О выборе нужного комбинаторного правила

Эта статья — авторское мнение колумниста. Мнение автора может не совпадать с мнением редакции «Педсовета».

Всем, кто когда-либо объяснял школьникам основы комбинаторики, отлично известно, что у них периодически возникают трудности с выбором нужного комбинаторного правила — особенно на начальном этапе освоения, но у некоторых – и впоследствии. В интернете, да и в соответствующей литературе, можно отыскать несколько рекомендаций на этот счёт.

Однако либо эти советы сами сложны в понимании и использовании, в частности, правило суммы и даже правило произведения кое-где связывают с загадочной «одновременностью» выбора, либо они сформулированы крайне неточно и приблизительно. Например, правило суммы ассоциируют с логическим «или», а правило произведения – с логическим «и». В результате оказываются приложимы не ко всем ситуациям, в чём и сами авторы скромно признаются, начисто обессмысливая тем самым вышеупомянутые рекомендации.

О каких правилах речь

Правило произведения. Пусть первую компоненту упорядоченного набора можно выбрать k₁ способами, после чего вторую – k₂ способами, …, после чего последнюю, n-ую можно выбрать kn способами. Тогда весь этот набор можно построить k₁ • k₂ •… • k_n способами (иначе говоря, существует k₁ • k₂ • … • k_n таких различных наборов).

Правило суммы. Пусть объект a₁ можно выбрать n₁ способами, объект a₂ можно выбрать n₂ способами, ..., объект a_k можно выбрать n_k способами, причём выбор одного объекта исключает одновременный выбор другого объекта. Тогда выбор « либо a₁, либо a₂, ..., либо a_k» можно осуществить n₁ + n₂ + … + n_k, способами то есть можно построить n₁ + n₂ + … + n_k различных наборов, удовлетворяющих вышеприведённым условиям.

Сами по себе эти правила достаточно просты для понимания, проблемы возникают именно при попытках их применения учащимися. Точнее, многие школьники при решении относительно непростых комбинаторных задач испытывают порой большие сложности при выборе нужного правила, периодически делая это неверно.

Между тем, строго говоря, любую комбинаторную задачу можно решить, используя исключительно эти два правила — ведь и формулы вычисления количества комбинаторных единиц: сочетаний, размещений, перестановок — с повторениями и без оных, по большому счёту, лишь конструкты, построенные с помощью правил произведения и суммы. Соответственно, крайне желательно было бы снабдить учащихся простыми и легко запоминаемыми способами выбора требующегося в конкретной задаче комбинаторного правила, имеется в виду из данных двух.

Когда какое правило следует применять

Прежде всего заключим со школьниками небольшую договорённость. Всем известно, что в математике «или» не исключающее. Иначе говоря, утверждение «в Аравии постоянно идёт дождь или там водятся единороги» считается верным не только в случаях, если:

• в Аравии частенько стоит сушь и местные единороги страдают от жажды;
• либо если в дождливой Аравии вряд ли удастся отыскать единорога;
• но и в том случае, если аравийские единороги вечно мокнут под ливнями.

Договоримся, что исключающее «или», когда из нескольких утверждений, соединённых вышеуказанной связкой, может быть верно лишь какое-то одно, но не два – или более – одновременно, будем обозначать интуитивно понятной конструкцией «либо – либо».

С учётом этой договорённости предлагаю вниманию коллег и всех заинтересованных очень простой способ выбора нужного комбинаторного правила. А именно: в ситуации «для каждого – каждый» применяем правило произведения, в ситуации «либо – либо» используем правило суммы.

Или даже ещё проще. В ситуации «для каждого – каждый» умножаем, в ситуации «либо – либо» складываем.

 

 

В чём преимущества данного подхода

Во-первых, адекватность. Нет сомнений, что первая часть равносильна правилу произведения (последнее часто так и формулируется: «Пусть первую компоненту упорядоченного набора можно выбрать k₁ способами, для каждого из них вторую – k₂ способами, …, для каждого из предыдущих последнюю, n-ую –  k_n способами…» – ну и так далее), а вторая – правилу суммы.

Во-вторых, универсальность. Ответственно утверждаю, что он «работает» абсолютно во всех случаях, когда применимы наши два правила. Учитывая его отмеченную выше равносильность самим правилам, это и неудивительно.

В-третьих, простота применения. Данная мантра интуитивно ясна и легко «прикладывается» к конкретным текстовым задачам.

В-четвёртых, мгновенная запоминаемость, особенно в простейшей формулировке. Детям настолько легко удаётся затвердить вышеприведенную фразу, что её, в принципе, можно считать мнемоническим приемом.

В заключение отмечу, что предлагаемая техника проверена на нескольких поколениях учащихся, используется мною уже более трёх десятков лет и отлично показала себя на практике. Для того, чтобы научить школьников не угадывать, а корректно определять нужное в конкретном случае правило, я требую логически обосновывать свой выбор, и они делают это именно опираясь на предлагаемый в данной статье подход, формулируя примерно так: «в данной задаче мы имеем ситуацию «для каждого – каждый», поэтому…».

Материалы по теме:

• Можно ли заинтересовать ребёнка математикой с помощью олимпиад?
• Как избежать математической травмы у ученика
• 7 игр для развития математических способностей у детей

Если вы тоже хотите вдохновлять детей и учить их математике, можно пройти дистанционные курсы. Пример такого обучения:

Подробнее