как "нечеткий интервал", "нечеткое число" и т.д. Все это ВЫРАЖАЕТСЯ на языке ТВ, не более того. Если Вам нравится называть одно и тоже же другими вещами - что ж, ничего в этом плохого нет. Иногда новые названия дают какие-то новые идеи. Я - сторонник ярких выражений. И здесь тоже употребляю их - например, вместо "формальные правила логики" пишу "типографские правила" - мне нравится этот фетиш, введенный Хофштадтером, поскольку он подчеркивает суть логического вывода.

"Нельзя быть математиком, не будучи в то же время и поэтом в душе"
Карл Вейерштрасс.

Возвращаюсь к нечетким множествам Это - другая тема, она мне не особо интересна, не хотелось бы отвлекаться именно в этой ветке.

Цитата (Виталий Лебедев, 07.09.2012, 18:03) <{POST_SNAPBACK}>
И в чем же, позвольте узнать? :-)

Я написал в чем:
1. «высказывание «Некоторые люди - европейцы. Европейцы имеют три ноги.» эквивалентно логическому высказыванию «Некоторые люди — европейцы, которые имеют три ноги.»
2. "но не эквивалентно конъюнкции двух логических высказываний «Некоторые люди — европейцы.» и «Европейцы имеют три ноги.»"

Цитата: "Я, если честно, не знаю, где Вы нашли это правило…" Попробуйте разобраться, что непонятно. А вот если Вы меня ткнете носом в ошибки - я пожму Вам руку. Ошибка - это ступень к совершенству. Просто делать революционные заявления не всегда продуктивно.Это я отношу и к себе. Спасибо за неравнодушие, буду рад Вашим комментариям.

В продолжение разговора о точности высказываний. Точность высказываний - это вопрос опыта. Чем опытней человек, тем изощреннее его точность.
Вот пример.
В начале ХХ века Рихард (пишу на немецкий манер) Дедекинд раскрыл некий календарь и прочел там:
"Рихард Дедекинд. Умер в Брауншвейге 4 сентября 1899 года". Увидев это, Дедекинд написал издателю:
"Глубокоуважаемый коллега! Позвольте обратить Ваше внимание на то, что в дате моей смерти, неверен по крайней мере год".
Красиво ответил, не правда ли? Опыт математика не позволил ему сделать необоснованное обобщение. А строгость и занимательность - две вещи очень совместные.
Константин Лебедев ( Пользователь )
Цитата (Валерий Чернухин, 06.09.2012, 10:25) <{POST_SNAPBACK}>
Охотно объясню. Потому что слово "некоторый" означает, что объект существует хотя бы один. Слово же "все" допускает, что объектов может не быть. Например, фраза "Все натуральные числа, которые больше 10 и одновременно меньше 10 являются простыми" является истинным высказыванием!Еще раз подчеркиваю. И это не смотря на то, что из истинности (Аx)W следует (Ех)W.


Если из истинности (Аx)W следует (Ех)W, то получается
"Все натуральные числа, которые больше 10 и одновременно меньше 10 являются простыми" это ложное высказывание или истинное? Раз пустое множество то можно приписать любую истинность?
следует "существуют натуральные которые меньше и больше 10 одновременно и являются простыми",
тогда и это истинное или ложное, в зависимости от первого?
Тут мне кажется надо очень осторожно при формализации с бытового смысла.
10 задач на которые ссылки, вообще то меня позабавили. Если строго не придираться к тонкостям формализации при переводе на язык мат логики и они имели конечно ввиду умение обращаться с наглядными кругами, непустыми, то вполне нормальные задачи, но если тестируемый ни одной то не решал подобных, конечно поставит в топик своей дикими суждениями о привычных предметах.
Валерий Чернухин ( Пользователь )
Цитата (Лебедев Константин Андреевич, 08.09.2012, 09:13) <{POST_SNAPBACK}>
Если из истинности (Аx)W следует (Ех)W, то получается
"Все натуральные числа, которые больше 10 и одновременно меньше 10 являются простыми" это ложное высказывание или истинное?

Высказывание в кавычках - истинное. А формула (Аx)W следует (Ех)W - это моя сознательная провокация, она не имеет отношения к данному выводу. А ведь многие путают.

Цитата (Лебедев Константин Андреевич, 08.09.2012, 09:13) <{POST_SNAPBACK}>
Раз пустое множество то можно приписать любую истинность?
Для элементов пустого множества можно приписать любые свойства (значит, и их отрицания).

Цитата (Лебедев Константин Андреевич, 08.09.2012, 09:13) <{POST_SNAPBACK}>
Тут мне кажется надо очень осторожно при формализации с бытового смысла.
Соверешнно верно. Однако есть определенные правила такого перевода и предлагаю их рассмотреть конкретно.

Прежде, чем мы сформулируем одно ключевое правило для такого перевода, давайте просто сравним два высказывания:
1. Некоторые вкусные булочки полезны
2. (Любые) Вкусные булочки - полезны.
Если Вы попытаетесь перевести эти высказывания на язык логики предикатов, то сразу же обнаружите УДИВИТЕЛЬНОЕ РАЗЛИЧИЕ в способах перевода.
Введем три обозначения.
Пусть Бул(х) - свойство "быть булочкой"
Пол(х) - свойство "быть полезным"
Вкус(х) - свойство "быть вкусным".

Ех[Бул(х)&Вкус(х)&Пол(х)] (1)
Неопытный человек подумает, что ко второму утверждению нужно применить сходный подход. А вот и нет.
Второе утверждение нельзя переводить так:
Ах[Бул(х)&Вкус(х)&Пол(х)] (2)
Допустим, в качестве универсума рассуждений мы рассматриваем любую пищу. Туда входят булочки, конфеты и другие интересные объекты.
Тогда выражение (2) скажет нам не только о булочках, но и о другой еде, что не одно и тоже, когда мы говорим ТОЛЬКО о булочках.
Оно переведется несколько иным способом:
Ах[[Бул(х)&Вкус(х)]->Пол(х)]

Итак, формулируем одно важное правило перевода высказываний с естественного языка на язык логики предикатов:
Квантор всеобщности сочетается с импликацией, а квантор существования — с конъюнкцией.
Или, более подробно
1.Все A есть В переводится Ах[А(х)->В(х)]
2. Некоторые A есть B переводится Ех[A(x)&B(x)]

Здесь, кстати видно, хорошо, что из того факта, что "Все А есть В" НЕ СЛЕДУЕТ, что "Все В есть А".
Но из факта "Некоторые А есть В" СЛЕДУЕТ, что "Некоторые В есть А".

Если пренебрегать этим правилом, то легко ошибиться, как это было в случае софизма, о котором писал ранее.
Есть истинное утверждение
(Аx)W следует (Ех)W.
Пусть (Аx)W - высказывание - любое число из пустого множества одновременно больше и меньше нуля".
Если посмотреть на это правило, то может возникнуть ложное впечатление, что из него следует истинность высказывания "СУЩЕСТВУЕТ число бОльшее и меньшее нуля".

Конечно же нельзя правила перевода на язык логики предикатов всегда использовать в лоб. Бывают множество лингвистических ньюанстов, когда человек ПОДРАЗУМЕВАЕТ нечто иное, что заключенов в кванторах.
Например, если политик с подвешенным языком скажет, что "некоторые депутаты - пройдохи и шельмецы", то она наверняка негласно будет при этом подразумевать, что "некоторые - да, но некоторые - нет". Математик же, привыкший к бОльшей определенности языка, будет избегать такого рода подразумевания.
Ольга Анисимова ( Пользователь )
Цитата (Валерий Чернухин, 05.09.2012, 14:44) <{POST_SNAPBACK}>
Возвращаясь к нашей задаче из теста, мы решим её быстро:
Цветы - это зеленые звери означает, что класс цветов является подклассом класса зеленых зверей
Цветы пьют водку означает, что класс цветов является подклассом класса пьющих водку


Однако математик заметит, что к примеру класс цветов может быть и пустой, и данные утверждения не противоречат этой возможности.

математик заметит: а) в первом утверждении нет конкретии. Там может быть: все цветы - это или некоторые цветы - это...

Что касается возможной пустоты множества цветов, то по-моему в традиционной оговаривается, что множества пустые для выводов не рассматриваются. Ибо если множество цветов пусто, первый силлогизм - ложь, а из лжи следует что угодно...
Валерий Чернухин ( Пользователь )
Цитата (Анисимова Ольга Владимировна, 08.09.2012, 12:53) <{POST_SNAPBACK}>
Что касается возможной пустоты множества цветов, то по-моему в традиционной оговаривается, что множества пустые для выводов не рассматриваются. Ибо если множество цветов пусто, первый силлогизм - ложь, а из лжи следует что угодно...

Стоп-стоп-стоп.
1. Силлогизм - это все-таки умозаключение, а не высказывание. (Точное определение - вид дедуктивного умозаключения, две посылки и заключение которого имеют одну и ту же субъектно-предикатную структуру). Поэтому не говорят, что силлогизм ложный. Про умозаключения разве что говорят, что оно правильное (тогда оно и есть умозаключение) или ошибочное (тогда это - никакое не умозаключение). А вот высказывания - да, бывают истинными или ложными.

2. Понимание смысла высказывания основано не некой договоренности. Если Вы ДОГОВОРИЛИСЬ изначально, что множество цветов обязательно непусто, то Вы не имеете права предполагать, что оно непусто. Почему же тогда первое высказывание о цветах ложь?
Если же множество все-таки пустое, то и тогда первое высказывание ТОЖЕ не ложное.


Аристотель не давал права на существование пустого множества. Однако для современного языка в тестах необходимо оговаривать ситуацию. Иначе она становится слишком размытой. Современное общеупотребительное значение квантора "для всех" как раз допускает пустоту множества, в которое входит кванторная переменная.

Цитата (Анисимова Ольга Владимировна, 08.09.2012, 12:53) <{POST_SNAPBACK}>
математик заметит: а) в первом утверждении нет конкретии. Там может быть: все цветы - это или некоторые цветы - это...

А вот с этим позвольте категорически не согласиться, ибо традиция точных высказываний как раз подразумевают эту определенность. В тестах на логику подобно математике мы обязаны высказываться точно.

Об этом уже подробно писал.

Цитата (Валерий Чернухин, 06.09.2012, 03:38) <{POST_SNAPBACK}>
Да, именно так. Я автоматом добавил квантор всеобщности, поскольку это является общепринятой практикой. Фактически такого рода общепринятая практика "как бы вырабатывается" ещё в школе.
Примеры из школьной практики довольно многочисленны:
1. "В равнобедренном треугольнике углы при основании равны" означает "В ЛЮБОМ равнобедренном треугольнике углы при основании равны".
2. "Медиана в равнобедренном треугольнике является основанием и высотой" означает. "В ЛЮБОМ равнобедренном треугольнике медиана является основанием и является высотой".
3. "sin2x=2sinx cosx" означает, что "Для ЛЮБОГО х (sin2x=2sinx cosx)" и т.д.
Именно поэтому в любой серьезной литературе, посвященной, например, или знакомству с логикой, или просто преподаванию математики (например, в книгах Ф.Клайна "Элементарная математика с точки зрения высшей" и Фройденталя "Математика как педагогическая задача") внятно указывается о наличии ПОДРАЗУМЕВАЕМЫХ СКРЫТЫХ кванторов и важности навыка уметь их находить.
Наконец, в математической логике существует так называемое правило обобщения:
"Из утверждения А следует утверждение "Для любого х А".
Таким образом, если в каком-то высказывании мы не обнаруживаем какого-то квантора для переменной, то мы можем считать, что из истинности этого выражения следует истинность этого выражения для любого значения переменной.



А переменной в первом высказывании являлось слово "цветы" - именно поэтому мы ИМЕЕМ ПРАВО считать, что это высказывание верно для всех цветов.


Чуть позднее, я напишу очень краткий словарик по логике, не внося в него ничего лишнего (на мой взгляд). Дело конечно не заучивании слов, но он может оказаться полезным, так как, к примеру, даже то, что такое квантор, понимают даже не все учителя математики.
Константин Лебедев ( Пользователь )
Цитата (Валерий Чернухин, 08.09.2012, 10:38) <{POST_SNAPBACK}>
Высказывание в кавычках - истинное.

т.е. всегда в АхW и в ЕхW суждение W истинно. Переменная x принадлежит некоторому множеству M.
Получается что в первом М может быть пустым, а во втором не может.
Валерий Чернухин ( Пользователь )
Цитата (Лебедев Константин Андреевич, 08.09.2012, 15:42) <{POST_SNAPBACK}>
т.е. всегда в АхW и в ЕхW суждение W истинно. Переменная x принадлежит некоторому множеству M.
Получается что в первом М может быть пустым, а во втором не может.
Совершенно верно. Еще подробнее так.
"Все натуральные числа, которые больше 10 и одновременно меньше 10 являются простыми" - Ах[х(x>10)&(x<10)]->(х - простое)] - помните правило для квантора всеобщности? Нужно использовать импликацию. Но из него НЕ СЛЕДУЕТ существования этого х, то есть, что Eх[х(x>10)&(x<10)&(x - простое)].
Из этой формулы следует лишь Eх[(x>10)&(x<10)]->(х - простое)].Для последнего х и правда СУЩЕСТВУЕТ - это любой элемент универсума рассуждений - то есть любое целое (натуральное) число.
Константин Лебедев ( Пользователь )
Цитата (Валерий Чернухин, 08.09.2012, 15:52) <{POST_SNAPBACK}>
Совершенно верно. Еще подробнее так.
"Все натуральные числа, которые больше 10 и одновременно меньше 10 являются простыми"

Ах[х(x>10)&(x<10)]->(х - простое)] тут вот так надо наверно Ах[х&(x>10)&(x<10)]->(х - простое)]

Цитата
Но из него НЕ СЛЕДУЕТ существования этого х, то есть, что
Eх[х&(x>10)&(x<10)&(x - простое)] -ложно.
Из этой формулы следует лишь
Eх[х&(x>10)&(x<10)]->(х - простое)] - истина для простых чисел.

Для последнего х и правда СУЩЕСТВУЕТ - это любой элемент универсума рассуждений - то есть любое целое (натуральное) число.

Нет не любое целое, а любое простое, хотя не видно что проку в таких высказываниях.

footer logo © Образ–Центр, 2019. 12+