Личный кабинет

Позадаем конкретные вопросы

Есть в некоторых учебных пособиях сомнительные моменты.
Валерий Чернухин ( Пользователь )
Пора отвлечься от жарких философских диспутов и вернуться на конкретную математику (это не призыв, а просто ощущение).

Итак, у меня один вопрос. Архиинтересный, как мне кажется. Поскольку он затрагивает в том числе большинство вузовских учебников по анализу.

Есть интересная книга Николая Вавилова "Не совсем наивная теория множеств" (как бы курс лекций).
Более, чем интересная.
есть там один момент, который меня особо заинтересовал.
"Доказательство было простым, коротким, но неверным." (А. Лебег).
"В этом параграфе мы разберем одну типичную ошибку, которую почти неизбежно совершают все математики-неспециалисты. Лично мне не известно ни одного учебника математического анализа, в котором бы не делалась эта ошибка.
Теорема 1. Всякое бесконечное множество имеет счетное подмножество.

Доказательство. Пусть а1 - какой-нибудь элемент бесконечного множества А. а2 - элемент бесконечного множества А/{а1}.
а3 - элемент бесконечного множества А/{а1,а2}... И т.д.
Попарно различные элементы a1, a2, a3, a4, ... составляют счетное подмножество. Что и требовалось доказать.

Убедительно? Казалось бы где в таком коротком и кристально ясном доказательстве можно совершить ошибку? Тем не менее, это рассуждение безусловно неполно в одном существенном пункте, и получающийся результат, вообще говоря, неверен.
2. Опровержение. Можно, пожалуй, согласиться с тем, что если эта совокупность элементов составляет множество, то это множество - счетное...........".

Хотелось бы просто узнать мнение по этому поводу.
Владислав Воронин ( Пользователь )
Цитата (Валерий Чернухин, 28.08.2012, 10:28) <{POST_SNAPBACK}>
2. Опровержение. Можно, пожалуй, согласиться с тем, что если эта совокупность элементов составляет множество, то это множество - счетное...........".

Хотелось бы просто узнать мнение по этому поводу.

В каком смысле это является опровержением?
Дело в том, как я понимаю, что ОПРЕДЕЛЕНИЯ "что есть множество" -- нет. И оттого проверять "... если эта совокупность ЯВЛЯЕТСЯ множеством..." -- а на основании ЧЕГО проверять?
По сути, в приведённом "доказательстве" не оговариваясь используют аксиому выбора. То есть, начиная матанализ ДАЖЕ со студентами-математиками НЕ ЛЕЗУТ, как правило, в самые глубины и тонкости. И ограничиваются неким "интеллектуально очевидным" начальным уровнем -- вот и подразумеваемая здесь аксиома выбора имеется в виду как нечто неоговариваемо-очевидное.
Вот в такой степени -- это "доказательство" является доказательством.
Так мне каажтся.
Валерий Чернухин ( Пользователь )
Цитата (воронн, 28.08.2012, 14:28) <{POST_SNAPBACK}>
Дело в том, как я понимаю, что ОПРЕДЕЛЕНИЯ "что есть множество" -- нет.

Говорить, что множество - неопределяемое понятие - это сильное заблуждение, к сожалению проникшее даже в учебники по математике. Кратко и по существу - понятие множества определяется своими аксиомами, как, к примеру, понятие группы определяется аксиомами теории групп (обычно именно так).
Если Вы откроете книгу Вавилова, то обратите внимание, что в ней просто выпячивается то, что он называет мифами:
"Знакомство с аксиоматикой нужно для того, чтобы развеять кочующие из учебника в учебники мифы вековой давности ("парадоксы теории множеств", "неопределяемые понятия", "единственность прямого произведения", "особый статус аксиомы выбора" и т.д.). Стр. 29.

Равно, кстати, как и необоснованность использования понятия "множества учеников в данном классе".

Цитата (воронн, 28.08.2012, 14:28) <{POST_SNAPBACK}>
То есть, начиная матанализ ДАЖЕ со студентами-математиками НЕ ЛЕЗУТ, как правило, в самые глубины и тонкости. И ограничиваются неким "интеллектуально очевидным" начальным уровнем -- вот и подразумеваемая здесь аксиома выбора имеется в виду как нечто неоговариваемо-очевидное.
Вроде как аксиома выбора изучается даже продвинутыми школьниками (ухожу в сторону от темы).

То, что здесь неявно используется аксиома Выбора или её более слабый вариант - несомненно. Но все не так просто. Из нее следует, что может любое конечное подмножевство, и только. Переход к бесконечности, здесь по мнению Вавилова, не обоснован.

Цитата (воронн, 28.08.2012, 14:28) <{POST_SNAPBACK}>
То есть, начиная матанализ ДАЖЕ со студентами-математиками НЕ ЛЕЗУТ, как правило, в самые глубины и тонкости. И ограничиваются неким "интеллектуально очевидным" начальным уровнем

Конечно же я признаю допустимость пусть даже ошибочного такого рода обоснования для начинающих. Здесь Ваше замечание верно.
Интересен сам факт ошибки, равно как и такого рода утверждение легко заменяется для более обтекаемое, которое просто можно перестать называть доказательством, что более уместно.

К примеру, нам, простым студентам-биологам, давали при ознакомлении с ТМ в матанализе намек на аксиому Гротендика (существование универсального множества), что просто спасало от противоречий способ построения множества просто как класса объектов, удовлетворяющих какому-то свойству. Принципиальных противоречий не могло возникнуть, так как в этом случае любые множества подразумевались уже подмножеством универсального множества, который иначе мог бы обнаружить даже въедливый биолог.
Владислав Воронин ( Пользователь )
Цитата (Валерий Чернухин, 28.08.2012, 17:55) <{POST_SNAPBACK}>
Говорить, что множество - неопределяемое понятие - это сильное заблуждение, к сожалению проникшее даже в учебники по математике. Кратко и по существу - понятие множества определяется своими аксиомами

В реальности же, начиная со студентами матанализ, той системы аксиом НЕ дают. Ибо тогда надо аккуратненько выводить из тех аксиом (уж какие выберем) все "очевидные" свойства... и надолго забуриться в сии тонкости -- этак до собственно матанализа неизвестно когда дойдёшь.
И аксиому выбора -- могут упомянуть, или не упомянуть. И произвести вот это описанное Вами "доказательство" с явный ссылками на те же аксиомы.... да, не стараются. Дабы побыстрее перейти к собственно матанализу.
Грех? С одних позиций грех, с других не грех (что там в диалектике -- про относительность истин?)

Цитата
К примеру, нам, простым студентма-биологам, давали при ознакомлении с ТМ в матанализе намек на аксиому Гротендика (существование универсального множества), что просто спасало от противоречий

Ну да! На самом деле это -- хорошая заплатка. От неё дальше можно танцевать. И уж любым прикладникам (биологам, скажем) этого С ЛИХВОЙ хватает для любых их потребностей.
Нет в мире совершенства -- ну и нет; довольствуемся тем, что достаточно для практических нужд.
Валерий Чернухин ( Пользователь )
1. Наверно об этом стОит поговорить поподробнее. Почему? Да потому что некоторые, в том числе и преподаватели математики, выдвигали парадоксальную мысль - аксиоматизация геометрии нам не нужна.
То есть преподавать ее нужно так, как и остальную математику - просто начальным интуитивным рассмотрением, а затем из этого что-то строить.
Мне кажется, что введение аксиоматизации в геометрии позволяет сразу же выйти на новый уровень в развитии способности логически мыслить - и даже только с этой точки зрения это - важный подход.
2. Второй момент - есть строгое доказательство. Есть умозаключение, делающее обосновываемое утверждение достаточно убедительным. В школе есть и доказательства и рассуждения второго рода (например, "Каждое натуральное число можно однозначно разложить на простые множители)". Как видите, бывает разный уровень обоснования.
Я иногда встречал у профессионалов в преподавании математики (например, у Г. Фройденталяв в "Математика, как педагогическая задача" или Ф.Клайна "Элементарная математика с точки зрения высшей") такую вещь, как замена доказательства убеждающим рассуждением.
Они внятно формулировали простую, хотя и достаточно общую мысль.
На первых ступенях преподавания надо. Отказаться от строго логических тенденций; нужно возможно больше наглядных представлений, возможно большее число примеров из повседневной жизни. Но при этом необходимым, чтобы в течение последних лет обучения логическая сторона дела достаточно выяснялась.
К слову, к эффективному логическому рассуждению, но без привлечения витиеватых правил (способность ветвить условия) способны дети уже лет в 5-6. Пример с шахматными способностями детей это однозначно показывает.
Вопрос лишь в том, в какой степени. Открою для этого отдельную ветку, если Вы не против.
Владислав Воронин ( Пользователь )
Цитата (Валерий Чернухин, 30.08.2012, 10:43) <{POST_SNAPBACK}>
На первых ступенях преподавания надо. Отказаться от строго логических тенденций; нужно возможно больше наглядных представлений, возможно большее число примеров из повседневной жизни. Но при этом необходимым, чтобы в течение последних лет обучения логическая сторона дела достаточно выяснялась. Вопрос лишь в том, в какой степени.

Да, совершенно согласен. Так оно и получается -- исторически сложилось, подкрепляется опытом. И за этим стоят такие вот естественные мотивы:
(А) Избыточность деталей там, внизу, в глубинах-основаниях, которые НЕ проясняют по существу ничего из практически-полезного на более высоких уровнях. Для решения текстовых задач "из жизни", скажем, вопрос об определении множества не даёт ничего. Так -- стоит ли...?
(Б). Возраст! Освоение кой-каких доступных и содержатеьных вещей из математики начинается в том возрасте, где высокие степени абстрагирования и чрезмерная витиеватость построений -- нормальному "среднему" ребёнку (да даже и выше среднего) лежат выше уровня компетентности. Хуже того, просто отпугнут от освоения доступных вещей, забивая сознание сильным информационным шумом.
В итоге, та же основная теорема арифметики (существование-единственность разлоджения на простые множители) так и остаётся "очевидной". А на самом деле просто не доказанной никак. Мы уже в 10 классе лицея НАКОНЕЦ-ТО выкладываем доказательство той единственности. Но заниматься этим в третьем классе? Не потянут рассудком! "Рано".
Впрочем, я увидел, что в соседней ветке Вы и сами привели прекрасную цитату
"Учитель должен быть, так сказать, дипломатом; он должен учитывать душевные движения юноши, должен уметь возбудить его интерес, а это будет ему удаваться только в том случае, если он будет излагать вещи в наглядной, доступной форме. Лишь в старших классах возможно также и более абстрактное изложение".
Так что -- нам спорить не о чем. Все всё понимают.

Цитата
Открою для этого отдельную ветку, если Вы не против.

Уж не знаю, найдутся ли энтузиасты. Тема о "доказательствах", тем более там, внизу, в основаниях -- вкусная! Но... требует много СПЕЦИАЛЬНЫХ усилий. По копанию в деталях, сопоставлению взглядов разных умных людей (а об этом действительно писали и немало, и весьма умно).
И... ради "вообще истины" это благородно. К школе же... может относиться уж совсем малой частью.
Валерий Чернухин ( Пользователь )
У меня есть одна задача с неимоверно красивым и простым решением, в которой иллюстрируется факт- задача становится почти очевидной, не смотря на то, что решение ее может оказаться не строгим.
Попробуйте. Красота решения в том, что не смотря на абстрактность формулировки, она решается наглядно довольно просто - то, что как раз "очевидно" для не столь опытных.
Эту задачу, говорят, решил еще Кантор, хотя нигде ее не опубликовал.

Доказать, что если множество с мощностью континуума разбить на два подмножества, то хотя бы одно из них будет иметь мощность континуума.
Такого рода задачу очень полезно давать тем студентам, которые только начинают знакомиться с понятием мощности множетсва. И хороша для популярных книг для школьников.

Здесь можно увидеть очень простое и наглядное, хотя и нестрогое решение. Однако большинство тех, кто его увидит, часто в силу неопытности даже не догадываются о тех допущениях, которые необходимо внести в его решение и считают его, подобно Кантору, самым, что ни на есть строгим.

Цитата (Валерий Чернухин, 30.08.2012, 09:20) <{POST_SNAPBACK}>
Доказать, что если множество с мощностью континуума разбить на два подмножества, то хотя бы одно из них будет иметь мощность континуума.

Пусть множество мощности континуума биективно отображено на на единичный квадрат.
Обозначим точки одного множества, скажем так, синим цветом, а другого - допустим красным.
Рассмотрим проекцию красного множества на горизонтальную ось. Если эта проекция - весь отрезок [0,1], то тогда красное множество имеет мощность континуума. Если же хоть одна точка этой проекции не принадлежит, то тогда весь перпендикуляр над этой точкой - синий, и значит синее множество континуально. Вот и всё доказательство. Кратко, а потому красиво.
Владислав Воронин ( Пользователь )
Цитата (Валерий Чернухин, 30.08.2012, 12:20) <{POST_SNAPBACK}>
Однако большинство тех, кто его увидит, часто в силу неопытности даже не догадываются о тех допущениях, которые необходимо внести в его решение и считают его, подобно Кантору, самым, что ни на есть строгим.


Если эта проекция - весь отрезок [0,1], то тогда красное множество имеет мощность континуума.

Вы, подозреваю, хотите сказать, что здесь за кулисами стоит аксиома выбора? Выберем на каждом перпендикуляре по одной красной точке -- следовательно, получим (акс.выбора) множество, которое подмножество красного -- и имеет ту самую мощность континуума.... Ну, а дальше -- теорема Кантора-Бернштейна: если в каждом множество есть подмножество, равномощное другому, то такие два мн-ва равномощны (т.е. существует биекция)....
Ну, да, да... "Наивность", которая заключается в интуитивном понимании "множеств" без всякой точной аксиоматики -- это действительно дырка.
Хотя если "подстелить" вот эту самую аксиоматику, оговорить её аккуратно заранее, ПЕРЕД приведённым доказательством -- то доказательство уложится в "строгость".
Так что -- строгость или нестрогость будет зависеть от того, какие имеются ПЕРЕД этим подготовительные утверждения.
Валерий Чернухин ( Пользователь )
Да, именно Кантора-Бернштейна и сильный вариант аксиомы выбора. Доказательство получается практически моментально. Тонкости с допущениями создают иллюзию усложнения.
Сама же задача красива тем, что простое рассуждение позволяет делать вывод относительно такого достаточно утонченного абстрактного утверждения.
Оно, кстати, легко обобщается на случай множества любой бесконечной мощности. Важно лишь использовать утверждение, эквивалентное аксиоме выбора - бесконечная мощность множества А равна мощности его декартова произведения на себя.: |A|=|A^2|
Сергей Мельников ( Пользователь )
А я, т.к. я не спец, хочу сделать замечание по более простой теме: 5-й аксиоме (или постулату, как раньше говорили, делая какое-то тонкое различие его от аксиомы) Евклида. Во множестве учебников (и даже в Википедии) она формулируется так: через точку вне данной прямой можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

То, что можно провести одну такую прямую, доказывается в школе (причём, еще до принятия 5-й аксиомы): центрально-симметричные прямые параллельны. Зачем же тогда это излишнее утверждение упорно вставляется в 5-ю аксиому? По традиции от какого-то авторитета? 5-я аксиома всего только должна утверждать, что через эту точку нельзя провести двух прямых, параллельных данной.

Кстати, помню, как на 1-м курсе ММФ на лекции по линейной алгебре преподавательница давала определение группы, как непустого множества... (и т.д.) Я спросил: "А зачем говорить, что это множество непустое, если далее в определении говорится о существовании в нём единичного элемента?" Доцентка, кажется, отшутилась. :-)

footer logo © Образ–Центр, 2018. 12+