К другим статьям
.jpg)
Иллюстрация: Юлия Замжицкая
Эта статья — авторское мнение колумниста. Мнение автора может не совпадать с мнением редакции «Педсовета».
Любому профессиональному математику известно определение независимости двух событий. Оно звучит так.
Определение 1. События А и В называются независимыми, если вероятность наступления любого из них не зависит от того, произошло или нет другое. Последнее равносильно двум цепочкам равенств:
P (A) = P (A|B) = P (A|); P (B) = P (B|A) = P (B|).
Стандартное же определение из любого (известного мне) школьного учебника звучит совершенно иначе.
Определение 2. События А и В называются независимыми, если P (AB) = P (A) P (B).
Для краткости будем называть определение 1 «научным», а определение 2 «школьным».
Сравним два определения. Прежде всего бросается в глаза, что научное определение сложнее проверять. Зато его смысл абсолютно прозрачен: события, согласно этому определению, независимы, если они не влияют друг на друга. Таким образом, независимость вероятностная соответствует «житейскому» пониманию независимости, не противоречит элементарной логике и здравому смыслу. Что, безусловно, способствует правильному пониманию данного аспекта теории вероятностей учащимися.
Школьное определение независимости выглядит искусственным. В самом деле, почему фигурирующее в определении 2 равенство должно называться «независимостью событий»?
Я решил попытаться установить связь между научным и школьным определениями независимости. Сразу же стало ясно, что они не являются равносильными. Тогда я поставил перед собой вопрос: какие ограничения необходимо наложить на рассматриваемые события, чтобы обеспечить эквивалентность определений?
Оказалось, что при достаточно необременительных ограничениях искомую равносильность всё же удаётся обеспечить. Более того, при этих ограничениях и «научную» независимость событий оказалось проверять намного легче: вместо шести равенств достаточно установить всего одно.
Проще говоря, удалось сформулировать и доказать нижеследующую теорему. Под независимостью событий в ней понимается «научная» независимость, что я считаю методологически правильным; «школьная» независимость — это условие 7 в формулировке теоремы.
Теорема (критерий независимости двух случайных событий).
Пусть вероятности событий А и В не равны ни 0, ни 1.
События А и В независимы тогда и только тогда, когда верно одно любое из семи равносильных условий:
- P (A) = P (A|B);
- P (A) = P (A|);
- P (A|B) = P (A|);
- P (B) = P (B|A);
- P (B) = P (B|);
- P (B|A) = P (B|);
- P (AB) = P (A) P (B).
Доказательство.
Вначале установим эквивалентность друг другу наших семи условий (при ограничениях, наложенных в теореме).
Условие 1 равносильно следующему: Р(А) = Р(АВ)/Р(В) (формула вычисления условной вероятности), что равносильно 7.
Аналогично 4 равносильно 7.
Итак, 1, 4 и 7 в условиях данной теоремы равносильны.
Заметим: Р (А) = Р (А(В+)) = P (A+АВ) = P (A) + Р(АВ), откуда P (A) = Р (А) – Р(АВ).
Условие 2 равносильно цепочке равенств Р(А) = P (A)/P () = (Р(А) – Р(АВ))/(1 – Р(В)), т.е. Р(А) – Р(А)Р(В) = Р(А) – Р(АВ), т. е. Р(А)Р(В) = Р(АВ), а это как раз условие 7.
Аналогично условие 5 равносильно условию 7.
Итак, условия 2 и 5 также равносильны условию 7.
Условие 3 равносильно равенству Р(АВ)/ Р(В) = P (A)/ P () = (Р(А) – Р(АВ))/(1 – Р(В)), т. е. Р(АВ) – Р(АВ)Р(В) = Р(А)Р(В) – Р(АВ)Р(В) (перемножили в первой и последней дроби числители и знаменатели «крест-накрест», как при работе с пропорциями), откуда
Р(АВ) = Р(А)Р(В), а это опять-таки условие 7.
Аналогично условие 6 равносильно условию 7.
Итак, условия 3 и 6 также равносильны условию 7, т. е. в итоге каждое из условий 1 – 7 равносильно каждому из остальных.
Теперь перейдём непосредственно к доказательству нашего критерия.
Предположим вначале, что события А и В независимы (в «научном» смысле). Тогда по определению 1 независимости двух событий справедливы условия 1 – 6, а выполнение даже одного из этих шести условий по доказанному выше гарантирует выполнение условия 7.
В одну сторону теорема доказана.
Пусть теперь, наоборот, выполняется какое-то из условий 1 – 7. Тогда по доказанному ранее верны и шесть остальных из этих условий. Значит, условия 1 – 6 выполняются – а они в совокупности как раз и означают независимость событий А и В в смысле определения 1. Теорема доказана и в противоположную сторону.
Таким образом, теорема доказана полностью.
Данное доказательство вполне доступно пониманию учащимися 9-11 профильных математических классов — я проверил это на практике.
Искренне надеюсь, что материалы данной статьи и, в частности, сформулированный и доказанный здесь критерий независимости двух случайных событий помогут коллегам, преподающим вероятность и статистику, ответить на некоторые вопросы наиболее любознательных и въедливых школьников.
Материалы по теме:
- Можно ли заинтересовать ребёнка математикой с помощью олимпиад?
- Как избежать математической травмы у ученика
- 7 игр для развития математических способностей у детей
