Личный кабинет
Математическое образование.

Что скрывается в природе математики?






Честно говоря, я НИКОГДА не думал, что мне предстоит раскрывть глаза людям на математику. Когда Талгат Акбашев сказал мне, что математика - это развивающаяся структура отношений, то я крепко задумался над сказанным им.
Уже потом, раскрыв смысл этих слов, я понял, что матмех не дал мне никакого математического образования, законопатив голову математическими формулами и конструкциями. Уже то хорошо, что я быстро понял, что там делаю голову, а потому быстро сбежал с лекций и семинаров: есть у меня ангел-хранитель, защитивший мою голову от постороннего вмешательства извне.
Б. Паскаль сказал, что в прироже математики не заложена ТОЛЬКО идея числа и величины. Но он забыл сказать, что системный подход к величине и числу ВСКРЫВАЕТ природу математики. Таким образом в числе и величине заложена база понимания природы математики.
Какова самая простая величина? Понятно, что это величина конечного количества. А каково самое простое число? Понятно, что это натуральное число. Значит пара (величина конечного количества; натуральное число) становится ключом для вхождения в математику. Ну, тогда пошли в здание математики.
1. Величина конечного количества - это то, что присуще всем конечным множествам, которые имеют одинаковую мощность. Такие множества называются равномощными в общем случае или равновеликими в случае равенства величин. Равенство величин мы получаем в СРАВНЕНИИ двух конечных множеств по величине. Ментальная операция сравнения немедленно приводит нас к отношению одинаковости в том или ином смысле и я называю такое отношение - отношением однородности. Но равновеликость - это частный случай равномерности. Почему? Потому что равной может быть не только мера величины, но и мера связи величин, мера движения величины и так далее. Поэтому и натуральное число по видовой форме определяется качеством меры: оно может быть функциональным, выражая меру связи величин, операционным, выражая меру движения величины и так далее.
Что же мы видим? Что идея величины и равенство величин вывели нас на значительно большее идею равномерности, которая уже относится не только к величине, но к мере в целом. Этот этап я называю метрическим и он был первым в становлении математического знания.
2. Теперь мы рассматриваем уже связь величины при условии, что величины разные. как мы это делаем? С помощью декартова произведения, увязывая в пары элементы двух конечных множеств. В этом случае к одному элементу пары меньше величины пристраивается целое или смешанное число элементоов другого количества. В частности связывая 3 апельсина и 7 яблок в пары мы приставим к каждому яблоку (элемент меньшего количества2 яблока и еще две трети яблока. Вот это число 2 и две трети и служит мерой связи. Сегодня мы не координируем так величины, а сразу переходим к тому на сколько больше одна величина другой. Итак, мы начали со связи величин и пришли к соотнесению величин. В более общем случае мы приходим к соотнесению мер или к соизмеримости. Этот этап в развитии математического знания я называю топологичеким, поскольку он связан уже с ОТНОШЕНИЕМ и координацией. Но координировать можно не только меры, поэтому топологическое мышление означает умение КООРДИНИРОВАТЬ. Вместо умения координировать мы даем декартовы координаты, которые далеко не всем нужны. А вот координация очень нужна в спорте (футбол, теннис, волейбол, баскетбол). Даже в сузыке есть система координат - нотный стан. А периодическая система элементов в химии тоже система координат. Как видите, топологическим мышлением мы часто пользуемся в жизни, хотя о топологии учителя математики ничего не знают. Даже о теории графов - представительнице дискретной топологии.
3. Движение величины относится к изменению величины и для отслеживания такого изменения нужна ПЕРЕМЕННАЯ. С помощью переменной величины мы переходим от величины прямолинейных фигур к величинам криволинейных фигур. Но изменению величины отвечает движение меры или процесс интегрирования. Однако интегрировать можно не только меру и мы выходим на общую идею интегрального оператора. В частности, при интегрировании дифференциальных элементов мы получаем новое качество. Сегодня мы даем представление об интегрировании, как о движение меры и впервые я прочитал о таком понимании интегрирования у Маркса в "Математических рукописях"
Ведь такое понимание интегрирования качественно меняет смысл дифференциального и интегрального исчисление, показывая ДИАЛЕКТИЧЕСКУЮ взаимосвязь дифференциала и интеграла. Я называю этот этап аналитическим, поскольку операция перехода к пределу трактуется мной, как аналитическая операция снятия качественной характеристики движения.
4. Если связями между величинами еще занимаются "больше в - меньше в" и изменением величины тоже занимаются "больше на - меньше на", то СТРУКТУРИРОВАНИЕМ конечного количества и разложением конечного количества по базисным разрядам занимаются только в СИМВОЛИЧЕСКОЙ форме. Причина в том, что структурировать образование вообще не учит, предпочитая вместо воспитания умений ОРГАНИЗОВЫВАТЬ форму (процесс формирования) давать уже готовую логическую форму, не сообщая сам процесс структурирования. Я называю этот этап этап структурирования и воспитание структурного мышления имеет серьезное значение. Кстати, идея структурирования возникает при рассмотрении на множестве системы отношений. Эта система отношений и называется структурой. Замечу, что структурирование на абстрактном уровне началось со структурирования метрики Фреше и получения метрического пространства, в котором измерялось расстояние между функциями. Идея метрических пространств положила начало функциональному анализу.
5. Относительно управления величиной или оптимизацией можно сказать, что все сводится к поиску экстремума функции с помощью известного дифференциального математического аппара. Методы оптимизации другого плана: линейное программирование, динамическое программирование в школьном образовании вообще не рассматривается. Управление величиной приводит к управлению мерой в целом.
6. Наконец, перейдем к систематизацииили к тому, что прозводит величина: связь величин, движение величины, организация величины, конструкция оптимальной величины. Все это связано с ЛОГИКОЙ РАЗВИТИЯ величины, которая приводит к логике развития МЕРЫ: мера величины, мера связи, мера движения, мера организации, мера конструкции, мера развития.
Я представил системный подход к пониманию математического знания, базируясь лишь на величине конечного количества и на натуральном числе. Такую математику я называю НАТУРАЛЬНОЙ и именно она становится базой непрерывного математического образования.
С уважением! Михаил Арест


Дата регистрации: 31.07.2009
Комментарии:
0
Просмотров 25
Коллеги 0
Подписаны 0
Сказали спасибо 0
Сказать спасибо
footer logo © Образ–Центр, 2020. 12+