Личный кабинет
Школьное естествознание и современная наука.

Как обобщить "дважды два четыре".






Есть ли очарование в фразе "дважды два четыре"?
Об этом очаровании написал Дуглас Р. Хофштадтер в своей логико-математико-музыкальной поэме "ГЁДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда".
Попробуем вдуматься в его слова:
"Когда мне было три или четыре года, меня внезапно поразила сияющая, таинственная красота того факта, что ДВЕ ВОЙКИ — ЭТО ЧЕТЫРЕ. Только маленький ребенок может любить что-либо так глубоко, с таким самозабвением. Может быть, дело было в том, что маленький Дагги подсознательно почувствовал, что эта короткая фраза двусмысленна, что в ней одновременно заключены две различных истины, одна — о понятия «2 + 2», другая — о понятии «2 х 2» (впрочем, сомневаюсь, что в те времена я знал что-либо об умножении). Другое возможное объяснение моей очарованности понятием «двух двоек» — то, что оно прилагало идею к себе самой — а именно, идею двойки к самой этой двойке «Давайте-ка возьмем двойку ДВА раза!»
Как бы мы ни старались выразить первозданную красоту этой (или какой-нибудь другой) идеи словами, вскоре очарование начинает таять и мы, разочарованные, умолкаем. Однако, жадный до развлечений ребенок, как и взрослый, интереса не теряет и желает заново испытать радость открытия с помощью какого-нибудь обобщения или аналогии. В своем нежном возрасте я не являлся исключением. Я попытался обобщить мою чудесную идею «двойки, действующей
саму на себя», и у меня получилось.
..
".
В отрочестве, я тоже думал над этим вопросом, и, как ни странно, у меня тоже получилось. Хотя совсем с другой стороны. Об этом маленьком, но красивом детском открытии и пойдёт речь. До сих пор, думая об этой теме, я испытываю к ней очарование.

Для этого нужно вернуться в самые начала арифметики, класс этак в третий.

Итак, займемся игрой, которая будет напоминать описание дома, который построил Джек в известной детской истории.
Большинство людей в повседневной жизни (дома и на работе) используют три основные арифметические операции: сложение, умножение и возведение в степень (ну и, разумеется, операции, полученные из трёх основных - вычитание, деление, логарифмирование, извлечение корня, но мы про эти производные операции пока забудем, а поговорим об основных, базовых). Что ж, эти три операции понятные, когда-то их изучали в школе, заучили правила оперирования с ними. А есть ли другие арифметические операции, похожие на сложение, умножение и возведение в степень?

Задавшись таким простым вопросом, с удивлением обнаружил, что такие операции легко вывести.

Как мы учим в школе сложение? Мы знаем, что после 1 идёт 2, после 2 - 3, .....и т.д. И мы считаем, что после числа N идёт N+1. Это и есть базовая операция прибавления единицы, из которой и выводятся сложение, умножение, возведение в степень. Как?

Определим сложение "X+N" как последовательное прибавление N раз единицы к числу X. Всё просто. Мы применили к числу X операцию " X+1" N раз.

Определим умножение. Определяется аналогично.

"X*N" - это сложить число X N раз. Возвратимся к операции прибавления единицы.

"X*N" - это когда (операция первого уровня) к числу X прибавляют единицу X раз, и операцию второго уровня применяют (N-1) раз.

Определим степень. Аналогично.

"X в степени N" - это умножить число X N раз. Возвратимся к операции прибавления единицы.

" X в степени N " - это когда (операция первого уровня) к числу X прибавляют единицу X раз, и операцию второго уровня применяют (X-1) раз (операция второго уровня), и операцию третьего уровня применяют (N-1) раз.

Ну вот, подошли к вкусьненькому. Что нам мешает пойти дальше по аналогии и создать операцию следующего уровня? Назовём эту операцию гиперстепень.

" X в гиперстепени N " - это когда (операция первого уровня) к числу X прибавляют единицу X раз, и операцию второго уровня применяют (X-1) раз (операция второго уровня), и операцию третьего уровня применяют (X-1) раз (операция третьего уровня), операцию четвертого уровня применяем (N-1) раз.

Ну а если попроще - нужно число X возвести в степень X и это возвести в степень X, и так (N-1) раз.

Разумеется мы можем определить обратные операции - извлечение корня гиперстепени и гиперлогарифм.

По аналогии мы можем определить гипергиперстепень следующего порядка и так до бесконечности. Нужно лишь вводить операции следующего уровня.

Ну вот и обобщили.

Ах, да, спросите Вы, а где же обобщение того факта, что дважды два четыре?
Вот Вам и ответ:
Два плюс два - четыре Два умножить на два - четыре Два в степени два - четыре Два в гиперстепени два - четыре и т.д.

Гиперстепени "ничуть не хуже" сложения, умножения, возведения в обычную степень.


И напоследок. Легко построить функцию, которая будет расти быстрее любой степенной и гиперстепенной. Надо взять Х в гиперстепени Х-го порядка.
Вопрос для пытливых. Будет ли эта функция расти быстрее показательной?

Придумав эти гиперарифметические операции, я наверно испытывал чувство, СХОЖЕЕ с тем, которое испытывал малыш Дагги, ПРИДУМАВ трижды три тройки:
"Дагги пытался вообразить и затем выразить свой маме — МОЕЙ маме! — гораздо более абстрактное понятие, чем то, которое смышленый ребенок может описать как «ТРИЖДЫ три тройки».
Трехлетним малышом я не мог додуматься до того, что эта идея может быть представлена геометрически и даже построена в виде кубика из трех 3x3 слоев. Я был еще слишком мал для того, чтобы воплотить мое смутное прозрение в конкретные образы. Меня увлекало САМО ЭТО ВЫРАЖЕНИЕ — и в частности, содержащаяся в нем волшебная идея «самоприложения троичности». Если бы я был поискушеннее, я мог бы понять, что на самом деле я искал третью бинарную операцию в натуральной (и бесконечной) последовательности «сложение, умножение, возведение в степень...» ".



    avatar 26.08.2012 | 05:29
    Владислав Редюхин Пользователь

    Я тут на Вас сослался, Валерий Алексеевич - http://pedsovet.org/forum/index.php?autoco...90#comment92854


     

Дата регистрации: 19.07.2011
Комментарии:
1
Сказали спасибо 0
Сказать спасибо
footer logo © Образ–Центр, 2019. 12+