Личный кабинет
Ясненько, понятненько...

Я плохо представляю, что происходит с людьми: они не учатся путём понимания. Они учатся каким-то другим способом - путём механического запоминания или как-то иначе. /Ричард Фейнман/




В заметке на примере определителя матриц показано, насколько сильно наше знание математики зависит от понимания смысла выполняемых действий.



Мы все привыкли считать, что математика очень хорошо учит абстрактному мышлению: 2+2 только в первом классе может означать "2 яблока и 2 груши", однако к выпуску из школы дети уже вовсю должны уметь оперировать абстрактными числами (просто "2+2", безо всяких "яблок" и "груш"). С одной стороны, это важно и правильно - абстрактное математическое мышление - это гораздо более высокий уровень, чем мышление "конкретное". При наращивании знаний ученика нередко происходит утрата связи новой информации со старой. Получается почти что как в старом анекдоте про Вовочку, где "папа едет в Ленинград, мама купит мне мопед", где внутренняя логическая связь спрятана, и мы видим причинно-следственную связь, но не понимаем её (чтобы понять, почему и как из первого положения "папа едет в Ленинград" следует последнее "мама купит мне мопед", нужно знать "немного" больше: "папа едет в Ленинград - мамин хахаль будет рад - и за этот вот секрет - мама купит мне мопед"). К сожалению, мы уже привыкли к такому положению вещей, оно для нас - нормально и естественно.

Возьмём к примеру систему линейных уравнений. Её можно решить "в лоб" - из первого уравнения через остальные неизвестные выразить первую неизвестную, из второго - вторую, и так далее, а в последнем уравнении мы получим последнюю неизвестную, умноженную на какое-то число, и всё это будет равно другому какому-то числу. Ничего сложного, но сами вычисления - муторные, числа получаются дробные, есть шанс что-то "потерять" и в итоге не получить корректное решение.

Можно абстрагироваться от переменных, записав систему уравнений в виде матрицы, а затем, приведя её сначала к треугольной, а затем - к диагональной, найти решение (если оно есть).

В школах примерно так и учат. Метод Гаусса - "наше всё"... А потом чадо поступает в вуз, в первом семестре у него начинается высшая математика, которая в свою очередь начинается с... правильно, линейной алгебры! Ну, это же самый лёгкий раздел высшей математики, верно? А в линейной алгебре всё построено на матрицах - да, расчёты с ними более сложные с арифметической точки зрения, но зато они гораздо более "технологичные", их легче алгоритмизировать, благодаря чему они и стали такими популярными. Кроме того, мы же помним, что матрица - это всего лишь ещё один способ записать ту же самую систему уравнений, верно?

И тут... вчерашний школьник встречается... с Великим и Ужасным - Определителем.

Почему я назвал определитель так, да ещё и с большой буквы? Всё просто. Когда я учился в университете, нам говорили, что "понять определитель невозможно, его можно только запомнить!" Да неужели? - спросил я сам себя однажды... Откуда он тогда взялся? Не боги же его нам с Олимпа спустили! И... мне стало настолько интересно, что же определяет определитель, что я решил найти ответ на этот вопрос...

Начал я с того, что стал озадачивать знакомых мне математиков вопросом "что такое определитель?"... на вполне ожидаемый ответ "ну-у-у, определитель - это число, которое получается по определённым правилам, и если оно равно нулю, то..." тут же следовал следующий вопрос "Да-да, считается по формуле, но ОЗНАЧАЕТ-то что?!". На ЭТОТ вопрос никто ответить не смог...  Все утверждали, что определитель — это такое число, которое особым образом посчитано, и если оно равно нулю, то… В общем, как и в любом учебнике по линейной алгебре. Спасибо, проходили, но так и не поняли...

Если какую-то идею придумал один человек, то другой человек должен быть в состоянии её понять (правда, для этого порой приходится вооружаться дополнительными знаниями). Обращение к «великому и могучему» поисковику показало, что "площадь параллелограмма равна модулю определителя матрицы, образованной векторами — сторонами параллелограмма". Говоря простым языком, если матрица — это способ записи системы уравнений, то каждое уравнение в отдельности описывает вектор. Построив из точки начала координат векторы, заданные в матрице, мы таким образом зададим в пространстве некоторую фигуру. Если наше пространство одномерное, то фигура — это отрезок; если двумерное — то фигура — параллелограмм, и так далее.

Получается, что для одномерного пространства определитель — это длина отрезка, для плоскости — площадь фигуры, для трёхмерной фигуры — её объём… дальше идут n-мерные пространства, вообразить которые нам не дано, но общий принцип, надеюсь, прост и понятен. Если объём фигуры (то есть определитель для матрицы 3*3) равен нулю, то это означает, что сама фигура не является трёхмерной (она может быть при этом двухмерной, одномерной или вообще представлять собой точку). Ранг матрицы — это истинная (максимальная) размерность пространства, для которого определитель не равен нулю.

А в завершение этой заметки я хочу обратить ваше внимание на такую проблему. Мы действительно перегружены информацией. Поняв, что "если А, то Б", "если Б, то В" и "если В, то Г", мы делаем вполне логичный вывод о том, что "если А, то Г". Однако для человека, не знакомого с этой логической цепочкой, может быть совершенно неочевидно, что "если А, то Г", а следовательно - все цепочки, выстроенные на этой основе, рушатся как карточный домик. Однако в современной системе знаний школьников (а потом - и выпускников вузов и ссузов) всё чаще возникают подобные "карточные домики", знания без понимания, информация без объяснения, почему так...

Так что... прежде, чем критиковать молодое поколение, не знающее школьную программу, спросите себя - а что ВЫ делаете для того, чтобы не забивать головы детей "карточными" конструкциями и непонятной им информацией? Уж не знаю, кто это сказал, но высказывание очень меткое и точное: "то, что понял, забыть невозможно".

P.S. В этой заметке была частично использована моя статья От действий над матрицами к пониманию их сути... Кстати, там рассказано, в чём смысл умножения матриц - вы удивитесь, но эта операция "происходит" лично с вами, причём ежедневно, когда вы смотрите телевизор или просто глядитесь в зеркало... В общем, даже если вы не занимаетесь математикой - всё равно прочитайте, там нет ни одной формулы... Учителям математики рекомендую прочитать комментарии к той статье :-)

P.P.S. В заголовке - цитата одной из глав книги Ричарда Фейнмана "Вы конечно шутите, мистер Фейнман!"

P.P.P.S. Когда у нашей группы был 10-летний юбилей выпуска из университета, мы честно пытались вспомнить, чему нас там учили - и что из этого пригодилось. Вспоминали и про определители - человек пять из двадцати собравшихся смогли вспомнить "определение", которое говорит, что "определитель считается по формуле", а двое даже вспомнили эту формулу, но... разве в этом механическом заучивании смысл образования?




    18.03.2017 | 09:29
    Виктор Рябцовский Пользователь

    Очень интересное мнение, правда автор не углублялся в суть теории матриц, но уже интересно рассказал об определителях, еще больше проблем в изучении матриц остались и остаются нераскрытыми не только в лицеях, где их иногда проходят, но и высшей школе. Достаточно познакомиться с практическими работами студентов той же ВШЭ, которая претендует на первые роли в образовании, но методы, которые там изучаются самые задвинутые, да там экономистам дают задания программировать методы на языке R, только почему бы не посмотреть немного дальше. Особенности изучения векторов в школе вызывают грустную улыбку, так как многие вещи не объясняются в школьной программе, подозреваю, что и педвузах тоже. Никого не волнует, что это мощнейший инструмент, который очень широко применяется в любой области знаний. Я вообще не знаю ни одной области знаний, где они не применяются, включая все гуманитарные науки, а что об этом знают учителя школьных предметов? Большинство даже не слышали о подобных возможностях, таково состояние подготовки самих педагогов и отношение министерства образования. О каких высоких материях можно говорить, если уровень базового образования не отвечает требованиям современности. Сегодня трудно представить изучение современных предметов, таких как биология, экономика, строительство, программирование, уж не говоря о машиностроении. Теория матриц намного мощнее методов классической геометрии, доказательство всего небольшого количества теорем позволяет решать задачи, которые никогда не решить, если опираться на методы классической геометрии, по сути дела изучение более 80% теорем в геометрии никому не нужны с их примитивным подходом, когда есть современные методы решения не абстрактных, а реальных задач из жизни.


     

Дата регистрации: 16.03.2017
Комментарии:
1
Коллеги 0
Подписаны 0
footer logo © Образ–Центр, 2019. 12+