Личный кабинет

Экономическое образование школьников средствами математики

Шота Музенитов ( Пользователь )
Об экономическом образовании и воспитании учащихся средствами математики Ш.А. Музенитов

Экономическое воспитание учащихся можно осуществлять на уроках математики (7-11кл.) и на занятиях спецкурса «Математическая экономика».

.В предлагаемом курсе даются примеры достижения высоких экономических показателей, указываются проблемы, стоящие перед нашей экономикой, основные направления экономической политики государства. Внимание учащихся обращается на роль математических методов при решении экономических задач, повышения производительности труда, на применение их в организации и управлении производством, на важность построения математических моделей производства при проведении экономико-математического анализа экономических явлений и их взаимосвязей

]Цели:

1. Воспитать у учащихся, бережное и экономное отношение к используемым ресурсам, осознанное понимание роли экономических знаний в будущей трудовой деятельности.

2. Расширить представления учащихся в экономической сфере и выработать у них активную жизненную позицию по отношению к происходящим в обществе экономическим процессам.

]Задачи:

1. Формировать у учащихся понимание роли математических методов при решении экономических задач, навыки применения их в организации и управления производством, выделяя важность построения математических моделей при проведении экономического анализа.

2. Развивать у учащихся интерес к изучению математики и ее возможных приложений в сфере практической деятельности.

]3. Ознакомить учащихся с основами экономических знаний, дающих возможность предвидеть свою роль, как на предприятии, так и во всем общественном производстве.

4. Формировать у учащихся умения и навыки применения математических знаний для решения простейших экономических задач производства (определять цену каждого грамма сырья или топлива, рационально использовать оборудование и материал, рабочее и свободное время, оценивать величину заработной платы, составлять простейшие калькуляции, определять ориентировочно величину производительности труда и рентабельности производства и т. п.).

5. Расширить представления учащихся о научной организации труда и использовании достижений научно-технического прогресса в предпринимательской деятельности.

7. Дать учащимся сведения, необходимые для последующего выбора профессии и сферы деятельности.

]Ожидаемые результаты:

На основе решения поставленных задач предполагается достичь следующих результатов:

1. Учащиеся осознают, что успех в трудовой деятельности во многом зависит от грамотного проведения необходимых математических расчетов непосредственно на производстве и при проведении соответствующего экономического анализа производственных задач. Для решения задач с экономико-производственным содержанием учащиеся применяют специальные математические методы, полученные экономические знания

2. У учащихся повышается уровень математического развития, совершенствуются навыки решения прикладных задач с последующим проведением экономико-математического анализа экономических явлений и их взаимосвязей.

3. Учащиеся ориентируются в экономической информации, излагаемой в экономической литературе, средствах массовой информации (радио, телевидение), грамотно пользуются справочной литературой, самостоятельно обосновывают свою точку зрения, активно участвуют в решении экономических вопросов в трудовой деятельности.

Программа специального курса «Математическая экономика» для учащихся 10–11 классов средних школ и колледжей (2–3 курс), – 72 ч
10 класс (2 курс) – 36 ч
i. Предмет и задачи специального курса «Математческая экономика» – 2 ч.

2. Экскурсия на строительные или промышленные предприятия города – 4 ч.

3. Математические расчеты в системе оплаты труда рабочих – 6 ч.

Повременная, сдельная, аккордная формы оплаты труда. Премии. Составление простейших калькуляций.

4. Понятие о научной организации труда– 2 ч.

5. Применение элементарных математических функций в экономических расчетах – 12 ч.

Линейные, дробно-линейные, квадратичные, показательные, степенные и логарифмические функции в экономическом анализе. Неравенства. Системы уравнений и неравенства.

Проценты в экономике. Накопление. Погашение кредитов. Вычисление амортизационных отчислений.

6. Использование понятия производной в экономических расчетах – 8 ч.

Определение скорости роста или снижения производительности труда, себестоимости продукции, расхода материалов и т. п. с помощью понятия производной.

Эластичность функции. Динамика спроса и предложения на товары относительно их цен. Оценка сроков выполнения и перевыполнения производственных планов.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функций при решении экономических задач. Расчет объема выпускаемой продукции, прибыли промышленного производства.

7. Семинарские занятия по итогам года– 2 ч.

11 класс, 3курс – 36 ч.

8. Вводное занятие. Ученические производственные бригады. Роль математики в экономическом образовании трудящихся, влияние экономических знаний на повышение производительности труда – 2 ч.

9. Экскурсия на завод или фабрику – 4 ч.

10. Работа с Интернетом- 2 ч.

11. Применение понятий о матрицах и их свойствах в экономике производства – 18 ч.

Матрицы 3-го порядка, их свойства, действия над ними. Вычисление определителей. Обратные матрицы. Решение системы линейных уравнений 3-го порядка с помощью матриц.

Межотраслевые связи производства. План выпуска валовой продукции. Определение себестоимости.

Определение занятости в производстве. Размер капитальных вложений.

12. Использование понятия об определенном интеграле и его свойствах в экономических расчетах – 6 ч.

Составление производственных функций (в ознакомительном плане).

Объем выпускаемой продукции. Запас товара. Амортизационные суммы. Определение средней производительности труда, среднего расхода сырья.

13. Семинарские занятия – 2 ч.

14. Лекция о выборе профессии – 2 ч.

Выбор экономического материала при разработке специального курса «Математическая экономика» был обусловлен в первую очередь необходимостью практического применения полученных знаний в повседневной жизни и трудовой деятельности и, являясь логическим продолжением обязательного курса математики, он нацелен на:

– усвоение учащимися экономических знаний в процессе решения математических задач с экономическим содержанием;

– углублённое изучение программных вопросов обязательного курса математики;

– формирование у учащихся умений и навыков применения полученных экономических знаний в жизни и трудовой деятельности.

Программа предусматривает самостоятельную работу учащихся во внеаудиторное время в форме разработок, докладов, рефератов (деловая игра, практическая работа) по следующим темам:

1. Почему страны торгуют друг с другом?

2. Роль государства в экономике страны?

3. Как выгодно вложить деньги в ценные бумаги?

4. Какую роль играют цены в экономике?

5. Как влияют на уровень жизни изменения в экономике?

6. Как и почему люди продают и покупают акции, облигации, ценные бумаги?

7. Что такое инфляция и чем она вызвана?

8. Выбор профессии предпринимателя.

9. Чем занимается брокер, маклер, дилер?

10.Как сделать рубль конвертируемым? Лицензии, налоги, пошлины.

Содержание отдельных разделов курса и количество часов, выделяемых для их изучения, могут быть изменены преподавателем с учетом особенностей учащихся, уровня их подготовленности, круга их интересов, специфики места проживания, а также собственных взглядов.

]Тематическое планирование математического содержания курса«Математическая экономика»
Тема 1. Предмет и задачи курса «Математическая экономика».
[iЗанятие 1. Занятие посвящается обсуждению общих задач, стоящих перед экономикой нашей страны в условиях рыночной экономики. Обращается внимание учащихся на производственную деятельность предприятия, фирмы, связанную с использованием в народном хозяйстве новейших достижений науки и техники.

Подчеркивается необходимость повышения экономической грамотности трудящихся, которая способствует развитию общественной инициативы, активному участию в управлении производством, использованию экономических знаний учащимися в своей будущей трудовой деятельности.

Определяются предмет и задачи курса.

Тема 2. Экскурсия на строительное или промышленное предприятие или на фирмы.

]Занятия 2–3. Преподавателем первоначально составляется план проведения экскурсии, и определяются ее цели. Устанавливается связь с администрацией предприятия, согласуются сроки и основные этапы проведения.

Предварительно проводится краткое ознакомление учащихся со структурой работы следующих функциональных отделов (подразделений): планового, технического, труда и заработной платы, финансового, отдела контроля качества продукции, отделов главного механика и энергетика, снабжения и сбыта, отдела кадров и технического обучения, административно-хозяйственного и бухгалтерии.

Во время экскурсии обращается внимание учащихся на структуру аппарата управления данного предприятия. Учащиеся знакомятся с технологическим процессом изготовления продукции на данном предприятии; с требованиями, предъявляемыми к ее качеству, выясняют, как определяется себестоимость продукции, от каких параметров она зависит.

Обработанные и обобщенные материалы экскурсии преподаватель должен широко применять в дальнейшем проведении курса для сопоставления особенностей работы конкретного предприятия с общими требованиями экономики.

Тема 3. Математические расчеты в системе оплаты труда рабочих.

Занятия 4–5.Повременная, сдельная, аккордная, договорная формы оплаты труда. Премии.

В ходе занятия рассматриваются две формы оплаты труда: повременная и сдельная, как наиболее распространенные на предприятиях нашей страны. Вводятся понятия нормы времени, нормы выработки, тарифной ставки и расценки. Приводятся формулы подсчета заработной платы каждого рабочего. Рассматриваются различные премиальные системы оплаты труда: повременно-премиальная, сдельно-премиальная, аккордная и т. п., которые применяются на производстве для повышения материальной и моральной заинтересованности рабочих в повышении производительности труда. Преподаватель отмечает, что премии устанавливаются руководителями промышленных предприятий, и они выплачиваются за выполнение и перевыполнение производственного плана, за выпуск бездефектной продукции, за экономию сырья и материалов и т. п. Решается система логически взаимосвязанных задач с экономическим содержанием и проводится экономико-математический анализ их решения.]Занятие 6.[/i] Составление простейших калькуляций.

В начале занятия преподаватель дает объяснение понятия «калькуляция». Отмечается, что с помощью составления калькуляций определяют себестоимость изготовленной продукции и время, затраченное на ее изготовление. Составление калькуляции облегчает описание выполненной работы, помогает объединить результаты ряда промежуточных работ по изготовлению того или иного изделия. Учащимся указывается на возможность получения калькуляции для любого вида продукции. Отмечается широкое использование калькуляции для начисления заработной платы рабочих. Составляются калькуляции по изготовлению школьной парты, сооружению типового гаража, волейбольной площадки и т. п. Особое внимание обращается на то обстоятельство, что с помощью калькуляций легко выявить те отдельные промежуточные производственные операции, которые можно улучшить, для того, чтобы снизить себестоимость готовой продукции.

Решаются задачи типа:

Задача 1.Составить калькуляцию затрат труда и заработной платы:

а) по строительству волейбольной площадки,

б) по изготовлению мороженого.

Задача 2. Плотник в течение месяца изготовил:

а) деревянные переносные лестницы (150 м);

б) полотерки (100 шт.);

в) столы на козлах длиной 2 м на шпонках (15 шт.);

г) ящики для гашеной извести (5 шт.);

д) ящики для пожарных рукавов (10 шт.).

Определить месячный заработок рабочего.

Задача 3. Проведена сварка стыков стержней с накладной из круглой стали при д = 30 мм. Вычислить стоимость проделанной работы, если заварено 970 стыков.

Задача 4. Изготовлены бетонные блоки для стен подвала объемом до 0,5 куб.м одного блока. Вычислить стоимость изготовления 176 блоков, если премиальные составляют 20% от основной зарплаты.

Задача 5. Численность работающих в кафе – 10 человек. Себестоимость одного обеда в кафе – 20 руб. (без учета заработной платы). Ставка налога – 12% от прибыли. Величина спроса: если цена обеда 60 руб., то количество продаж обедов в месяц – 7000 шт., если цена обеда 75 руб., то количество продаж обедов в месяц – 4000 шт., если цена обеда 80 руб., то количество продаж обедов в месяц – 1800 шт.

Определить оптимальную цену обедов, установить среднемесячную зарплату работающим и определить величину прибыли, полученную владельцем кафе в месяц.

Тема 4. Понятие о научной организации труда на предприятиях.

Занятие 7. Учащиеся знакомятся с научными основами организации труда (НОТ). Отмечается, что научная организация труда основывается на достижениях науки и передового опыта. Приводятся основные направления НОТ: рациональное разделение и кооперация труда, улучшение организации и обслуживания рабочих мест, внедрение передовых приемов, методов труда, повышение квалификационного и культурно-технического уровня кадров.

Вся работа по научной организации труда подразделяется на три этапа.

На первом этапе при активном участии руководителей предприятий проводится анализ состояния организации труда. Определяются основные направления ее совершенствования.

На втором этапе проводится разработка мероприятий по повышению эффективности производства на основе данных экономического анализа.

На третьем этапе проводится реализация разработанного плана по осуществлению намеченных мероприятий, подсчитывается эффективность внедрения.

Обращается внимание учащихся на то, что большую роль в совершенствовании организации труда, в осуществлении НОТ играют передовые рабочие, новаторы и рационализаторы производства, которые способствуют повышению эффективности труда путем внедрений передовых методов и приемов обработки изделий в виде рационализаторских предложений. Подчеркивается важная роль знания математики и математических методов при решении экономических задач. Дается разбор задач типа:

Задача 1. Бригада каменщиков из 8 человек после трех дней работы применила новое приспособление, благодаря чему увеличила дневную производительность труда на 10% и всего за 24 рабочих дня выполнила 672 куб. м кирпичной кладки. Определить средний месячный заработок до и после применения приспособления, если премиальные составляют 10% от основного заработка.

Задача 2. Бригада плотников, применив НОТ, при условии экономии строительных материалов, увеличила производительность труда на 25%, в результате чего ежемесячно стала изготовлять на 270 оконных блоков больше. Привести расчет оплаты рабочим, если премиальные начисляются из расчета 15% к основной оплате.
Задача 3. На одной сельскохозяйственной ферме годовой удой молока за 2008 год составил 4500 тыс. литров, а на другой – годовой удой молока на 850 тыс. литров меньше, хотя коров на 150 голов больше, чем на первой ферме.

За счет применения научных методов содержания коров годовой удой молока от одной коровы на первой ферме на 1 тыс. литров больше, чем на второй.

Определить:

1. Поголовье коров на первой и второй фермах.

2. Вычислить средний годовой удой молока на одну корову на каждой ферме.

3. Найти себестоимость 1 литра молока на каждой ферме, если стоимость содержания одной коровы с учетом зарплаты рабочих и других расходов составляет 3000 рублей в год (расходы по реализации молока не учитывать).
Тема 5. Применение элементарных математических функций в экономических расчетах.

Занятия 8–9.Использование понятия функции в экономических расчетах.

Преподаватель вспоминает с учащимися определение функции одной переменной, приводит различные примеры. Дает геометрическую интерпретацию уравнений как уравнений прямой на плоскости.

Отмечается, что линейная функция в экономике может выражать зависимость между издержками производства и выпуском продукции, между ценой товара и спросом, между нормой прибыли и прибавочной стоимостью, между производством продукции и расходом материала и т. п. Решаются различные задачи по определению себестоимости.

Учащимся даются сведения о выгодности перевозки груза определенным видом транспорта на основе графического решения системы линейных уравнений. Преподаватель показывает, как оценивать выгодность перевозки груза определенным видом транспорта, используя графические решения системы линейных уравнений относительно стоимости перевозок.

Даются примеры вычисления транспортных расходов, амортизационных отчислений и других экономических показателей с помощью понятия функции. Решаются задачи:

Задача 1.Перевозка груза из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 230 км, обходится в 57 рублей, а в пункт С, находящийся на расстоянии 680 км – 118 рублей. Вычислить стоимость перевозки в пункты Д, К, М, расстояние до которых от пункта А 120 км, 750 км, 900 км.

Задача 2. Себестоимость перевозки груза двумя видами транспорта выражается функциями: С = 0,22х + 5,25 и С = 0,18х + 8,05, 10 где х – расстояние в км, С – транспортные расходы.

Определить, какой вид транспорта выгоднее для перевозок и, начиная с какого расстояния.

Задача 3. Срок службы фуговального станка составляет 8 лет, а его стоимость равна 8560 руб. Изобразите графически стоимость станка с учетом амортизации за 2, 5, 7 лет.

Задача 4. Стоимость нового станка А руб., а стоимость капитального ремонта – r руб. Установлено, что станок без ремонта может работат ]n месяцев, а с ремонтом m месяцев. При каких соотношениях A ,r,m,n[/i] расходы на ремонт оправдают себя, если производительность труда до и после ремонта одинакова?

1. А = 18500 руб., r = 8000 руб., n = 5 м, m = 8 м.

2. А = 12000 руб., r = 5800 руб., n = 6 м, m = 7 м.

3. А = 28000 руб., r = 10000 руб., n = 8 м, m = 10 м.

Занятия 10–11. Вычисление процентов в экономике. Накопление.

В начале занятия преподаватель должен ввести понятие процента в экономике как денежной суммы, выплачиваемой вкладчику за пользование денежными средствами, т. к. средства, пущенные в оборот, способствуют получению прибыли. Определяется понятие процентной ставки или нормы как отношение процента к величине денежных средств. Выводятся формулы накопления денежных средств: в случае простых процентов, в случае сложных процентов, где a – процентная ставка, К – величина первоначального взноса, n – число лет, q = 1 + α.

Доказывается формула для суммы накопления денежных средств в случае периодического взноса, как сумма членов геометрической прогрессии.

В ходе занятия следует обратить внимание учащихся на финансово-экономические связи населения страны с государством через сберегательные кассы. Указывается выгода, получаемая вкладчиком в виде накопления средств для приобретения ценной вещи и т. п., и выгода для государства, заключающаяся в том, что деньги, поступающие в сферу обращения, идут на государственные нужды, на строительство промышленных предприятий, на социальные расходы и т. п. Решаются задачи следующего типа:

Задача 1. Определить, сколько рублей было отдано в пользование под простые 2% годовых, если через 5 лет накопилась сумма 1200 рублей.

Задача 2. Рабочий машиностроительного завода зарабатывает в месяц 8600 руб., 20% от заработной платы через бухгалтерию завода ежемесячно (с 1 января) в течение 5 лет откладывает в сберегательную кассу. Вычислите накопление денежных средств у рабочего за данный период (при норме р = 13%).

Занятие 12. Погашение кредитов.

Учащимся сообщается, что любое учреждение устанавливает сроки выплаты предоставленного долгосрочного кредита: разрабатывает план его погашения. В нашей стране кредиты выдаются Сбербанком и другими частными банками при определённых процентных взысканиях за пользование денежными средствами на условиях четкого соблюдения обеими сторонами договорной дисциплины. Приводятся примеры процентных взысканий для конкретных случаев.

Доказывается формула погашения кредита:

, где К кредит, предоставленный на n лет, R ежегодный взнос на погашение кредита, выплачиваемый в конце каждого года.

Решаются задачи типа:

Задача 1. Вычислите, чему равен ежегодный взнос денежных средств предприятием для погашения кредита, предоставленного Госбанком, в сумме 4000 руб., при процентной норме р =12% , если выплата производится в срок и равный 4 годам. Какой ущерб в денежной форме будет нанесен предприятию, если выплата будет произведена несвоевременно?

Занятие 13. Вычисление амортизационных отчислений.

Проводится знакомство учащихся с линейным и дегрессивным методами вычисления амортизационных отчислений. Вводится понятие амортизационного фонда. Учащимся сообщается о смешанном методе вычисления амортизационных отчислений. Разбираются примеры решения задач.

Задача 1. Стоимость оборудования, купленного в литейный цех, равна 84000 рублей, и оно должно прослужить 4 года. Стоимость его по окончанию службы составляет 12000 руб. Вычислить стоимость оборудования и его амортизационные отчисления в конце каждого года, сначала дегрессивным, а затем линейным методами.

Тема 6. Использование понятия производной в экономических расчетах.

Занятия 14–15. Определение скорости роста (снижения) производительности труда, себестоимости продукции, расхода сырья, материалов и т. п. с помощью понятия производной.

В начале занятия дается экономическая интерпретация понятия производной, с помощью которой описываются скорость роста (снижения) производительности труда, скорость сгорания топлива, изменение себестоимости выпускаемой продукции и т. п.

Рассматривается алгоритм нахождения производной в математике и дается его поэтапное объяснение с использованием экономических понятий. Приводятся примеры решения задачи на применение понятия производной произведения двух функций, производной сложной функции, дифференциала функции и т. п. к решению экономических задач. В ходе занятия преподаватель должен обращать внимание на привитие учащимся навыков экономического мышления, развивать у них как у будущих рабочих умения и навыки проведения простейшего экономического анализа производственных процессов с целью своевременного выполнения плановых заданий, определения скорости роста производительности труда при выполнении государственного плана. Решаются следующие задачи:

Задача 1. Производительность труда бригады рабочих в течение смены описывается функцией

, 1

где t – рабочее время в часах. Вычислить скорость роста производительности труда бригады при: t = 2; t = 6.

Задача 2. На промышленном предприятии работают 100 тысяч рабочих, каждый с годовой производительностью труда 50 ед. продукции. Скорость роста количества рабочих в год равен 2 тыс., а производительности труда – 20 ед. в год. Определите годовой объем выпуска продукции при данных производственных условиях.

Задача 3. Расходы на топливо для теплохода делятся на 2 части. Первая из них не зависит от скорости и равна 200 руб. в час, а вторая часть расходов пропорциональна кубу скорости, причем при скорости 15 км/ч эта часть расходов равна 50 рублям в час. Найти наиболее экономичную скорость теплохода. Вычислить дополнительную прибыль, если расстояние до порта назначения 2000 км.

Задача 4. По плану предусмотрено выпустить 150 тыс. ед. продукции. Количество рабочих, занятых производительным трудом, составляет 3 тыс. человек и увеличивается ежегодно на 0,1 тыс. Средний выпуск продукции каждого рабочего составляет 28 ед. в год. При какой скорости роста производительности труда можно выполнить план досрочно?

Занятие 16. Эластичность функции. Динамика спроса и предложения на товар относительно их цены.

Цель занятия – научить учащихся применять понятие производной для определения динамики спроса и предложения, используя определение эластичности функции. Для функции у = f(x) одного аргумента вводится понятие относительного приращения аргумента и функции . Предел , если он существует, называется эластичностью функции у = f(x) по переменной х, т.е Ех(у):
, .

Аналогично вводится понятие эластичности величины спроса относительно цены р: и эластичности величины предложения S = S(p) относительно цены: .

Разъясняется учащимся смысл понятий эластичности спроса и предложения относительно цены, которые означают, как будет изменяться спрос или предложение на данный товар, если изменится его цена, указывается на цену как компромисс спроса и предложения.

Решаются задачи по определению Ep (q), Ep (s).

Задача 1. Составить график спроса и предложения на пшеницу и определить цену равновесия спроса и предложения.

Вариант

Цена

Спрос,

млн. т

Предложения, млн.т

А

6

8

18

В

5

9

16

С

4

11

12

Д

3

14

7

Е

2

20

0



Задача 2. Определить эластичность и коэффициенты эластичности спроса на автомобиль, обувь и пшеницу, если величина спроса и цена на товар менялись

а) при цене за автомобиль 120 тыс. руб. объем продаж составил 1,2 млн. штук, а при снижении цены до 100 тыс. руб. объем продаж увеличился до 3 млн. штук;

б) при цене за сапоги женские 2000 руб. объем продаж составил 60 тыс. пар, а при снижении цены до 1500 руб. объем продаж увеличился до 100 тыс. пар;

в) при цене за 1 кг пшеницы 4 рубля объем продаж составил 10 млн. т, а при снижении цены до 2 руб. за 1 кг объем продаж увеличился до 15 млн. т.

Задача 3. Между ценой картофеля р и спросом его q на рынке установлена зависимость в виде q = 120–3p; ( р выражается в рублях).

Определить эластичность спроса относительно цены р = 15.

Задача 4. Предложение некоторого товара описывается функцией .

Определить эластичность предложения относительно цены р = 20.

Занятие 17. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функций при решении задач с экономическим содержанием.

Цель занятия – научить учащихся использовать понятия производной для вычисления наибольшего и наименьшего значения функций при решении экономических задач. Определять оптимальные размеры денежных расходов, объема выпускаемой продукции, прибыли промышленного производства и т. п.

При проведении данного занятия преподаватель особое внимание должен уделить формированию у учащихся умений применять математические знания производной функции для решения практических задач, давать простейший экономический анализ производственных процессов. Определять условия получения максимальной прибыли за счет экономии средств, рационального использования техники, природных ресурсов и т. п. При решении задач анализируются условия наиболее экономичного расхода горючего, получения минимальной себестоимости продукции и максимальной прибыли при ее реализации и т. д. Обращается внимание учащихся на то, что снижение себестоимости продукции, получение прибыли являются основными характеристиками рентабельности любого предприятия.

Решаются задачи типа:

Задача 1. Открытый бассейн с квадратным дном имеет форму прямоугольного параллелепипеда, объем которого равен 6125 куб. м. Вычислите минимальную стоимость облицовки внутренних стен и дна, если стоимость 1 кв. м равна 30 руб.

Задача 2. Из сопротивления материалов известно, что прочность балки прямоугольного поперечного сечения на горизонтальный изгиб пропорциональна произведению ширины на квадрат высоты. Вычислите размеры наиболее прочной балки, т. е. отношение ширины к высоте поперечного сечения, которую можно изготовить из цилиндрического бревна, если диаметр равен d линейных единиц. Найти экономию балок и средств за счет правильной их укладки, если для достижения проектной прочности при неправильной укладке будет израсходовано 2000 штук. Стоимость 1 балки – 50 руб.

Задача 3. Себестоимость производства штангенциркулей-125 на заводе описывается функцией:

, , где

х – объем выпускаемой продукции за месяц в тыс. ед.

Определить скорость изменения себестоимости при выпуске 20 тыс. ед. и 40 тыс. ед. продукции. При каком объеме выпуска продукции заводом себестоимость штангенциркулей–125 будет минимальной?

Занятие 18. Семинарское занятие.

Семинарское занятие проводится по итогам года. В период подготовки к семинару преподаватель должен сформулировать ученикам вопросы, которые необходимо наиболее широко осветить при изучении той или иной темы. Дается список литературы и вопросы каждому учащемуся. Можно предложить, например, следующие темы докладов:

1. Производительность труда и пути ее повышения.

2. Себестоимость продукции и пути ее снижения.

В первом докладе следует отметить, что рост производительности труда повышает эффективность общественного производства, является основой увеличения национального дохода, повышения благосостояния народа. Обращается внимание учеников на то, что повышения производительности труда в основном следует добиваться за счет технического перевооружения производства, использования передовых методов и приемов труда на основе достижений научно-технического прогресса.

Во втором докладе подчеркивается, что себестоимость продукции является одним из важнейших и основных показателей эффективности работы предприятий, организаций, строительных и сельскохозяйственных фирм. Систематическое снижение себестоимости продукции дает дополнительную прибыль для дальнейшего развития производства, повышения благосостояния трудящихся, указывает на его рентабельность. Проводится дополнительный анализ ранее решенных математических задач с экономическим содержанием.

Преподаватель во время проведения семинара должен давать введение в темы выступлений, делать краткие выводы по докладам учащихся и обсуждению, подвести итог всему семинарскому занятию. При подведении итога важно выделить взаимосвязь основных математических и экономических понятий, которые рассматривались на занятиях.

Занятие 19. Роль математики в экономическом образовании, влияние математических знаний трудящихся на повышение производительности труда.

На занятии вновь, но более углублённо, повторяются и рассматриваются задачи, стоящие перед экономикой. Подчеркивается роль и значение компьютерных технологий для интенсивного развития народного хозяйства страны. Подчеркивается настоятельная необходимость повышения экономической грамотности каждого выпускника общеобразовательных школ и колледжей в целях эффективного и рационального использования полученных знаний в будущей трудовой деятельности. Можно заслушать два доклада, подготовленные учащимися:

1. Ученические производственные бригады (20 мин).

2. Обзор состояния местной промышленности (20 мин) с последующим обсуждением.

Занятия 20–21. Экскурсия на завод, фабрику, фирму.

Учащихся знакомят с номенклатурой выпускаемой продукции, назначением продукции, наблюдают за выпуском продукции. Выполняется фотография половины рабочего дня. Учащиеся знакомятся с условиями работы, с порядком вычисления заработной платы рабочим и предоставления различных льгот, получают сведения о возможности трудоустройства на данное предприятие, знакомятся с работой наставников.

Тема 7. Применение понятий о матрицах и их свойствах в экономике и производстве.

Занятия 22–23. Матрицы и действия над ними. Понятие определителя.

Даются общие сведения о матрицах и их свойствах. Вводится понятие определителя матрицы. Выполняются действия сложения (вычитания) и умножения матриц. Перечисляются свойства определителей, вводится понятие алгебраического дополнения элемента матрицы и минора.

Приводится без доказательства теорема о разложении определителя n-го порядка по элементам строки или столбца. Решаются примеры на вычисление определителей второго, третьего порядков.

Занятие 24. Обратные матрицы.

На этом занятии преподаватель закрепляет у учащихся навыки вычисления определителей путем решения примеров. Далее вводится понятие единичной матрицы Е и понятие об обратной матрице. Дается формула для вычисления обратной матрицы .

Подчеркивается, что обратная матрица лишь тогда существует, когда определитель матрицы отличен от нуля, т. е. .

Решаются примеры на вычисление обратных матриц для матриц типа:

1) , 2) .

Занятия 25–26. Решение систем линейных уравнений матричным способом.

Цель занятия – научить учащихся применять понятия матриц, обратных матриц и их определителей для решения систем линейных алгебраических уравнений не выше третьего порядка в простейших случаях, когда решение существует и оно единственное. Решение системы уравнений матричным способом подразделяется на следующие этапы:

1) выписывается основная матрица из коэффициентов при неизвестных (А), матрица переменных (X) и матрица свободных (В);

2) вычисляется определитель A: det(A);

3) вычисляется обратная матрица (А)-1;

4) определяются неизвестные переменные из уравнения: (Х)=(А)-1(В).

В ходе занятия иллюстрируется применение матричного метода решения систем уравнений для рассмотрения производственных задач.

Преподаватель также может дополнительно показать эквивалентность решения систем матричным способом и методом (исключения неизвестных) Гаусса.

Занятия 27–28. Межотраслевые связи производства. План выпуска продукции.

На занятии показывается применение матриц в экономическом анализе производства. Отмечается, что любое производство делится на ряд отраслей. Выпускаемая ими продукция частично может перерабатываться внутри самой отрасли, а основная часть реализуется, образуя конечный продукт. Вводятся понятия технологического коэффициента производства и матрицы техники производства (матрица коэффициентов прямых затрат). Дается вывод формулы для определения планового объема выпуска продукции, где q – матрица конечной продукции каждой отрасли, а выражение обозначает обратную матрицу разности единичной матрицы Е и матрицы техники производства А. Элементы матрицы выражают коэффициенты полных внутрипроизводственных затрат.

При решении задач по данной теме с помощью матриц определяются: коэффициенты полных затрат, валовой выпуск продукции предприятия, коэффициенты косвенных затрат. Проводится экономический анализ производственной программы какого-либо конкретного предприятия. Можно решать задачи типа:

Задача 1. Матрица технологических коэффициентов трех отраслей промышленности:

.

Потребности в конечном продукте предусмотрены: для 1-й отрасли – 300 единиц, для 2-й отрасли – 400 единиц, для 3-й отрасли – 500 единиц. Определите объем продукции каждой отрасли.

Задача 2. Матрица технологических коэффициентов для трех отраслей имеет вид:

.

Конечные продукты отраслей составляют q1=500 единиц, q2 =600 единиц, q3 =800 единиц. Определите объем выпуска продукции каждой отрасли.

Занятия 29–30. Определение себестоимости единицы конечной продукции. Размер капитальных вложений.

На данном занятии в процессе решения задач с экономическим содержанием учащимся даются понятия о расходных нормах сырья на единицу продукции. Определяются производственные затраты, суммарный расход сырья для выполнения производственной программы, себестоимость единицы продукции. Выполняется элементарный экономический анализ работы предприятия и показывается необходимость увеличения объема выпускаемой продукции в данной отрасли, в целях прироста объема продукции в смежных отраслях. Это вызывает необходимость вложения дополнительных средств в данное производство. Вводятся понятия коэффициента капиталоемкости, прямых капиталовложений, сопряженных капиталовложений.

Следует рассмотреть решение задач типа:

Задача 1. Химическое предприятие состоит из трех цехов. Дана следующая матрица техники производства:

.

Потребности в конечном продукте предусмотрены: для 1-го цеха – 200 единиц, для 2-го – 400 единиц, для 3-го – 600 единиц. Определите

а) коэффициенты полных затрат,

б) валовой выпуск продукции для каждого цеха,

в) коэффициенты косвенных затрат.

Задача 2. Между тремя отраслями существуют производственные связи. Матрица технологических коэффициентов (техники производства) задается в виде:

.

По плану предусмотрено увеличение выпуска продукции во второй отрасли на 10 единиц. Коэффициенты капиталоемкости продукции в отраслях составляют соответственно m1=10000, m2=30000, m3=15000. Определить величины прямых и сопряженных капиталовложений.

Тема 8. Использование понятия определенного интеграла в экономике.

Занятия 31–32. Составление экономико-математических моделей, отражающих производственные условия. Определение объема выпускаемой продукции, запаса товара и сумм амортизационных отчислений.

В начале занятия кратко рассматриваются и составляются функции (экономико-математические модели), описывающие разнообразные производственные процессы. На основе сравнения табличного задания функции и составленной аналитической функции дается понятие определенного интеграла как предела интегральной суммы. Дается его геометрическая интерпретация. С помощью понятия определенного интеграла в процессе решения задач вычисляется, например, объем выпускаемой бригадой продукции в течение всего рабочего дня или за определенный час и т. п. На основе зависимости от времени поступления товара на склад и его реализации определяется запас товара по истечении определенного срока. Вычисляются суммы амортизационных отчислений с помощью понятия определенного интеграла и формулы Ньютона-Лейбница. Кратко приводится экономический анализ решенных задач.

Занятие 33. Определение средней производительности труда, среднего расхода сырья и т. п.

Преподаватель дает вначале доказательство первой теоремы: о среднем значении для определенного интеграла:

,

где , для непрерывной функции f(x) на отрезке [а, b]. Вводится формула для подсчета среднего значения функций на отрезке. Рассматриваются примеры решения задач по вычислению среднего расхода сырья, средней производительности труда и т. п. в зависимости от параметров производственных функций. В заключение преподаватель может дать примеры применения изученной теоремы при решении простых физических задач: при нахождении работы переменной силы, определении давления жидкости на стенки сосуда и т. п., и отметить практическую значимость данных задач для конкретного производства.

Занятие 34. Экскурсия в вычислительный центр.

Преподаватель составляет план экскурсии с указанием цели, объекта, времени проведения. Устанавливает связь с будущим экскурсоводом. В ходе экскурсии учащиеся знакомятся с устройством и принципом программного управления ЭВМ, с процессами ввода и вывода информации, с контролем над прохождением всей программы. В процессе проведения экскурсии следует отмечать роль, которую играет использование ЭВМ в управлении экономикой нашей страны, в деле интенсификации развития народного хозяйства.

Занятия 35–36. Семинарские занятия по итогам года. Лекция о выборе профессии.

Проводится итоговое семинарское занятие по результатам года. Преподаватель кратко дает обзор основных тем курса, делает выводы. Заслушиваются два-три выступления учащихся по актуальным проблемам применения математических методов в экономике труда и производства: по методам линейного программирования; оптимизации производства, применения основ теории вероятностей и математической статистики в экономических задачах и т. п.

В лекции о выборе профессии можно кратко охарактеризовать ряд профессий, указать на престижность каждой из них. Отметить, что правильный выбор профессии зависит от учета индивидуальных особенностей каждого ученика и его познавательных способностей. Перечислить факторы, влияющие на выбор профессии. Можно провести анкетный опрос учащихся по выбору профессии по заранее составленному учителем тесту. Преподаватель кратко анализирует правильность выбора профессии.

На занятие желательно пригласить выпускников школ и колледжей, которые рассказали бы о своей работе, отметив при этом те факторы, которые сыграли решающее значение на окончательный выбор профессии.

Основные знания и умения учащихся, ПОЛУЧЕННЫЕ ПРИ ИЗУЧЕНИИ КУРСА «Математика и экономика»

Учащиеся должны знать:

– структуру и организационную деятельность предприятия, фирмы, содержание производственной деятельности, хозяйственные и финансовые связи, распределение денежных доходов предприятия;

– основные понятия экономики, их совокупность, содержание и взаимосвязь, необходимые каждому выпускнику образовательной и профессиональной школы: производительность труда, себестоимость продукции, деньги, рентабельность, кредит, производственные фонды, национальный доход, норма времени, норма выработки, тарифная ставка, расценка, заработная плата, спрос и предложение, трудовые ресурсы, технический прогресс, режим экономии, продукция, качество продукции, прибыль, капиталовложения, амортизация, калькуляция, трудовой договор, трудовая дисциплина, рационализаторское предложение, цена, хозяйственный расчет, предпринимательство, рынок, конкуренция, инвестиции, валюта, бюджет, налоги, бизнес, ценные бумаги, инфляция, индексация, конвертируемость, реклама, лицензирование;

– главные экономические зависимости между экономическими показателями: выручкой, доходом, издержками, себестоимостью, ценой, прибылью, спросом и предложением, заработной платой, рентабельностью, амортизацией, налогами, сырьевыми расходами;

– как распределяется семейный бюджет;

– как складываются и действуют экономические связи между предпринимателем и предприятием, между предприятиями, сведения о ценообразовании, валютных операциях, торговле.

Учащиеся должны уметь:

– применять основные экономические понятия для анализа конкретной экономической ситуации, устанавливать логические связи между ними;

– рассчитывать экономические показатели на основе имеющейся информации о деятельности предпринимателя, фирмы, предприятия и проводить соответствующий экономико-математический анализ;

– рассчитывать заработную плату рабочего на основе проделанной конкретной работы в соответствии с существующими расценками;

– составлять простейшие калькуляции на основе поэтапно проделанных работ с соответствующей оценкой стоимости конкретной продукции (мороженое, пирожки, пирожное, хот-дог, сувлаки);

– воспринимать содержание экономической информации, излагаемой в экономической литературе, средствах массовой информации (телевидение, радио);

– формировать собственную позицию по поводу экономических процессов предприятия, фирмы, экономической политики государства;

Рекомендуемый курс, на наш взгляд, будет способствовать усвоению учащимися экономических знаний в процессе анализа конкретных ситуаций с помощью математических методов и формированию у учащихся умений и навыков по применению полученных знаний в своей будущей трудовой деятельности.

Рассмотрим задачи типа:

Пример1. Бригада медеплавильщиков с целью ускорения плавки дважды усовершенствовала технологию производства за счет: а) увеличения концентрации продувания кислорода и б) повышения температуры продувания. Поэтому дважды последовательно была повышена производительность труда на один и тот же процент. Найти рост производительности труда каждый раз, если бригада за смену увеличила плавку с 5т до 6,05 т.

Решение

Пусть x – десятичная дробь, показывающая рост производительности труда в процентах после первого усовершенствования технологии. По условию задачи после второго усовершенствования технологии производительность труда также возрастет на x%. Поэтому имеем уравнение 5000 (1+х)2 = 6050.

Разделив обе части уравнения на 50, получим:

100 (1+х)2 = 121, откуда x = 0,l.

Следовательно, рост производительности труда составляет 10%.

Пример 2. В одной сельскохозяйственной фирме годовой удой молока за 2002 г. составил 3500 тыс. л, а в другой – годовой удой молока на 750 тыс. л меньше, хотя коров на 100 голов больше, чем на первой фирме.

Годовой удой молока от одной коровы на первой фирме на 1 тыс. л больше, чем в другой. Найти:

а) поголовье коров на первой и во второй фирмах;

б) среднегодовой удой молока на одну корову в каждой фирме;

в) себестоимость 1 л молока в каждой фирме, если стоимость содержания одной коровы с учетом заработка рабочих фирмы и всех других расходов составляет 14000 руб. в год (расходы по реализации молока не учитывать).

Решение

Пусть x – количество коров на первой фирме, тогда (x+100) – количество коров во второй фирме, тыс. л – годовой удой молока от одной коровы на первой фирме, а тыс. л – годовой удой молока от одной коровы во второй фирме.

Тогда из условия задачи следует:


После простых преобразований получим квадратное уравнение: , откуда x =1000, x =-350. Второй корень не удовлетворяет условию задачи, так как поголовье коров не может быть числом отрицательным.

а) Поголовье коров на первой фирме 1000, а во второй – 1100.

б) Среднегодовой удой молока от одной коровы на первой фирме 3,5 тыс. л, во второй – 2,5 тыс. л.

в) Себестоимость 1 л молока на первой фирме 4 руб., во второй 5,6 руб.

Пример 3. Завод выпускает станки А и В, которые имеют массу 2700 кг. Конструкторы после модернизации снизили массу каждого станка типа А на 7%, а типа В на 5%, и они вместе стали иметь массу 2535 кг. Найти: а) массу станков старой конструкции; б) снижение материалоемкости станков А и В; в) годовую экономию металла, если вместо старых станков завод в год будет выпускать по 5000 станков типа А и В новой конструкции.

Решение

Пусть x кг – масса станка типа А и В, тогда (2700 – x) кг – масса станка типа В.

Снижение материалоемкости станков типа А и В равно соответственно (кг) и (кг).

Составляем уравнение:

.

Решая его, найдем:


Итак:

а) станок типа А имеет массу 1500 кг, а типа В – 2700 – 1500 = 1200 (кг);

б) массу станка типа А снизили на (кг), а типа В – на (кг).

в) годовая экономия от выпуска по 5000 станков в год составит (кг) = 825 т.

Пример 4. Издержки при перевозке груза двумя видами транспорта вычисляются по формулам:

, 1

где х – расстояние перевозок в сотнях километров, а у рублей – транспортные расходы по перевозке груза первым и вторым видами транспорта. Найти, на какие расстояния, и каким видом транспорта перевозки груза будут более экономичны.

Решение

На одной координатной плоскости построим графики транспортных расходов (рис.2).




















Рис. 1

Известно, что график линейной функции есть прямая линия, а уравнение прямой определяется двумя точками. Найдем координаты этих точек:



x

<div align='center'>0

3


x

0

3

y

100

220


y

200

260

</div> Координатами точки пересечения А являются 5 и 300, т. е. издержки по перевозке груза на любые расстояния как первым, так и вторым видами транспорта достаточно просто определяются по величине у из графиков функций. По этим же графикам функций определяется, каким видом транспорта и на какие расстояния перевозки груза будут более экономичными.

Так, если груз нужно перевезти на расстояние менее чем пять сотен километров, его нужно перевозить первым видом транспорта, а если груз нужно перевезти на расстояние более чем пять сотен километров, то его экономичнее перевозить вторым видом транспорта.


footer logo © Образ–Центр, 2018. 12+